基于馬扎諾教育目標分類學的習題設計探究

彭康泰

摘要：習題是幫助學生鞏固所學知識，提高解決問題能力的有效方法之一。目前，無論是在課堂上還是在課后，大部分教師都是通過布置習題來鞏固知識，提高學生的能力。在中學數學新授課的教學中，課后習題設計的重要性不言而喻，不過目前課后習題設計依然存在諸多問題。以馬扎諾教育目標分類學思想做指導，探究中學數學新授課教學如何進行課后習題設計，可以為解決這些問題提供參考。在應用馬扎諾教育目標分類學的思想來設計習題時，可以從如何設定習題的目標、如何設計習題的類型和數量、如何設置習題的難度和順序、如何根據特定要求挑選或命制習題四個方面來進行實際操作。

關鍵詞：馬扎諾教育目標分類;中學數學新授課;習題設計

習題是幫助學生鞏固所學知識，提高解決問題能力的有效方法之一。目前，無論是在課堂上還是在課后，大部分教師都是通過布置習題來鞏固知識，提高學生的能力。在中學數學新授課的教學中，課后習題設計的重要性不言而喻，不過目前課后習題設計依然存在諸多問題：一是習題設計一刀切，兼顧學生的個體差異不夠;二是多數習題基于知識點的難易程度和考查知識點的數目來設計，較少針對培養學生的素養和能力來設計，目標不夠明確;三是習題缺乏新意，題型較為固定，趣味性不足，學生難以體驗到做題的樂趣。以馬扎諾教育目標分類學思想做指導，探究中學數學新授課教學如何進行課后習題設計，可以為解決這些問題提供參考。

馬扎諾教育目標分類學提出了一個認知過程模型：學習者首先判斷學習任務的意義并決定投入程度，決定學習之后再確定學習行為的目標、方式和策略，最后運用學習技能去完成學習任務。基于這個模型，馬扎諾建立了一個評價體系，他先把知識分成了三類：信息領域（事實、組織概念）、智力程序（智力技能、智力過程）、心理動作領域（心理技能、心理過程）。然后，在學習這三類知識時又可分為六個水平：信息提取、理解、分析、知識運用、元認知系統、自我系統，進一步劃分，每個水平還有細分層次如下。

水平1：信息提取，包括知識的簡單再認、回憶或執行。

水平2：理解是將知識以適合的形式來記憶，涉及整合和象征兩個過程。

水平3：分析是知識的合理延伸，包含匹配、分類、差錯分析、概括和認定這五個過程。

水平4：知識應用包含決策、問題解決、實驗、調查這四種過程。

水平5：元認知包含目標設定、過程監控、清晰度監控、準確度監控這四個類別的元認知過程。

水平6：自我系統涉及重要性檢查、效能檢查、情緒反應檢查、動機檢查這四個方面。

這六個水平并不是臺階式上升的關系，難度也不一定全是逐步上升的，而是學生對知識的學習中所經歷的多種認知過程。根據這些目標來設計教學，不僅能關注到學生的多種認知過程，也能考慮到學生的情感體驗和態度，同時還能有計劃、有針對性地去培養學生良好的思維習慣和學習能力。下面從四個方面來陳述如何基于馬扎諾目標分類學思想來進行新授課的課后習題設計。

一、設定習題的目標

習題目標的設定是習題設計的第一步，也是非常重要的步驟，它既體現了教學的要求，也為后續的學習提供了服務。

首先，可以按照馬扎諾目標分類學所劃分的三大類知識，分別列出當天數學課所涉及的數學知識。課后習題涉及的知識不一定完全和當天上課內容相同，可以根據知識之間的聯系適當刪減，在實際操作中也可在命題和選題時適當增加。

以指數函數及其性質的第一節新授課為例，可以列出如下三大類知識：

一是信息領域的知識有指數冪的概念，指數函數的概念，指數函數的圖像、單調性、定義域和值域。

二是智力程序的知識有指數運算。

三是心理動作領域的知識有繪制指數函數的圖像。

其次，對照六個水平及其細分層次確定這些知識的教學進度和要達到的目標層次。現行《義務教育數學課堂標準（2011年版）》中的大部分內容是按照布盧姆目標分類學來設定的，而馬扎諾目標分類學與之不同，其中認知系統的四個水平——信息提取、理解、分析和知識運用還比較容易對照《義務教育數學課程標準（2011年版）》來設定。但是，元認知系統和自我系統兩個水平的目標在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中出現的較少，需要根據知識點的重要性和命題的容易程度結合學生的情況來設定，最好先有學期總體計劃，再具體到每個月、每一周、每一次課。不過，沒有必要為每個知識點都設置這兩個水平的習題，而是平時就要在教學和習題設計中滲透，這么做旨在提升學生的元認知水平和自我認知系統的調節能力。

