基于近鄰截斷的跳躍擴散過程波動函數的設定檢驗

陳 強，龔玉婷

(1.上海財經大學經濟學院，上海 200433；2.上海財經大學數理經濟學重點實驗室,上海 200433；3.上海大學悉尼工商學院，上海 201800)

1 引言

資產價格 (或收益) 的波動是金融分析中的一個重要變量，其在風險對沖、資產定價以及最優投資組合構建等領域都有著廣泛的應用。現代金融研究中大量使用到了連續時間 (跳躍) 擴散過程，其中波動項是 (跳躍) 擴散過程中連續成分的重要元素之一。由于對擴散過程的錯誤設定 (特別是其波動過程的錯誤設定) 會造成嚴重的模型風險。如何準確的設定與估計數據生成過程的波動特征一直是學術界與實務界所關心的重要問題。

學術界自從Ait-Shalia[1]基于非參數方法提出關于純擴散模型的設定檢驗方法以來，已有大量關于連續時間模型的設定檢驗的研究。這些設定檢驗主要可以分為兩類：1、關于漂移函數與波動函數的單獨檢驗；2、關于漂移函數和波動函數的聯合設定檢驗方法 (見Chen、Zheng與Pan[2]的簡單綜述)。本文主要關注對波動函數的單獨設定檢驗。現有的研究已有一些專門針對擴散模型波動函數的設定檢驗方法，如 Corradi和White[3]、Dette等[4]、Li[5]、Dette和Podolskij[6]、Chen等[2]等。分析這些文獻發現，這些波動函數設定檢驗方法都是針對純擴散模型進行分析，其大樣本性質大都依賴于數據觀察步長趨于0這一條件。因此，這些波動函數的設定檢驗方法都沒有考慮進跳躍的影響。根據本人所掌握的文獻，還未見有不依賴于跳躍的波動函數檢驗方法。然而，金融資產價格的不連續變化或跳的存在，已是學術界普遍認可的事實。特別對于高頻數據而言，跳躍現象就更加明顯。Chen等[2]的模擬研究已表明，跳躍的存在會使得波動函數的檢驗存在過度拒絕 (overre jections)，本文蒙特卡羅模擬的分析也清楚的看出這一現象。由于現有的波動函數檢驗方法對存在跳躍的擴散模型是不穩健的。這在很大程度上限制了這些波動函數設定檢驗方法的應用范圍。

因此，有必要提供一種對跳躍穩健的波動性檢驗方法。之所以對跳躍擴散模型各個成分單獨檢驗的研究如此重要，其原因除了陳強等[7]提到的模型錯誤設定的原因識別之外，還緣于金融實踐中需求。針對給定離散的觀測數據，區分數據過程中擴散成分 (diffusion part) 與跳躍成分 (jump part) 的貢獻，對于定價、對沖與金融計量應用都是很重要的 (見Barndorff-Nielsen和Shephard[8])。正如A?t-Sahalia[9]所述，相對于連續的價格變化 (通常被描述為純擴散模型)，跳的存在對于衍生品定價，風險管理和資產配置都有著不同的含義。跳躍穩健的波動函數設定檢驗方法可以用于區分波動過程的連續成分和不連續成分 (即跳躍)，從而為金融定量分析提供更豐富的分析工具。

對函數形式的檢驗必須有相對應的參數估計方法。本文首先對Shimizu和Yoshida[10]的對跳躍穩健的聯合估計做一定的修改，得到相應的對跳躍穩健的波動函數的估計方法。然后，基于近鄰截斷 (nearest neighbor truncation) 方法，采用殘差的部分和 (partial sum)過程構造出一類對漂移項和跳躍項都漸近穩健的波動函數設定檢驗方法，希望得到更適合高頻數據環境分析的擴散過程波動函數的設定檢驗方法。近鄰截斷方法在連續時間擴散模型中的應用，最先要屬Andersen等[11-12]所提出的對跳躍穩健的積分方差 (integrated variance) 與積分四次變差 (integrated quarticity) 的估計。他們的近鄰截斷估計方法都不涉及具體的函數形式。與他們不同，本文將利用近鄰截斷方法考察波動函數形式的設定檢驗。采用近鄰截斷方法的優勢在于，使所提出的檢驗統計量對跳躍具有一定穩健性，并且近鄰截斷不像其他門限截斷方法涉及門限值的選擇。

