點上著眼 法上著力 思想是關鍵

吳從洋 馬嬌嬌

蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》中指出：如果你想讓教師的勞動能夠給教師一些樂趣，使天天上課不致變成一種單調乏味的義務，那你就應當引導每一位教師走上從事一些研究的這條幸福的道路上來。

本文以2019淮安卷16題為例，從點上著眼，就一個問題，在方法上著力，思考教與學的改進，關鍵落在數學思想的領悟和應用。片段時間，些許思考，點滴收獲，謂之微教研。

說明：當一個圖形中出現共端點3條線段為定長時，通常可以借助構造圓來解決問題。當圓出現后，可以運用圓周角定理等有關知識解決問題。可謂：見等長，現“圓”形。

三、拾級而上，順藤摸瓜

對于學生來說，本道題對學生的抽象能力有一定的要求，如果學生不去分析圖形元素之間的關系，很容易按部就班在原△APH中構造直角三角形，由于原三角形并不是可解三角形，故而需要借助勾股定理、相似等方法求得線段長，會增加解題時間。

下面將學生解題方法列舉一二：

解法5：在解法2的輔助線基礎上，未用E是BP中點這一性質。（圖6）

從而根據同位角相等，也得兩線平行，下同解法2。

說明：看到三條線段相等，便想到可以推導原三角形為直角三角形，再根據軸對稱的垂直得到直角，從而得出直線平行，進而轉角，但未能充分利用“對應點的連線被對稱軸垂直平分”這一性質，推理略顯復雜。

解法6：利用建系，直接求P點坐標。（如圖7）

說明：建系是一種用代數方法解決幾何問題的模型，在幾何圖形中，直線就是一次函數，求線段長可以轉化為求解點坐標，但對學生的計算能力要求較高。

還有學生在解法2的輔助線作圖基礎上，結合勾股定理列方程解題，也有學生構造一線三等角模型，利用K型相似求出P所在的直角三角形的兩條直角邊長，但是計算相當冗長。為了讓學生準確定位題目的考點，巧解難題，確實需要教師在教學時引導學生在點上著眼，法上著力。充分抓住運動中的不變量，才能做到妙構解法，輕松做題。

四、授之以魚，不如授之以漁

課標中對圖形變換思想提出了具體要求，圖形變換思想是數學中的一種重要的思想方法，在教學中，向學生滲透圖形變換思想，能夠幫助學生發現圖形之間的本質聯系，提高抽象能力，促進思維發展。近幾年，圖形變換被多個省市選為中考壓軸試題，可見，幾何變換逐漸成為初中數學的熱點學習內容。現以2016年山東威海一題為例加以說明：

如圖8，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內點F處，連接CF，求CF的長。

本題解法很多，構造中位線模型、等腰三角形模型或一線三等角相似模型，然后借助相似三角形、三角函數等性質解決問題。

識圖、析圖、構圖是解決圖形幾何題的關鍵，遇翻折類問題，最核心的是研究翻折前與翻折后的變化，尤其是抓住翻折過程中的不變量——萬變不離其宗，從而帶來角相等、線段相等等幾何元素的關系。常見處理策略有：

1.利用全等、垂直、中點等聯想數學模型。

2.折疊就有角平分線，結合平行線，可得等腰三角形模型，結合等腰三角形“三線合一”定理、倍半角模型等解決問題。

3.如遇直角三角形折疊，可引申出一線三等角模型，借助K型相似，求出未知邊角元素。

總之，充分利用折疊的性質，導邊導角，可以妙構解法，輕松解題。

通過教師初見試題與學生初見試題后選取的解題思路進行比較，不難發現學生對于幾何圖形分析能力弱，思維固定，只注重解題，忽略數學模型的選擇與思想的應用。這就要求教師在教學時注重圖形變換思想的滲透，在實際教學過程中，圖形變換思想的滲透不是幾節專題課就能夠講明白的，而是要借助教材中的多個教學內容來完成滲透，這就要求教師平時認真研究教材，適時滲透圖形變換思想。可以借助幾何畫板，演示圖形運動的軌跡，幫助學生形成運動觀念，不斷研究中考優質題型，以中考題為依托開展課堂教學，注重對優秀考題的剖析、研究，關注解題策略，提高解題能力。

編輯 趙飛飛