基于Python平臺的非線性物理課中的數值“實驗”課

劉彬 陳雄偉 李潮龍 秦錫洲 黃純青 黎永耀

[摘 要] Python作為一種現代化計算機程序設計語言，因其語言的清晰簡潔、易讀和可擴展性被廣泛地應用于腳本與軟件開發，同時也被眾多科研學者應用于科學計算研究。基于Python語言強大的科學計算功能，讓學生盡早接觸這種有廣闊應用前景的語言，并將其引入到非線性物理的數值“實驗”教學上將具有特殊意義。我們在非線性物理課程中，利用Python語言，組織學生對標準非線性薛定諤方程進行數值求解，并將數值模擬的結果與精確解對比。結果表明，Python語言能夠簡單清晰地展示物理現象及過程，因此更直觀地加深了學生對非線性問題的理解。

[關鍵詞] 非線性物理;Python;非線性薛定諤方程;孤立子

[基金項目] 國家自然科學基金項目（11905032，11874112，11575063）;廣東省青年創新人才類項目（2018KQNCX279）

[作者簡介] 劉 彬（1988—），女，湖北松滋人，博士，佛山科學技術學院物理與光電工程學院講師，主要從事非線性動力學研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）29-0292-02 ? ?[收稿日期] 2019-09-24

客觀世界多姿多彩，世界復雜性和多樣性的根源在于其本質上是非線性的。對于一個系統，當輸出和輸入不成正比，我們就認為該系統是非線性系統。從數學的角度來說，非線性系統的一個主要特征是不再滿足迭加原理，而迭加原理失效的一種方式是方程本身是非線性的。這里講解的孤立子是20世紀非線性科學的一個重要發現，其概念可以追溯到1834年，英國工程師J.Russell觀察到河道中單個凸起的水峰可以保持形狀不變而傳播很遠的距離并將其稱之為“孤立波”，接著荷蘭著名數學家D.Korteweg和他的學生在研究淺水波的運動時，推導出單向運動的淺水波運動方程，即KdV方程，隨后孤立子的研究得到了蓬勃發展，并快速延伸到生物、通信等各個科學研究領域。在物理上，孤立子是非線性系統中色散效應和非線性效應達到平衡時的結果，一般可由非線性薛定諤方程來描述。

我們熟知的非線性薛定諤方程是非線性偏微分方程，僅在極少數情況下有精確求解。例如，僅當滿足可積條件時才能利用Darboux變換的方法求解，于是數值方法成為研究非線性問題的一種主要的研究手段。因此在本科教學中，適當地引入數值計算教學對學生理解和掌握相關的物理現象及本質有著重要的意義，同時讓學生盡早接觸這種有廣泛應用前景的語言，有利于對學生基本功的培養并對日后的科學研究打下堅實基礎。

提及傳統的數值實驗工具，人們常會聯想到Matlab[1，2]，Matlab雖然是一種很方便的數值模擬工具，但其冗余，龐大，而且是一款價格不菲的商用軟件，因此，有沒有可能采用更輕便和免費的軟件去替代？Python相對于Matlab來說，就具有了免費、開源、語言嚴謹、書寫格式統一而易學習的特點，也因其具備強大而豐富的庫、可擴展性和數據分析功能而被應用于人工智能，也被中國學者應用于氣象數據處理，同時也被眾多科研學者應用于科學計算、實驗數據處理等，一些知名大學已經在本科階段開設利用Python來講解程序課程設計。Python語言誕生于20世紀90年代初，其創始人是荷蘭人吉多·范羅蘇姆。我們通過將Python語言引入到非線性物理的課程中，將有利于學生更方便的理解和學習到這種先進的語言，同時也可以更好的學習到如何采用數值方法解決物理問題。

本文通過編寫Python程序去模擬非線性物理中的經典方程來引入這堂數值實驗課。在這堂數值實驗課中，我們將會安排學生用Python去模擬非線性薛定諤方程。非線性薛定諤方程是一條經典的非線性方程，在理論物理、光學、工程動力學等學科中都有重要的理論研究與應用價值。

當光脈沖寬度在皮秒范疇內，且光纖損耗為零的情況下，描述光脈沖在單模光纖內傳輸的數值模型寫成無量綱的形式即為如下形式的非線性薛定諤方程[2]：

下面我們僅討論γ=1時的亮孤子解。根據迭代格式（3），我們給出其在Python語言下的虛時間演化代碼。根據參考文獻可知其自聚焦情況下的亮孤子解的具體形式為Ax，t=Msech（Mx）exp（it/2）。下圖給出了我們的數值計算結果和精確解的對比，可以看到數值結果與精確解符合的很好。傳輸圖像展示了數值解穩定傳輸的結果。

通過上述例子，我們采用數值計算模擬方法，簡單快速地獲得一維非線性薛定諤方程的亮孤子解并驗證了穩定性。其與解析結果的一致性免除了解析計算過程中復雜的數學技巧，而通過Python作圖語句將解的形式展示出來，這樣能讓學生更容易、更直觀地去理解物理的概念，也鍛煉了學生的思維能力。

參考文獻

[1]黎永耀，麥志杰，吳劍雄，等.基于Matlab平臺下量子力學課中的“實驗”課[J].赤峰學院學報，2011，27（10）：13-14.

[2]黎永耀，劉丹，呂英紅，劉巖.量子力學中基于離散化空間的一維定態問題的快捷數值實驗[J].赤峰學院學報，2015，27（10）：13-14.

[3]賈東方，等，譯.非線性光纖光學（第5版）[M].電子工業出版社，2014.