關(guān)于圖論課堂教學(xué)的探討與研究

孫曉玲 杜建偉

[摘 要] 圖論是應(yīng)用比較廣泛的一門數(shù)學(xué)課程，但由于其內(nèi)容多、理論抽象，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，課堂教學(xué)效果往往不太理想。結(jié)合作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了構(gòu)建圖論精彩課堂教學(xué)的幾個(gè)方法。

[關(guān)鍵詞] 圖論;課堂教學(xué);學(xué)習(xí)興趣;學(xué)習(xí)能力

[基金項(xiàng)目] 中北大學(xué)教改項(xiàng)目;山西省青年科學(xué)基金（201901D211227）

[作者簡(jiǎn)介] 孫曉玲（1981—），女，山西廣靈人，博士，中北大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事圖論及其應(yīng)用研究;杜建偉（1979—），男，山西代縣人，博士，中北大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事圖論及其應(yīng)用研究。

[中圖分類號(hào)] G642.4? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）31-0301-02? ? [收稿日期] 2020-01-10

圖論是數(shù)學(xué)系本科生的一門基礎(chǔ)選修課，應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的一門專業(yè)必修課。它在化學(xué)、材料學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、信息與通信科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用。尤其是近年來(lái)，隨著網(wǎng)絡(luò)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，圖論取得了許多可喜的成果，受到了數(shù)學(xué)界的廣泛重視。但由于圖論的內(nèi)容十分豐富，涉及的面也比較廣，且對(duì)邏輯推理能力要求比較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課程時(shí)，往往感到抽象、難以理解和接受，容易產(chǎn)生厭學(xué)情緒。因此，教師需要合理設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，通過(guò)有趣、實(shí)用、多樣的課堂內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)能力。

一、通過(guò)“數(shù)學(xué)游戲”引入概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

在講圖的定義時(shí)，可以先讓學(xué)生動(dòng)手畫一些圖，如家族關(guān)系圖、友誼圖、球賽中的比賽關(guān)系圖、圖書館的藏書分類圖等。要求他們用頂點(diǎn)表示人（或物），邊表示人與人（或物與物）之間具有的某種關(guān)系;然后再引入圖論中圖的定義，解釋圖的本質(zhì)就是一個(gè)二元關(guān)系（頂點(diǎn)和邊的關(guān)聯(lián)關(guān)系），這樣學(xué)生在游戲中便掌握了圖的定義，同時(shí)也體會(huì)到了圖論的實(shí)用性。

在學(xué)習(xí)歐拉圖的知識(shí)時(shí)，先介紹著名的格尼期斯城堡七橋問(wèn)題，然后用頂點(diǎn)表示該問(wèn)題中出現(xiàn)的陸地和島嶼（分別用A，B，C，D表示），用邊表示連接陸地和島嶼的橋，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)能否一筆畫的游戲，即在圖1所示的圖中，從A，B，C，D四點(diǎn)中的任意一點(diǎn)出發(fā)，能否筆不離紙且每條線只能經(jīng)過(guò)一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)。許多學(xué)生在中學(xué)時(shí)期有玩過(guò)一筆畫的游戲，在他們看來(lái)這是一件很簡(jiǎn)單的事情，非常愿意去進(jìn)行嘗試，但經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次嘗試都無(wú)法成功時(shí)，學(xué)生的好奇心就被激發(fā)出來(lái)了，為什么不能一筆畫成？為什么七橋問(wèn)題是無(wú)解的呢？這時(shí)教師再來(lái)介紹歐拉圖的定義和定理，解釋不能一筆畫的原因，課堂效果會(huì)好一些，學(xué)生帶著好奇心去聽(tīng)課，會(huì)更容易理解和接受。

二、糾錯(cuò)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的反思能力

在圖論課堂教學(xué)中，教師可以有意的設(shè)置一些錯(cuò)誤。例如，在求連通圖K的全部生成樹(shù)時(shí)，可以有意漏掉幾種，或者多出一些同構(gòu)的生成樹(shù);在對(duì)圖進(jìn)行正常點(diǎn)染色時(shí)，某兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)故意染上相同的顏色，讓學(xué)生來(lái)糾錯(cuò)。學(xué)生在尋找錯(cuò)誤的過(guò)程中會(huì)加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的本質(zhì)，同時(shí)糾錯(cuò)成功的喜悅之情也會(huì)激發(fā)學(xué)生的求知欲和反思能力。

三、因材施教，實(shí)行層次教學(xué)