再次，可以結合學生的實際情況來設置課后習題所涉及的知識及其目標層次。根據每個學生的具體情況給他們都設定相應的目標是最佳的方案，但實際操作起來很難。當前，比較容易實現的是先對學生進行分層，再根據《義務教育數學課程標準（2011年版）》設定最低目標，然后在此基礎之上，對學習基礎較好的學生提高要求。這些要求要側重在分析和知識應用這兩個水平上，因為這兩個水平體現了較高層次的思維。而對學習基礎較弱的學生在學習上步伐要放慢一點，所以在目標設定上要側重于理解和分析。另外，設置元認知系統和自我認知系統水平的目標對于每個學生來說都很重要。目前，在習題設計中針對這兩個水平是較為缺失的，仍需要根據學生的具體情況來完善設置。

例如，指數函數的概念在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的要求是理解，而在我們的日常教學目標中的要求是掌握。那么設定目標時，對于學習基礎較好的學生，這一知識點設置的目標可以包含認知系統的四個水平的所有細分層次，但側重點要放在分析和應用上，其余的應較少的設置;對于學習基礎中等的學生，在應用這個水平的設計時可以降低要求或者難度，盡量少設置一些應用的細分層次目標，要把重點放在理解和分析這兩個水平上。比如，差錯分析這個細分層次，就需要學生自我檢查錯誤的地方并糾正;最后，針對學習基礎較弱的學生，就要在應用和分析兩個水平上降低要求，可以少設置一些細分層次的目標和降低習題難度，但是在理解水平上依然要設定較高的要求，比如要畫出指數函數這一節的知識結構圖等。

另外，因為指數函數的概念是高中數學中的重要知識點，它既和前面第二章函數的知識息息相關，又與后面同一章的對數函數聯系緊密。因此，針對所有學生都要設定元認知系統和自我系統兩個水平的所有細分層次目標：針對學習基礎好的學生時，因為這些學生的學習動機一般都比較強，自我系統的目標一般都能達到，我們就要側重在元認知系統水平上設定較高要求;對于學習基礎中等的學生，一般在兩個水平的大部分細分層次的目標都要設定較高要求;對于學習基礎較弱的學生，他們一般來說學習動機不強，因此應側重在自我系統水平上設定較高要求，在元認知系統水平上設定較低的要求。

另外，目標的設定應該具備一定的彈性，可以采取布置選做題的方式，給學生更多的選擇空間，尤其是對于學生差異化明顯的班級;如果通過上一次布置的習題能得到反饋，從中發現目標設得過高或過低，可能還要適當地調整目標。

二、設計習題的類型和數量

要達到所設定的目標，需要一定數量的習題，并且習題類型應盡量多樣化。

首先，應根據學生分層的情況來設置習題所要考查的知識點和相應的水平及其層次。針對學習基礎較弱的學生，還要設置較多針對單一知識點的各個水平及其層次的習題，使得學習節奏較緩。針對學習基礎較好的學生，則可以設置較多考查多個知識點和涉及多個層次的習題，以滿足他們對思維能力的要求。一道考查多個知識點和多個層次的習題，可以多設置幾個問題，以適應學習基礎較弱的學生。

特別要注意的有兩點：一是考查自我認知系統水平和元認知水平的習題應該占據一定比例，而教材和相關資料中這方面的習題是較少的，需要提升比例，還有不同年級的學生一般占比多少仍需要進一步研究;二是考查認知系統四個水平的各個細分層次的習題比例一般各占多少還有待研究。目前，習題中信息提取水平的習題偏多，理解和分析水平的習題偏少。

其次，習題的形式需要多樣化，以適應學生的不同需求。傳統題型有判斷題、選擇題、填空題、作圖題、解答題和證明題，但是考查同一知識的不同目標的習題的題型都可能會有所不同，要根據目標進行選擇。例如，信息提取水平分為再認、回憶和執行三個層次，其中考查再認的習題一般是選擇題，而考查回憶的還可以是填空題或者解答題，而考查執行的一般是解答題。

