代數螺線在渦旋壓縮機上應用分析

李冬元

廣東美的暖通設備有限公司 廣東順德 528311

1 引言

渦旋壓縮機是一種容積式流體機械，是被公認為技術先進的第三代壓縮機。渦旋壓縮機因其結構簡單、體積小、重量輕、噪音低、效率高、受力平穩等優點被廣泛應用在空調系統、動力工程及交通運輸等領域。

渦旋壓縮機型線設計是一項核心技術，其直接影響到壓縮機性能及可靠性。目前，行業內多數廠家渦旋型線都是采用設計技術及加工工藝較成熟的圓漸開線形式的渦旋型線。根據目前的發展趨勢可知，隨著渦旋壓縮機應用領域的拓展，高壓縮比、大排量和高能效的渦旋壓縮機研究成為渦旋機械領域的重要方向。對于圓漸開線型的渦旋，為滿足高壓縮比、大排量的要求，不得不靠增加渦旋齒的圈數、齒高來實現，增加了加工成本和可靠性風險。因此新型線的設計是未來渦旋壓縮機研究的重點，日本日立公司香曾我部[1]1994年提出以代數螺線為基準線，采用包絡法形成的變壁厚型線在小型化、高能效方面具有一定優勢。2000年劉楊娟[2]對日立型線進行了詳細解讀及分析，并采用法向等距線方法生成渦旋型線。2003年邵兵[3]等人利用微分幾何共軛曲線及法向等距線理論，證明了代數螺線作為渦旋壓縮機型線的可行性。近年，相關理論研究及產品應用較少，本文通過幾何推導可以更加容易地理解渦旋型線及壁厚等關鍵參數的含義，并通過實際產品對比得出代數螺線具有一定優勢。

2 代數螺線渦旋型線的理論分析

2.1 代數螺線幾何理論

在極坐標系中，代數螺旋方程為：

在直角坐標系中，代數螺線方程為：

式中：

a——代數螺線系數；

k——代數螺線指數；

r——代數螺線運動半徑。

圖1為不同k值的代數螺線，由圖可以看出代數螺線的特性，當k=1時，螺線的節距相等；當k＜1時，節距隨著轉角的增大逐漸減少；當k＞1時，節距隨著轉角的增大逐漸增大。

一對形狀相同、等厚度、相位相差180°的圓漸開線型線能很好地嚙合，并形成封閉壓縮腔。根據嚙合特性可以驗證代數螺線之間不能直接嚙合，當一個渦卷采用代數螺線為基準線時，可以通過包絡原理[1]或法向等距線原理[2]求出對應的渦旋型線，代數螺線與其包絡線、包絡線與包絡線之間必能嚙合。因此，渦旋內外壁型線有多種選擇。

2.2 代數螺線的渦旋型線

日本日立公司[1]的代數螺線包絡線是以代數螺線上的點為圓心，分別在代數螺線內側及外側以公轉半徑ε作公轉運動，分別在基準代數螺線內、外側形成包絡線。如圖2所示。

幾何關系并結合代數螺線公式（2）可知，代數螺線內外包絡線方程如下：

其中，未知變量β可根據幾何關系式推導出如下公式：

結合公式（4）、（5）、（6）可得：

公式（7）代入公式（3）可得單變量代數螺線包絡線方程（8）：

此處，符號“+”為外側包絡線，符號“－”為內側包絡線。

圖3為渦旋型線結構示意圖，下面通過圖3說明渦旋型線的構成法，圖3中(a)、(b)顯示了基本代數螺線以公轉半徑ε1和ε2進行圓運動繪制的包絡線軌跡圖。圖3中(c)、(d)顯示了動渦旋型線和靜渦旋型線的構成。圖3(a)實線B是基本代數螺線，虛線Bo1是曲線以公轉半徑ε1進行圓運動的外側包絡線，雙點劃線Bi1是曲線以公轉半徑ε2進行圓運動的內側包絡線。圖3(b)實線B＇是基準線B以原點O為中心進行180°回轉，雙點劃線Bo2是以ε2進行圓運動的外側包絡線，虛線Bi2是以ε1進行圓運動的內側包絡線。圖3(c)動渦旋型線外側曲線為Bi1，內側曲線為Bo2。圖3(d)靜渦旋型線外側曲線為Bo1，內側曲線為Bi2，公式表示如下：

動渦旋型線方程：

外側型線：

圖1 不同k值的代數螺線

圖2 代數螺線及包絡線示意圖

圖3 渦旋型線結構示意圖

圖4為不同k值的代數螺線渦卷示意圖，由圖可以看出[4]，代數螺線渦旋壓縮機的渦卷，代數螺旋指數k不同，渦卷的壁厚和節距都有變化。

圖4 不同k值的代數螺線渦卷示意圖

圖5 壁厚t說明示意圖

當k=1時，壁厚和節距都不變，形式上與圓漸開線渦旋相似；當k＜1時，渦卷壁厚和節距向外圈方向逐漸減小；當k＞1時，渦卷壁厚和節距向外圈方向逐漸增大。

渦旋壓縮機在運行過程中，當渦旋型線脫離嚙合點位置時，渦卷中心部承受著較大的溫度及壓差，此時渦旋中心部會出現強度不足的風險。但當k＜1時的代數螺線作為型線時，適當設計中心渦卷部厚度，能夠獲得較好的強度，可靠性將會得到提升。

