魔術里的數學秘密

涂玉霞 張淑芳

著名數學大師陳省身先生說，數學好玩。但對于大多數孩子而言，數學是枯燥的、乏味的、艱深的，想讓他們愛上數學，那真的是一大難題。

沒有辦法解決嗎？實際上，每個人都有天生的好奇心和求知欲，我們如果能夠多給孩子們提供適合的學習材料，就會得到較好的改觀。如魔術，它具有新穎和神奇的特點，孩子們都很喜歡。我們不妨從魔術里尋找數學，或者在數學里去創造魔術，讓學生去想，去揭秘。在積極思考中，讓他們的大腦得到真正的鍛煉，把所領悟的知識、方法和思想運用到解決問題中去。為此，原汁數學研究團隊編印了《100個原汁數學小魔術》學習材料，使之成為教師的教學素材。

當然，大腦對于信息的刺激、接受和處理，有著極其嚴密的規律。我們的研究只不過是在試圖找到這個規律，為學生在增長智慧的路上指明一個方向。下面，以一個數學魔術的教學例子和三個數學魔術進行說明，期望能夠與大家共同探討。

一、用代數思想來給魔術揭秘活動簡錄

1.活動預熱，滲透思想

【魔術之一】猜生日

師：同學們好！（走上前與一學生握手）來，握握手，成為好朋友。你多大了？

生：12歲。

師：你知道老師比你大幾歲嗎？

生：不知道。

師：不知道可以用什么表示？

生：x。

師：那老師的年齡是多少歲？

生：12+x。

師：既然是好朋友，我特別想知道你們的生日是幾月幾日。我有個神奇的本領，不用你告訴我，我就能夠猜出你們的生日。當然，要請你們幫我做一件事：把你們的生日月份乘4，再加上9，然后把和乘25，再加上日期。（在幾名學生匯報計算結果后，教師快速說出他們的生日是幾月幾日，學生們很好奇）

師：這是一個猜生日的魔術，里面隱藏著秘密。今天讓我們以數學家的眼光來給魔術揭秘。

學習需要真實發生，產生關聯感，只有當新舊知識實現了有效聯結，師生之間實現了溝通融合，知識的根才能生長出來。

2.思維碰撞，感悟思想

（1）嘗試代換

師：當我不知道同學們生日是幾月幾日的時候，我在心里是如何列式子的？請大家幫我列一列。

①（4a+9）×25+b② ? ?4x+9×25+y

③（4x+9）×25+y ④（4x+9）×25+x

教師將學生列出的有代表性的式子進行分析。①和③都是正確的;②沒有將和乘25;④中兩個未知數一個表示月份，一個表示日期，應該用不同的字母表示。因此得出結論，用字母來表示月份和日期，列出式子，如：（4a+9）×25+b=100a+225+b。減去225后，剩下100a+b，則b就是日期，a就是月份。用同一個字母可以表示同一類未知的數據，可以幫助我們發現規律。

（2）轉化應用

【魔術之二】稱撲克

師：我說我能夠用手稱出撲克牌的張數，你們相信嗎？（學生搖頭，但表示很好奇）讓你們來見證一下奇跡誕生的時刻。我請一位同學隨便從桌上這副牌中拿走一摞，然后數一數拿走了多少張，將張數的個位數字加上十位數字，和是幾就放幾張牌在原來那摞牌上。我就能夠稱出桌上這副牌還有多少張。（學生拿走牌后，再放牌，老師一稱，報出數據，果然一張不差，學生驚呼）

師：老師真的會稱牌嗎？變魔術的過程可否像剛才那樣用式子呈現出來？

學生設十位數字為a，個位數字為b，再列出算式：10a+b-（a+b）=9a，發現桌上的牌一定是9的倍數，有9、18、27、36、45這幾種可能，通過目測，看看厚度，就知道有多少張。結論是十位數字和個位數字均可以用字母來表示。

（3）延伸創造

【魔術之三】神機妙算

師：請你們任意寫一個兩位數，不要讓我看見，你們只需要把它乘167，然后把計算結果的后兩位數告訴我，我就能算出這個兩位數是幾。

生：54。

師：你寫的這個兩位數是62。老師是胡亂猜的嗎？那是靠什么算出來的？前面兩個魔術都是用字母表示數來幫助我們找到秘密的，假如把這個兩位數用a來表示，把積再乘3，你們發現了什么？因為167×a×3=501a，所以積的后面兩位數一定就是a。因此，把結果乘3，就能發現a是多少了。還有哪些數也有這樣的特征？你們能夠創造一個這樣的魔術嗎？

通過運用這樣的材料，可以讓學生在思考和交流中，在掌握知識技能的同時，理解知識的本質，感悟數學思想，積累思維的經驗，形成和發展數學核心素養。

3.體會意義，提煉思想

師：有人說，魔術是忽悠人的。但會觀察和分析的人，總喜歡去思考魔術是如何來忽悠我們的。（梳理）遇到不知道的數或者復雜的問題，用字母代入，可以讓問題變得清晰明了。用數學的眼光看待生活，就不會盲目相信。（提升）數學有魔力，字母作用大。愛因斯坦說宇宙最不可理解之處是它是可理解的。當數學魔術遇見了“數學家”，神奇的魔術也只好乖乖地露出真面目。所有神奇的背后，都有規律可循。

