以教學設計為載體落實數學學科核心素養

侯向艷

數學學科核心素養的培養需要長期的堅持，數學教師需要將學科核心素養的培養滲透到每節課的教學設計中，本文以用向量法求空間角的教學設計為例來初探如何在高中數學課堂中滲透學科核心素養。

1 課標要求

用向量法求空間角選自普通高中課程標準實驗教科書數學人教A版選修2-1第三章第二節第三課時，課標要求：能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。

2 教學目標

1）探究空間向量求異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算方法。

2）掌握用向量方法解決空間角的計算方法及其應用。

3）通過向量這個載體實現“幾何問題代數化”的思想，進一步讓學生感受數形結合的思想和方法的應用。

4）教學重點：用向量法求空間角。

5）教學難點：用向量法求二面角。

3 學情分析

學生已有知識結構：

1）空間中三種角的概念，用幾何法求空間角的方法。

2）空間向量數量積公式、夾角公式。

學生的心理準備：

用幾何法求空間角，需要找出空間角并計算，有時需要較強的空間想象、邏輯推理和作圖能力，學生迫切希望有新方法克服這些障礙順利求解空間角。

4 教學過程

4.1 復習引入

引例：在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，求二面角的大小。

設計目標：用幾何法求空間角此題時，比較困難，激發學生探究新知識欲望，落實邏輯推理、直觀想象的素養。

4.2 探究新知識

探究一：異面直線所成的角

異面直線l1，l2的方向向量分別為，，l1與l2所成的角θ，

思考：與的關系？計算方法：____________________

探究二：線面角設直線l的方向向量和平面α的法向量分別為，直線l與平面α所成角θ，

思考：與的關系？ 計算方法：_____________________

探究三：二面角

，分別是兩個半平面α，β的法向量，二面角的大小θ，

思考：與的關系？

計算方法：__________________________

設計目的：歸納用向量法求空間角的一般步驟：把空間角轉化為向量角。總結用直線的方向向量求線線角的方法;用直線的方向向量和平面的法向量線面角的方法;二面角既是本節課的重點又是難點，法向量的方向一進一出，二面角等于法向量的夾角，同進同出，二面角等于法向量夾角的補角，通過法向量的夾角求解二面角，突出重點，用數形結合等方法滲透直觀想象、數學抽象的素養，同時用歸納的思想滲透邏輯推理的素養。

4.3 學以致用

知識應用：在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，

（1）求異面直線與所成角的大小，

（2）求直線與平面所成角的大小，

（3）求二面角的大小。

設計目的：學生自主做題，展示成果，加深學生對向量法求空間角計算方法的理解。課前引入學生已經用幾何法求解了該題，總結幾何法、向量法各自的特點，體會向量在解立體幾何中的作用。落實邏輯推理，數學運算，直觀想象，數學抽象的素養。

知識拓展：在上題中，是上的點且.求二面角的余弦值。

設計目的：二面角銳、鈍幾何圖形觀察不出來時，法向量的方向一進一出，二面角等于法向量的夾角，同進同出，二面角等于法向量夾角的補角，突破難點，培養學生直觀想象和數學抽象素養。

4.4 課堂小結

4.4.1 課堂知識體系構建

4.4.2 方法歸納

（1）思維方法：轉化化歸思想，數形結合思想。

（2）記憶方法：

法向量的方向一內一外，二面角等于法向量的夾角。

法向量的方向同內同外，二面角與法向量的夾角互補。

（3）解題方法：利用向量角求解空間角。

設計目的：總結歸納，幫助學生構建知識體系，落實數學抽象素養。

總之，在日常的教學中，教師應該結合不同的教學課題，設計有梯度，科學合理的問題，培養學生各個層面的學科核心素養，教師要設計有效的教學設計，以學生為主體，服務于學生，在每一節課中落實和滲透學科核心素養，解構教學細節，促進學生思維的發展，最終實現提高學生核心素養的終極目標。

（作者單位：巴彥淖爾市第一中學數學組）