2 模型設定與參數估計

假設數據生成過程X?{Xt:0≤t

dXt=μ(Xt)dt+σ(Xt)dBt+dJt

(1)

(2)

其中，εi?εti～i.i.d.N(0,1)，且當s≤ti時，εi與Xs相互獨立。

本文所要考察的原假設檢驗問題為：對于時間區間[0,T]內 (跳躍) 擴散過程的波動函數是否來自某個參數族下的一組函數，即存在某未知的參數θ，使得

H0:σ(·)∈{σ(·,θ):θ∈Θ?Rd}

其備擇假設H1為：H0不正確。

所考察的原假設問題在現有文獻里并不陌生，屬于一類復合假設 (composite hypothesis) 檢驗問題。所不同的是，本文需要從漂移項、波動項、跳躍項中單獨識別出波動函數的信息。如前言所述，從純擴散模型中單獨識別出波動函數信息已有一些計量方法。這些波動函數的設定檢驗方法，其基本的依據都是利用如下關于純擴散過程的二階條件矩性質，即當Δ→0時：

(3)

+λ(x)EY(Y2)+Op(Δ)

(4)

從式 (4) 可以看出，即使在Δ→0條件下，只要數據過程存在跳躍，λ(x)EY(Y2)就不為0。此時，即使波動函數σ(x,θ)是正確設定的，也不能保證其滿足式(3)的條件矩。可見，以往基于純擴散模型框架所推導出的波動函數檢驗統計量不適用于跳躍擴散模型波動函數的設定檢驗。據本人所掌握的文獻，目前尚未見有從跳躍擴散模型的三個成分中單獨識別出波動函數信息的方法。為此，本文將在第3節提出一類對跳躍項和漂移項漸近穩健的波動函數設定檢驗方法。

為了計算跳躍穩健的波動函數檢驗統計量的值，必須首先有相應的方法估計波動函數參數大小。目前比較流行的波動函數估計方法是最小化差異估計 (minimum contrast estimation)。其基本的思想來源于極大似然估計。如Corradi和White[3]、Li[5]、Chen等[2]都采用這一方法來估計波動函數的參數。不過這些文獻所采用的波動函數估計對跳躍的影響都不是穩健的。最近，Shimizu和Yoshida[10]提出了一種存在跳躍時的擴散模型漂移函數和波動函數的聯合估計方法，其要求T→∞這一條件。實際上，當T給定時，對Shimizu和Yoshida[10]的聯合估計方法作適當調整，便可以得到對跳躍穩健的波動函數估計方法。具體而言，我們采用如下形式的波動函數最小化差異估計：

(5)

3 檢驗統計量的構造與實施

3.1 部分和過程不存在參數估計情形

近鄰截斷方法對跳躍穩健的基本依據是：對于有限活躍的跳躍過程，我們漸近的基本不可能在相鄰時點上同時遇上跳躍。基于此，Andersen等[11]提出了兩個積分方差的近鄰截斷估計量，即基于最小值截斷的估計量MinRVN和基于中位數截斷的估計量MedRVN：

(6)

(7)

其中MinRVN是單邊截斷，即取兩個相鄰收益絕對值的較小值；MedRVN是雙邊截斷，即取三個相鄰收益絕對值的中間值。Andersen等[11]進一步給出了這兩個估計量的漸近收斂性：

以上兩式左邊除以Δ相當于對其單位時間化，這樣處理的好處是使得其期望值與T無關。自然的，可以基于上式構造零均值的殘差。類似于陳強等[7]、Chen等[2]的做法，為了得到標準化的部分和過程，可以構造如下標準化殘差：

同理，基于MedRVN可以構造對應的標準化殘差。

一般情況，基于波動函數σ2(Xi-1,θ)可以類似構造如下標準化殘差：

(8)

(9)

(10)

(11)

3.2 部分和過程存在參數估計情形

(12)

(13)

(14)

證明：見附錄。

(15)

4 蒙特卡洛模擬分析

4.1 模擬設置

本節將通過蒙特卡羅模擬來分析所提出的檢驗統計量的有限樣本性質。為了分析檢驗統計量的檢驗水平表現，數據生成過程 (DGP) 考慮的原假設模型分別為Vasicek[20](記為：Vasicek)模型，Cox等[21](記為：CIR)模型。其中，

Vasicek 模型為

dXt=κ(α-Xt)dt+βdBt

(16)

CIR 模型為

(17)