獲得知識的鑰匙，獲得情感的體驗，激發后續學習的動力，是課堂總結很重要的目標。令人回味、啟示頗多、躍躍欲試，是數學思考后的最佳效應。

代數思想，就是用字母來代替具體數值進行思考的思維形式，是將具體案例參數化，是一種抽象思維。常規的數學課堂，一般停留在告訴學生如何用字母來表示數，但對于為何要用、用了有什么意義、如何形成運用的自動化等問題是缺少深入探究的。因此，這節課的目的，就是要激蕩起學生對“字母表示數”的好感，深切體會代數思想的現實價值。

二、三個數學魔術說明

1.手里的秘密（奇偶數）

老師的兩只手上各放一摞牌，請學生在兩邊隨意各抽取一張，不要讓老師看見，亮給全班同學看，并記住是什么牌，再把牌插進去。老師可以很快地找到這兩張牌。

揭秘：老師手上的牌一邊全部是奇數，一邊全部是偶數。趁同學們去看牌的時候，迅速把手上的牌交換位置（左手的牌換到右手，右手的牌換到左手），那么在每一摞里，總有一張跟其他牌的奇偶不一樣，所以就能夠很快找出來。

變式運用：學生分別在兩張小紙條上寫了兩個數，一個是奇數，一個是偶數，然后將這兩個數隨機分別放入左、右手中。接著，把左手中的數加4次，右手中的數加3次，再將左右兩邊的得數相加，并告訴老師這個和是奇數還是偶數。教師要猜出學生所寫的奇數在哪只手中。教師準確給出了答案：如果和是奇數，奇數就在右手上;如果和是偶數，奇數就在左手上。

揭秘：如果奇數在右手上，加3次是奇數，偶數在左手上，加4次是偶數，奇數與偶數的和就是奇數。如果奇數在左手上，加上4次是偶數，右手的偶數無論加多少次都是偶數，所以它們的和一定是偶數。

2.神機妙算（9的倍數）

請學生隨便給出一個四位數a，然后把a各數位上的數字打亂，組成新的四位數b。a、b相減后，得到一個最新的四位數c（如果c不是四位數，就再換一下a各數位的順序，或者換一個新的a），只要學生說出c其中的三個數位上的數字，教師就可以猜出另外一個數位上的數字。

揭秘：一個四位數可以用1000x+100y+10z+e表示，隨意改變順序后，如變成1000z+100x+10e+y，兩數之差就變成900x+99y-990z-9e，一定就是9的倍數。變成其他的四位數亦如此。所以，只需要減去另外三位上的數字之和，就可以猜出另外一個數字是幾。

變式運用：教師先寫一個數放進信封里。然后請學生在計算器里輸入一個三位數，百位比十位大，十位比個位大，然后把這個三位數顛倒過來，變成一個新的三位數（個位變百位，十位不變），兩個數相減，得出一個最新的三位數a。把a又顛倒過來（個位變百位，十位不變），得出b，則a與b的和剛好就是教師裝進信封里的那個數。

揭秘：一個三位數可以用100x+10y+z表示，改變順序后，就變成100z+10y+x（中間數不變），兩數之差就變成99x-99z，所以，一定是9的倍數，而且個位數字與百位數字之和一定是9，十位數字是9，可用100e+10×9+（9-e）表示。再把這個數倒過來，得到新數100×（9-e）+10×9+e，再將兩個數相加，和一定是1089。

3.預言牌（多位數加減法）

教師在一張紙上寫了幾下后，就把紙折起來交給學生，告訴他們里面藏有秘密，不能看。然后讓學生在10～19之間，隨便選一個數，告訴教師。以學生選15為例，教師拿起桌子上的一摞牌（教師提前已經洗好牌），從上往下數，數出15張。然后問學生，15的個位數字和十位數字的和是多少？ 學生答“6”。教師把剛剛數出來的15張牌從下往上數，數到第6張，把這張牌拿出來，假如是紅心A。再請學生打開剛剛給他們的折紙，里面竟然也是寫著紅心A。

揭秘：教師事先洗牌的時候，把從上往下數的第10張牌看清楚了。比如，先數出15張牌（第10張牌的順序仍然是第10張），再倒著數6張牌，就是從上往下數的第10張。也就是說，把“10+a”張倒著數“a+1”張，剛好就是第10張牌。

變式運用：請甲乙兩位同學各寫兩個六位數（隨便寫），教師隨后也寫一個，然后請甲同學再寫一個，教師再寫一個。教師口算出這幾個數的和，同學們用計算器算，比比誰算得快。比如，甲、乙兩位同學寫的分別是246534和881235。教師寫了118764，然后甲又寫了個671245，教師再寫一個328754。教師在幾秒鐘之內就能夠算出這5個數加起來的和是2246532，而學生們的數字還沒有輸完，他們會感到特別驚訝。奧秘在哪兒呢？

揭秘：教師每次寫的數與前面一位學生寫的數加起來是999999（881235+118764=999999，671245+328754=999999）。然后把第一個數加上2000000，再減去2，即可。

和孩子們一起玩數學魔術，不是為了證明教師有多厲害，而是要激起學生對數學的興趣。數學魔術不在于有多難，而是讓所有的學生都有破解的機會。開放有度、富有挑戰的魔術，改變了數學傳統的模樣，以新鮮生動的樣子喚醒學生的情趣，觸動學生的心靈，引發學生的思考。

（作者單位：湖北省武穴市師范附屬小學）

責任編輯：孫昕

heartedu_sx@163.com