此處，結合圖4靜渦旋型線來定義渦旋的壁厚，取公轉半徑ε1和ε2相等為ε。渦旋壁厚用渦旋的外側曲線和內側曲線間內接圓的兩個接點，即接點E（Xfo，Yfo）和F之間的距離t來定義，P點為內接圓的中心（，Yc），內接圓半徑用r來表示。

由幾何關系可知：

由E點（公式11）、F點（公式12）方程，以及代數螺線及包絡線原理可得內接圓中心坐標方程：

其中：

通過上述公式，結合數值計算可以得出不同偏轉角度下的E、F點坐標，內接圓半徑r，以及壁厚t等數值。

2.3 代數螺線型線工作腔容積

代數螺線包絡線與代數螺線包絡線作為渦旋型線的一對渦盤嚙合形成月牙形壓縮腔，如圖6所示，雙點劃線表示動渦旋內壁型線，實線表示靜渦旋外壁型線。OmA、軸的正向夾角分別為嚙合點A、B在基準線上對應點與Xm軸的正向夾角分別為軸的正向夾角分別為，且嚙合點A、B在基準線上對應點與Xt軸的正向夾角分別為

于是，第i個壓縮腔的橫截面積為：

第i個壓縮腔的容積為：

如圖7所示為指數k不同時，代數螺線的容積變化特性。圖中曲線表示從吸氣終了形成封閉容積后，經過壓縮直至排出整個過程的容積變化。隨著回轉角逐漸增大，壓縮腔內氣體逐漸被壓縮而減少容積，當回轉角到達排氣時，渦旋壓縮機開始排氣，容積不再變化。當k=1時，容積變化基本上為線性關系；當k＜1時，容積變化比k=1時要緩一些，且k值越小變化越平穩；當k＞1時，容積變化比k=1時要快，且k值越大變化越快。

3 代數螺線型線與圓漸開線型線對比

3.1 基本參數

表1和圖8對排氣量72 cm3/rev進行代數螺線與圓漸開線基本參數對比分析。

由表1和圖8可知，在渦旋盤直徑設計相同時，代數螺線設計上可以更靈活，壁厚中心部不包括修正段處的最大壁厚可達5.15 mm，渦卷結束端可達3.87 mm。同比等壁厚4 mm圓的漸開線形式強度上有很大的提升。

3.2 吸氣腔面積對比

表2對代數螺線與圓漸開線型線在相同盤徑情況下的吸氣腔的投影面積情況進行對比，可知代數螺線渦旋吸氣閉合腔A和腔B的投影面積明顯大于圓漸開線型線。在相同72 cm3/rev吸氣容積時，代數螺旋齒高為28.5 mm，圓漸開線為32 mm，同比齒高下降11%左右。因此，代數螺線同比圓漸開線具有更短的密封線長度，性能應有一定的提升。

3.3 氣體力及力矩對比

圖6 壓縮腔面積示意圖

圖7 壓縮腔容積變化示意圖

圖8 代數螺線與圓漸開線渦旋壁厚對比示意圖

表1 代數螺線與圓漸開線參數對比

表2 代數螺線與圓漸開線投影面積對比

渦旋壓縮機工作過程中主要受力形式為動靜渦旋盤之間存在的氣體力[5]，分為軸向力、切向力、徑向力以及它們之間形成的力矩等。如何平衡氣體力是渦旋壓縮機行業的核心問題，設計不充分將會引起低壓比工況泄漏大，高壓比工況磨損過大的情況。通過代數螺線與圓漸開線方案對比可知，盤徑相同、工況相同下，軸向氣體力相差不大，工程應用上差別可以忽略。徑向氣體力相對軸向力和切向力小很多，對比可忽略。由于代數螺線齒高降低了11%左右，經過計算同比切向上所承受的氣體力大約也降低了10%左右，齒高的降低會帶來重心的降低，代數螺線由切向力帶來的傾覆力矩也會降低。

下面通過ARI工況，對比代數螺線與圓漸開線型線切向氣體力及傾覆力矩變化情況，如圖9所示。

通過圖9可知，代數螺線同比圓漸開線型線具有更小的傾覆力矩，這樣在平衡力設計時可以減少背壓力設計，在滿足密封的前提下可以減少高壓比等工況下的密封力，從而可以在一定程度上提升能效。

圖9 代數螺線與圓漸開線切向氣體力及力矩對比

圖10 代數螺線與圓漸開線COP對比

3.4 性能測試對比

上述理論分析了代數螺線同比圓漸開線型線的優勢。圖10為ARI工況下不同頻率的實測性能對比。通過圖10測試數據可知，在標況ARI工況不同頻率的情況下，代數螺線型線相對圓漸開線型線在性能上有3%左右的提升，頻率越低提升效果越好，說明代數螺線泄漏線長度的減少會帶來低頻泄漏量的減少。綜合數據可以明顯看出，代數螺線在性能提升方面有一定的效果。

4 結論

綜上所述，代數螺線型線同比圓漸開線型線相比具有一些明顯優勢：

（1）代數螺線是一種可變壁厚的結構，可將渦旋壁厚設計成由吸氣端到排氣端逐漸增大的結構，通過壁厚改變提高渦卷強度，從而提升可靠性。

（2）在吸氣容積一定的條件下，同比圓漸開線型線，代數螺線渦旋尺寸可以更小型化，泄漏線長度更小，可減少渦旋氣體力及傾覆力矩，可提升性能。也說明在渦旋外徑及齒高相同的條件下，代數型線可以有更大的吸氣量和更高的壓比設計。