積極建構 感悟模型

張玉翠

模型思想是數學核心素養的重要組成部分。數學模型的建立要經歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，數學建模，就是從生活情境中抽象出數學問題，用數學的符號去表征問題中的數量關系和變化規律，是一種抽象的簡潔的“數學化”過程。

模型思想的建立是一個螺旋上升的過程，在小學數學教學中，核心素養的有效落地意味著教師要重視課堂上的數學建模，鼓勵學生感悟模型并積極建構，以促進學生學習力的長期發展。下面就數學模型融入課堂教學談幾點個人見解。

一、借助生活原型構建概念型數學模型

在數學教學過程中，基于小學生的認知發展水平，一些概念沒有辦法從數學內部揭示其意義，這時凸顯了借助生活原型幫助構建概念的重要性。生活原型，就好比是一個支點，可幫助學生更加容易認知研究對象，有助于學生更好地感知及理解概念。

如教學“比的意義”的內容時，筆者讓學生觀察比較除法算式和比之間的關系，從而揭示比的意義，緊接著讓學生說一說比、分數、除法三者的關系。有學生提出質疑：“既然比表示兩個數相除，已經學會了分數和除法，為什么還要學習比？”這個問題在日常的教學中并未得到充分的解釋。最多的說法是：除法是一種運算，分數是一種數值，比是一種關系。這種解釋似是而非。如果能夠借助生活原型，這個問題將變得直觀而清晰。

此時，筆者引入制作泡泡水要用甘油、水、洗潔精、洗手液混合而成的情境，并提出問題：這四樣東西要怎么搭配才能配出泡泡水。在學生思考并交流后，筆者出示數據1∶4∶2∶2。這樣學生就得到釋疑：除法和分數不能一下子將四種物體的倍數關系表示出來。多個數量之間的關系組成連比，幾個數量之間的關系一目了然。對學生來說，比的意義變得形象、直觀。由此可見，生活原型是促進學生理解數學概念的支點，這種基于生活實際構建概念模型的方法，有助于幫助學生建立清晰和正確的認識。

二、依托符號表達構建方法型數學模型

數學語言有三種常見的表達形式：文字語言形態，符號語言形態，圖形語言形態。隨著學生年級的升高，符號表達的重要性日漸凸顯。把符號意識滲透進小學生的數學思維里，依托符號意識，不失為構建模型關鍵能力的一種有效途徑。

例如，教學“乘法分配律”的內容時，筆者先呈現購物情境：運動服上衣55元，褲子45元，王阿姨購進10套運動服，花了多少錢？學生寫出了以下兩種解法：55×10+45×10=1000（元）;（55+45）×10=1000（元）。筆者提問：“你們能結合生活經驗來說說這兩個算式表達的意義嗎？”學生小組討論后發現，不同的方法解決了同一個問題，于是乎得到了“55×10+45×10=（55+45）×10”這一結論。筆者再提問：“你還能說一組這樣的等式嗎？說說你發現了什么規律？”以此初步孕育乘法分配律的模型，并讓學生再舉一些這樣的例子驗證一下各自對規律的猜想。隨后，學生提供了多種表達方式。有的學生用字母：（a+b）×c=a×c+b×c;有的學生用圖形：（口+○）×▲=口×▲+○×▲;有的用文字。可以發現，學生的想法是無窮的，且充滿智慧，文字、圖形、字母雖然形式不同，但實質上都是乘法分配律的數學模型。最終，筆者引導學生用字母抽象表示出乘法分配律這個數學模型，并抓住這個數學模型，教學這里的a、b、c可以是哪些數，進一步把握乘法分配律的內涵。

建構運算定律模型，一般遵循這樣的教學線索：依托生活情境，解決實際問題—得出等式—猜想—舉例驗證—用不完全歸納法總結規律—符號化形態表達。運算定律的教學，實際上就是一種方法型數學模型的構建。將數學建模教學與符號意識的培養相結合，體現了數學學科的抽象性和簡潔性，在小學數學的教學中，顯得尤為重要。

三、應用圖形豐潤思想型數學模型

小學生的思維水平多停留在具象階段，在實際教學中，學生受知識經驗和思維水平限制，很難理解一些較為復雜的數學問題。將抽象的數學問題和直觀的圖形表征有機結合起來，以圖析題，有助于學生打開思維，順利解題。

（一）找準“源發點”，從整體上建構模型

“植樹問題”是用除法來解決問題的，是對“包含除法”模型的補充。從這點來說，植樹問題應納入學生已有的認知體系中。在教學時，筆者將教材情境稍作改變，化繁為簡地變更為：20米長的小路，每隔5米栽一棵，可以栽幾棵？在學生讀懂題意的基礎上，筆者先啟發學生思考：每隔5米栽一棵，也就是平均每5米一棵，要先知道20里面有幾個5，再根據實際情況做調整。也就是說，這道題可以用除法解決，實際上仍屬于“包含除法”問題。再讓學生通過畫圖和操作對商進行適當地調整：兩端都栽，商要加1;只栽一端，商不變;兩端不栽，商要減1。植樹問題的三種模型由此建立。因此，基于原有認知水平建構植樹模型的過程可以用如下示意圖（圖1）來表示：

（二）尋找“生長點”，從認知上豐富模型

在經歷充分地畫圖和操作，學生觀察感悟線段上植樹問題的三種模型后，筆者引導學生進一步探尋植樹問題的其他情況。筆者出示題目：實驗小學準備在圓形操場周圍栽樹，操場的周長是200米，如果每隔10米栽一棵，一共要栽多少棵樹？有了之前的學習經驗（線段上種樹的經驗、化繁為簡），筆者放手讓學生自主探究。匯報過程中，學生提到先栽50米，試著把圓拉直成一條線段，結果發現了這道題就相當于植樹問題中“一端栽一端不栽”的情況（圖2）。

筆者及時給予肯定，引導學生再次感受種樹的過程：把樹種在點上，一棵數對應一個間隔，剛好種完。學生發現：棵數和間隔數一一對應，這不就是只栽一端！這樣的處理，積累了學生的數學活動經驗，同時豐富了植樹問題數學模型的認識，感受模型思想與建模的魅力。

總之，數學模型作為一種有效載體，豐富了學生的學習體驗，提升了學生的思考能力，把學生的學習推向思維的深處。教師在實際工作中需要進一步探索和發現，讓學生充分經歷探究、抽象、推理、建模的過程，為今后的深度學習奠定基礎。

（作者單位：福建省廈門市同安區第二實驗小學 責任編輯：王振輝）