有時候要達成習題的目標，還要增加題型。例如，針對分析水平中的差錯分析，增加改錯題型。給出用錯位相減法求數列的和的完整解題步驟，要求找出其中錯誤并糾正。另外，開放性題目應該增加比例，目的是鼓勵學生去創新、去發展能力。

對于傳統題型，還可以增加一些變化。例如，針對理解水平中的整合和分析水平中的匹配和分類，可以讓學生自行畫出某個知識模塊的知識結構圖或思維導圖等;對于傳統的解答題或者證明題，也可以在完整解答或證明的基礎上刪掉部分關鍵步驟，然后學生填空，這相當于將解答題和證明題變成了填空題，這種題型對于學習基礎較弱的學生的促進作用會更大。

再次，如果通過上次習題的反饋發現，考查某個知識點的某一層次的習題有較多的人做錯。那么，涉及這一層次的知識點最好要及時復習鞏固，還要布置相同類型的習題。教師最好要定期記錄學生常出現的錯誤，在章節復習時可以有針對性地教學，并使隨后的練習更有針對性。

最后，習題數量是否合適應該是以學生需要多少時間去完成來作為衡量標準的，在分層設置習題時不一定以學生的學習程度來決定多少和數量，可以適當增多或設置一定比例的選做題，給學生更大的自主性。同時，可以在習題中設計問題，讓學生反饋其練習時所花的時間，以便教師在收集數據之后再調整后續布置習題的數量。

三、設置習題的難度和順序

首先，習題的難度應該與學生的水平相適應。也就是說，要根據學生已達到的學習目標和學生現有的學習能力來設計，設計的習題難度要能讓學生獨立完成大部分，而其余的少部分要有挑戰性。

習題的難度與題目涉及的知識點的數量、對知識點的考查要求、解題步驟的復雜程度和學生對知識點的熟悉程度都有著密切的關系。設計知識點的數量可以統計出來，題目的復雜程度需要進行分析預計，對知識點的考查要求可以根據馬扎諾教育目標分類學理論來設定，因為這個部分在第一步中就要確定，因為學生對知識點的熟悉程度需要從之前的作業以及課堂教學等方面來了解和確定。

其次，習題順序的設置應該遵循一些基本原則：考查相同知識點的習題時難度小的在前，難度大的在后;習題中知識點的排列順序最好遵循邏輯先后順序;考查單一知識點的習題在前，綜合多個知識點的在后;習題數量的多少與知識的重要程度成正比。

直接按照馬扎諾的認知模型，設置習題的順序應該是先自我系統水平，這個過程包括強調某個知識點或知識模塊的重要性，檢查自我效能感和情緒，激發動機;其次是元認知系統水平，包括目標設定，過程監控，清晰度監控，準確度監控;再次是認知系統的四個水平，按照信息提取、理解、分析、知識運用的順序設置。實際操作中，不可能每個知識點都考查到了自我系統水平和元認知系統水平，對這兩個水平的考查可以選擇重要知識點作為載體去設置習題，而且根據記憶規律，最好首尾都有設置，中間可以適當滲透。另外，在同一習題中考查認知系統的四個水平中的單個層次的習題，一般應放在考查多個層次的習題之前。

四、根據特定要求挑選或命制習題

當設定好目標之后，我們可以直接挑選現有資料中的習題，如果不能找到滿足要求的習題，還需要重新命制。

針對或側重某個單一層次的習題的命制，在美國的羅伯特.J.馬扎諾與約翰.S.肯德寧合著的《教育目標的新分類學》一書中對此已有介紹，但是大多涉及別的科目知識，數學方面的較少，尤其是針對元認知水平和自我系統水平的數學習題太少。而這對于學生來說又非常重要，下面我針對這兩個水平的數學習題命制進行逐一分析。

首先是針對元認知水平的數學習題命制。

第一個層次是目標設定，它包括對特定類型知識的理解或對這個方面的技能確定目標并制訂實現目標的計劃。據此，可以設計習題，讓學生自我去設定某個知識點或知識模塊要達到的學習目標及計劃，并且提供輔助來幫助學生去實現這一過程。如你覺得你對錯位相減法運用得如何？你希望對錯位相減法的運用要達到什么目標？如何做才能實現？如果沒有按照預定時間達成要怎么辦？

第二個層次是過程監控，包括確定在實際中怎樣才能有效地運行程序，特別是在程序的目標已經確定的情況下。據此，可以設計習題，引導學生思考如何解題的每個步驟，其中，哪些步驟比較關鍵和重要？遇到困難了該怎么辦？還可以幫助學生檢查離設定的目標還有多遠，有沒有必要改變目標等。

