關于圖論課堂教學的探討與研究

孫曉玲 杜建偉

[摘 要] 圖論是應用比較廣泛的一門數學課程，但由于其內容多、理論抽象，學生的學習積極性不高，課堂教學效果往往不太理想。結合作者多年的教學經驗，總結了構建圖論精彩課堂教學的幾個方法。

[關鍵詞] 圖論;課堂教學;學習興趣;學習能力

[基金項目] 中北大學教改項目;山西省青年科學基金（201901D211227）

[作者簡介] 孫曉玲（1981—），女，山西廣靈人，博士，中北大學理學院講師，主要從事圖論及其應用研究;杜建偉（1979—），男，山西代縣人，博士，中北大學理學院講師，主要從事圖論及其應用研究。

[中圖分類號] G642.4? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）31-0301-02? ? [收稿日期] 2020-01-10

圖論是數學系本科生的一門基礎選修課，應用數學專業研究生的一門專業必修課。它在化學、材料學、計算機科學、運籌學、信息與通信科學、社會科學、經濟管理學等方面都有著廣泛的應用。尤其是近年來，隨著網絡和計算機技術的迅速發展，圖論取得了許多可喜的成果，受到了數學界的廣泛重視。但由于圖論的內容十分豐富，涉及的面也比較廣，且對邏輯推理能力要求比較高，學生在學習這門課程時，往往感到抽象、難以理解和接受，容易產生厭學情緒。因此，教師需要合理設計教學過程，通過有趣、實用、多樣的課堂內容，激發學生的學習興趣，培養學生的主體學習能力。

一、通過“數學游戲”引入概念，激發學生的學習興趣

在講圖的定義時，可以先讓學生動手畫一些圖，如家族關系圖、友誼圖、球賽中的比賽關系圖、圖書館的藏書分類圖等。要求他們用頂點表示人（或物），邊表示人與人（或物與物）之間具有的某種關系;然后再引入圖論中圖的定義，解釋圖的本質就是一個二元關系（頂點和邊的關聯關系），這樣學生在游戲中便掌握了圖的定義，同時也體會到了圖論的實用性。

在學習歐拉圖的知識時，先介紹著名的格尼期斯城堡七橋問題，然后用頂點表示該問題中出現的陸地和島嶼（分別用A，B，C，D表示），用邊表示連接陸地和島嶼的橋，通過建立數學模型將其轉化為一個能否一筆畫的游戲，即在圖1所示的圖中，從A，B，C，D四點中的任意一點出發，能否筆不離紙且每條線只能經過一次，最后回到出發點。許多學生在中學時期有玩過一筆畫的游戲，在他們看來這是一件很簡單的事情，非常愿意去進行嘗試，但經過無數次嘗試都無法成功時，學生的好奇心就被激發出來了，為什么不能一筆畫成？為什么七橋問題是無解的呢？這時教師再來介紹歐拉圖的定義和定理，解釋不能一筆畫的原因，課堂效果會好一些，學生帶著好奇心去聽課，會更容易理解和接受。

二、糾錯教學，培養學生的反思能力

在圖論課堂教學中，教師可以有意的設置一些錯誤。例如，在求連通圖K的全部生成樹時，可以有意漏掉幾種，或者多出一些同構的生成樹;在對圖進行正常點染色時，某兩個相鄰頂點故意染上相同的顏色，讓學生來糾錯。學生在尋找錯誤的過程中會加深對知識點的理解，認識到問題的本質，同時糾錯成功的喜悅之情也會激發學生的求知欲和反思能力。

三、因材施教，實行層次教學

針對不同層次學生的特點及不同奮斗目標，適當增減內容，滿足不同學生群體的需求。在給本科生授課時，主要以基礎概念、簡單的定理證明為主，降低難度，使學生容易理解和接受，同時多介紹一些學生感興趣的內容，如格尼期斯城堡七橋問題、四色猜想、環球航行問題、中國郵路問題、排課表問題、人員分配問題等。另外，有不少學生要參加全國大學生數學建模比賽，而建模比賽中遇到的許多實際問題（如多階段決策問題、選址問題、管道的鋪設、網絡最小費用流問題等）都可以通過圖論中的最短道路問題模型來解決，針對這部分同學的需求，詳細介紹得克斯特拉（E.W.Dijkstra）算法、Flogd算法和最優化原則，通過有趣的內容和實用的算法模型激發學生的興趣和求知欲。

給研究生授課時，除了要全面、深入和系統講授書本知識外，還要補充一些科研工作者的最新研究成果（如現在比較熱門的超圖、化學圖論等），及時更新概念和理論的表達形式，在有限的課時內教給學生最重要的內容。另外，考慮到研究生需要獨立從事科研工作，教師在課堂教學中可以適當選取一些章節和學術論文由學生講、老師聽，發現問題共同討論。在這個過程中，學生會更容易發現自己的問題，同時把主動權交給學生，他們由聽眾變成參與者后思維會更活躍，不僅學得認真，對知識的理解也更完整。

四、培養學生的合作意識和團體協作能力

在課堂教學中，教師要給學生創造對話和辯論的空間，鼓勵他們互動并分享觀點。在學習了頂點的度的知識后，將學生分成若干小組，每組成員不少于兩個人。先讓他們觀察一下是否存在兩個人在組內有相同個數的朋友，若存在，要求他們利用所學知識證明這個命題。學習了Dijkstra算法后，給每組布置一個任務，要求對Dijkstra算法進行適當修改，給出能確定圖的分支或圍長的好算法，并說明為什么是好算法。這些問題略有難度，需要同學們利用集體的智慧解答。學生之間相互交流時沒有太大壓力，敢于說出自己的真實想法，思維也會更活躍。在你一言我一語的激烈討論中，不僅成功吸收了新知識，而且在舉一反三、觸類旁通的過程中，創造性思維也得到了很好的發展。同時團體合作也能增強學生之間的友誼和抵抗挫折的能力，更有利于營造和諧、濃郁的課堂學習氛圍。

五、總結

精彩、高效的圖論課堂是每個圖論老師都夢寐以求的。除了通過各種靈活多樣的教學方法吸引學生的注意力、調動學生的積極性外，教師還要多與學生交流，及時了解學生存在的問題，并幫助其解決問題。對于學習能力較差的學生要多給予鼓勵，幫助其樹立信心，引導他找到正確的學習方向。另外，教師自身也要注意提高教學基本功、知識儲備量和課堂駕馭能力。我們相信，只要師生齊心協力、共同努力，一定可以達到良好的教學效果，有效的提高學生的學習成績。

參考文獻

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