針對(duì)不同層次學(xué)生的特點(diǎn)及不同奮斗目標(biāo)，適當(dāng)增減內(nèi)容，滿足不同學(xué)生群體的需求。在給本科生授課時(shí)，主要以基礎(chǔ)概念、簡(jiǎn)單的定理證明為主，降低難度，使學(xué)生容易理解和接受，同時(shí)多介紹一些學(xué)生感興趣的內(nèi)容，如格尼期斯城堡七橋問(wèn)題、四色猜想、環(huán)球航行問(wèn)題、中國(guó)郵路問(wèn)題、排課表問(wèn)題、人員分配問(wèn)題等。另外，有不少學(xué)生要參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽，而建模比賽中遇到的許多實(shí)際問(wèn)題（如多階段決策問(wèn)題、選址問(wèn)題、管道的鋪設(shè)、網(wǎng)絡(luò)最小費(fèi)用流問(wèn)題等）都可以通過(guò)圖論中的最短道路問(wèn)題模型來(lái)解決，針對(duì)這部分同學(xué)的需求，詳細(xì)介紹得克斯特拉（E.W.Dijkstra）算法、Flogd算法和最優(yōu)化原則，通過(guò)有趣的內(nèi)容和實(shí)用的算法模型激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。

給研究生授課時(shí)，除了要全面、深入和系統(tǒng)講授書本知識(shí)外，還要補(bǔ)充一些科研工作者的最新研究成果（如現(xiàn)在比較熱門的超圖、化學(xué)圖論等），及時(shí)更新概念和理論的表達(dá)形式，在有限的課時(shí)內(nèi)教給學(xué)生最重要的內(nèi)容。另外，考慮到研究生需要獨(dú)立從事科研工作，教師在課堂教學(xué)中可以適當(dāng)選取一些章節(jié)和學(xué)術(shù)論文由學(xué)生講、老師聽(tīng)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題共同討論。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)更容易發(fā)現(xiàn)自己的問(wèn)題，同時(shí)把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，他們由聽(tīng)眾變成參與者后思維會(huì)更活躍，不僅學(xué)得認(rèn)真，對(duì)知識(shí)的理解也更完整。

四、培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和團(tuán)體協(xié)作能力

在課堂教學(xué)中，教師要給學(xué)生創(chuàng)造對(duì)話和辯論的空間，鼓勵(lì)他們互動(dòng)并分享觀點(diǎn)。在學(xué)習(xí)了頂點(diǎn)的度的知識(shí)后，將學(xué)生分成若干小組，每組成員不少于兩個(gè)人。先讓他們觀察一下是否存在兩個(gè)人在組內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的朋友，若存在，要求他們利用所學(xué)知識(shí)證明這個(gè)命題。學(xué)習(xí)了Dijkstra算法后，給每組布置一個(gè)任務(wù)，要求對(duì)Dijkstra算法進(jìn)行適當(dāng)修改，給出能確定圖的分支或圍長(zhǎng)的好算法，并說(shuō)明為什么是好算法。這些問(wèn)題略有難度，需要同學(xué)們利用集體的智慧解答。學(xué)生之間相互交流時(shí)沒(méi)有太大壓力，敢于說(shuō)出自己的真實(shí)想法，思維也會(huì)更活躍。在你一言我一語(yǔ)的激烈討論中，不僅成功吸收了新知識(shí)，而且在舉一反三、觸類旁通的過(guò)程中，創(chuàng)造性思維也得到了很好的發(fā)展。同時(shí)團(tuán)體合作也能增強(qiáng)學(xué)生之間的友誼和抵抗挫折的能力，更有利于營(yíng)造和諧、濃郁的課堂學(xué)習(xí)氛圍。

五、總結(jié)

精彩、高效的圖論課堂是每個(gè)圖論老師都?jí)裘乱郧蟮?。除了通過(guò)各種靈活多樣的教學(xué)方法吸引學(xué)生的注意力、調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性外，教師還要多與學(xué)生交流，及時(shí)了解學(xué)生存在的問(wèn)題，并幫助其解決問(wèn)題。對(duì)于學(xué)習(xí)能力較差的學(xué)生要多給予鼓勵(lì)，幫助其樹(shù)立信心，引導(dǎo)他找到正確的學(xué)習(xí)方向。另外，教師自身也要注意提高教學(xué)基本功、知識(shí)儲(chǔ)備量和課堂駕馭能力。我們相信，只要師生齊心協(xié)力、共同努力，一定可以達(dá)到良好的教學(xué)效果，有效的提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)。

參考文獻(xiàn)

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