Vasicek 模型的參數設置為(α,κ,β2)=(0.089102,0.85837,0.002185)；此時的原假設問題為：H0:σ2(x)=常數。CIR 模型的參數設置為(α,κ,β2)=(0.090495,0.89218,0.032742)；此時的原假設問題為：H0:σ2(x)=β2x。以上參數的設置均參照Li[5]的設置。

為了分析檢驗統計量的檢驗功效 (power) 表現，本文考慮兩種情形的原假設。第一種情形的原假設假定DGP為一個包含常數波動的 (跳躍) 擴散過程。而真實的數據過程分別為Chan等[22]的(記為：CKLS)模型和Ahn和Gao[23]的Inverse-Feller模型。第二種情形的原假設假定DGP為一個包含CIR類型波動 (即β2x) 的 (跳躍) 擴散過程。而真實的數據過程分別為CKLS 模型和Inverse-Feller模型。其中，

CKLS 模型為

(18)

Inverse-Feller模型為

(19)

CKLS 模型的參數設置為(α,κ,β2,ρ)=(0.0972,0.0808,0.52186,1.46)，其參數設置參照Li[5]的設置。Inverse-Feller模型的參數設置為(α,κ,β2)=(0.0823,3.6438,1.6387)，其參數設置參照Ahn和Gao[23]的估計結果。

4.2 模擬結果分析

表1 非穩健的檢驗統計量與的檢驗水平

表2 穩健檢驗統計量與的檢驗水平

5 實證應用

本節將所提出的檢驗統計量應用于我國短期利率數據的實證，并簡要分析我國短期利率的跳躍與波動特征。所選取的數據為流動性相對較好的7天期 (1W) 上海銀行間同業拆放利率(Shanghai Interbank Offered Rate，簡稱Shibor)的日度數據。用于實證檢驗的數據時間跨度為2006年11月1日至2017年12月29日(原始數據始于2006年10月8日)，其描述統計分析見表4。本節首先采用跳躍檢驗方法分析Shibor數據是否存在跳躍以及跳躍現象；然后分別對每一年的Shibor數據進行波動函數特征的檢驗。

5.1 跳躍檢驗分析

表3 穩健檢驗統計量與的檢驗功效

本文采用Lee、Mykland[25]所提出的跳躍檢驗方法來分析短期利率的跳躍行為。將所有Shibor數據按年為單位，對年內逐日向前移動估計Lee、Mykland檢驗統計量的值。表4最后三列統計了在三個顯著性水平下各年被檢驗出跳躍次數。從表4可以看出，所考察樣本期的Shibor數據存在著明顯的跳躍風險，且在不同的時間段呈現一定的時變特征與集聚現象。實際的一些研究也認為中國都短期利率加入跳躍項后能更好的刻畫其特征 (如洪永淼和林海[26],談正達和胡海鷗[27])。因此，對我國短期利率特征的描述應該對其跳躍特征加以考慮。

5.2 波動函數檢驗分析

表4 期限為1W的Shibor數據統計描述與跳躍檢驗

表5 期限為1W的Shibor數據的波動函數檢驗結果

6 結語

以往的波動函數設定檢驗方法都是基于純擴散模型框架提出的，其對跳躍的影響是非穩健的。為了得到適用于跳躍擴散過程的波動函數設定檢驗方法，本文首先探討了跳穩健的波動函數的參數估計方法；然后利用近鄰截斷方法，基于部分和過程構造了針對跳躍擴散過程的波動函數設定檢驗方法，并分析了檢驗統計量的近似極限性質。所提出的檢驗方法漸近的不受漂移項與跳躍項的影響。為了對一般性的波動函數實施準確的設定檢驗，本文還提出了一套波動函數的自助法檢驗步驟。通過蒙特卡洛模擬發現，所提出的檢驗統計量能夠較好的避免或減輕跳躍對檢驗結果的影響，檢驗統計量能得到較好的檢驗水平表現和檢驗功效表現。最后，將本文所提出的檢驗統計量應用于7天期的Shibor利率數據的波動函數實證檢驗，發現檢驗結果比非跳躍穩健的檢驗統計量具有更好的區分度。

附錄：

定理證明

(A1)

(A2)

其中，

由于當Δ→0時，有(?tNT/T?-1)/NT→t/T。依據針對遍歷擴散過程的Glivenko-Cantelli定理 (見 Kutoyants[28]),得

(A3)

(A4)

綜上(A2)、(A3)與(A4)可得

(A5)

(A6)

(A7)

證畢。