如上一層次的習題后可設計這樣的問題：使用錯位相減法有哪些不同的方法步驟？哪些步驟你覺得重要？哪些步驟的計算你出錯最多？怎么避免出錯？你覺得哪些步驟不理解？為什么要那么做？要采取什么辦法才能解決這些問題呢？大概多久才能使得正確率提升到80%？

第三個層次是清晰度監控，這是指確定個人對特定知識清楚的程度，清晰度指的是沒有模糊性和無歧義。據此，可以設計習題，讓學生梳理復習所學的知識，了解清楚自己所學的知識達到了什么程度，幫助學生找出學習中覺得理解不清晰、模糊的知識點并反思。如你對遞推數列的哪些方面感到不明白？是什么原因導致的？能不能改變？

第四個層次是準確度監控，指確定一個人對知識理解的正確程度。與清晰度稍有不同，學生可能清楚地知道知識的某個方面，但是實際上確是錯的。據此，可以設計習題，讓學生去證明所學的定理和公式等是如何推導的，還可以設計一些易錯結論的證明步驟讓學生判斷正誤并說出理由。如關于等比數列的性質，請寫出你確定認為是正確的內容，你能證明為什么是正確的嗎？

其次是自我系統水平的習題命制。

第一個層次是重要性檢查，包括分析一個人對某項知識是否重要的想法。據此，可以設計習題，讓學生去了解所學的知識點中哪些是重要的，為什么是重要的，哪些是常考的，哪些是難點，哪些知識是有助于理解其他知識的，等等。如裂項相消法對你來說重要嗎？為什么？這些原因符合邏輯嗎？

第二個層次是效能檢查，檢查的是學生個體認為他對某類知識的理解或相關的能力能達到什么水平。據此，可以設計習題，幫助學生自己去確認自己對某個知識點和知識章節或者數形結合等數學思想方法的學習達到了什么程度，有沒有信心達到更高的程度，有沒有方法改變現狀，等等。如你認為你對三角公式的運用北平能有多大程度的提高？原因是什么？這些原因能成立嗎？為什么？

第三個層次是情緒反應檢查，檢查的過程包括確定到底有沒有什么樣的感情與特定的知識有關，以及為什么這些聯系存在。據此，可以設計習題，幫助學生分析學得不好的知識點是否與情緒有關系，能不能調整，如何調整。如你與錯位相減法是否存在某種情感上的關聯？如果有，那是什么？對于這種情感關聯，你是怎么思考的？這種思考合理嗎？

第四個層次是動機檢查，是對整體動機進行檢查，以改善學生在某種知識方面的認識或能力。整體動機就是前面所述的三個層次——重要性的觀念、有效性的觀念和情感方面的綜合。據此，可以設計習題，讓學生確認自己的學習與某個知識點或者知識章節的整體動機之間的聯系有沒有問題，如是有問題，問題出在哪，怎么去調整。如你為什么要學習與函數的相關知識？你這么想的原因是什么？這些原因合理嗎？

另外，針對同一水平中的若干不同層次，也可以設計在同一道習題中，既可以逐問考查，也可以設置較難的一個問題。同理，也可以設置習題對多個水平的若干不同層次進行考查。在設計多個層次的習題時，最好也要遵循前面所討論的順序，題設中應盡量引導學生去思考，在分層設計時對于學習基礎較弱的學生可以提供提示來降低難度。

總之，當前的課后習題設計依然很難完全兼顧個體差異，未來在解決這些問題時還需要深入研究學生對于不同數學知識的復雜認知過程。在這一方面，馬扎諾教育目標分類學提供了一個很好的框架，在這個框架下還可以進一步研究如何更好地設計課堂習題來輔助不同層次的學生，如何設計習題來鍛煉學生的元認知能力，如何在教學設計中更好地將情感因素、意志品質和價值觀等等因素融入到教學活動中。

在未來的中學數學教育中，解決個體差異問題的方法之一是收集學生的學習大數據，以此有針對性地對學生的學習進行指導，而教育數據中必不可少的是習題的答題情況，但是這些數據能更好地反映學生情況的前提是習題的設計要符合學習該學科知識的認知規律。當然，即便是馬扎諾的模型也并沒有精確描述所有的認知水平，我們還需要落實以學生為中心的教學思想，深入研究學生的認知過程，在教學實踐中不斷完善理論。

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（責任編輯：楊強）