基于局部相關系數和截尾扭曲混合Copula的杠桿效應識別和度量

沈根祥，鄒欣悅

(1.上海財經大學經濟學院，上海 200433; 2.上海對外經貿大學統計與信息學院，上海 201620)

1 引言

杠桿效應(leverage- effect)是指金融資產收益和波動的相依關系，同分布厚尾性(fat-tail)和波動集聚性(volatility-clustering)一起被稱金融市場數據的三大特征，在金融數據分析和建模中具有重要應用。Lai Yusheng和Sheu Herjiun[1]和吳恒煜等[2]的研究都發現，杠桿效應在期權定價、資產組合配置和風險管理中都發揮著重要作用。金融理論和實踐中用收益的方差或者條件方差作為波動的計量，自回歸條件異方差(ARCH)模型是最為常見的波動模型，其中門限GARCH(TGARCH)模型和指數GARCH模型(EGARCH)具有刻畫杠桿效應的功能。波動的不可觀測性限制了對收益和波動相關性的直接研究，增加了杠桿效應研究難度。高頻交易數據的可獲取性使日內數據計算的已實現波動(RV，Realized Volatility)作為日波動的代理變量得到廣泛應用[3-6]，一方面將RV引入GARCH模型提出已實現GARCH(RGACH)模型能夠提高波動模型的擬合和預測能力，如沈根祥和鄒欣悅[7]在Opschoor等[8]模型的基礎上，將條件方差看作時變隱變量用得分驅動方法將條件方差動態方程設定為廣義自回歸得分GAS(generalize autoregression score)模型，提高了波動預測能力；另一方面以RV為代理變量克服了波動不可觀測的困難，使得通過已實現波動和收益的關系直接研究杠桿效應成為可能。

傳統的杠桿效應理論認為利空消息帶來負收益率沖擊會導致波動增大，而利好消息引起正收益沖擊會導致波動降低，正負收益沖擊對波動的影響存在非對稱性。TGARCH模型和EGARCH模型通過在條件異方差中添加帶符號的上期收益沖擊平方項或者收益沖擊絕對值來捕捉杠桿效應，這些模型刻畫的杠桿效應只是收益和波動的線性相關關系，具有明顯的局限性。將已實現波動作為代理變量直接研究波動和收益的相依關系，可以建立更為靈活的模型捕捉和度量杠桿效應。Ning等[9]以RV為波動代理變量，采用Copula函數研究S&P500指數的杠桿效應，吳鑫育等[10]建立RV和收益率序列的隨機動態Copula模型，研究中國股票市場的時變杠桿效應。用RV和收益率的聯合分布度量杠桿效應，關鍵之處在于正確設置兩個序列的Copula函數。Ning等[9]和吳鑫育等[10]均根據杠桿效應的傳統定義，采用混合Copula函數刻畫聯合分布的尾部相關性作為杠桿效應的度量，通過檢驗發現股票市場上負收益和波動只存在上尾部相關性，據此認為股市低收益伴隨高波動，但高收益并不一定出現低波動，并在實證研究部分采用單一Copula函數構造聯合分布。Chen和Ghysels[11]對美國股票市場的研究發現，股票價格的下降(負收益沖擊)和大的價格上升(正收益沖擊)都會引起波動增加，只有較小的價格上升(正收益沖擊)會引起波動降低，此后文獻中的已實現GARCH波動模型大多據此設定杠桿效應的函數形式。根據傳統杠桿效應理論設定能夠捕捉上尾部相關和下尾部相關的混合Copula函數，施加錯誤的約束條件，以此為基礎的檢驗結果不能反映真實情況。通過實際數據探究RV和收益序列的相關模式，構造合適的Copula函數刻畫杠桿效應十分重要。

本文以Tj?stheim和Hufthammer[12]提出的局部相關系數為工具，計算RV和收益在不同取值處的局部相關系數，畫出相關圖(correlation map)。然后在Li等[13]的扭曲混合Copula構造方法基礎上，設計一種特殊的截尾扭曲函數來構造混合Copula，以此擬合RV和收益的聯合分布。以上證綜指2013.1.29日至2017.4.30區間內日內1分鐘高頻數據為樣本進行實證分析，結果表明我國股票市場的杠桿效應具有類似于Chen和Ghysels發現的相關結構。采用Genest等[14]的Copula擬合檢驗方法進行實證檢驗，檢驗結果不能拒絕本文構造的Copula函數，而用于捕捉負收益和RV上尾部相關性的兩成分混合Copula函數均遭到拒絕，不能通過Copula擬合檢驗。本文的研究結果為已實現波動和收益的聯合分布構造提供適合的Copula函數，具有基礎重要性。

2 已實現波動和收益的局部相關性

傳統的相關系數只能衡量隨機變量間整體上的線性相關性，不能度量不同取值范圍內相關性的變化。Tjφstheim和Hufthammer[12]采用二維正態分布密度對聯合密度進行逼近，提出局部相關系數的概念。設二維隨機向量(X1,X2)的分布密度函數為f(x1,x2)，邊際分布函數為FX1(x1)和FX2(x2)。在點x=(x1,x2)鄰域內，用二維正態密度φ(y,θ(x))逼近f(x1,x2)，即

-logφ(y,θ(x))f(y)]dy

圖1 上證綜合指數局部相關系數圖

圖1中局部相關系數呈現出“V”的形狀，表明已實現波動和收益的相關方向和強度在不同的取值范圍內有較大變化。收益取負值時，已實現波動和收益的局部相關系數為負，相關強度隨收益絕對值增大而增加，尾部相關系數絕對值接近0.9，呈現出很強的左上尾(upper-left)相關性，表明負收益沖擊會引起波動增加；收益取正值時，二者的局部相關系數為正，相關強度隨收益值增加而增大，呈現出明顯的右上尾(upper-right)相關性，表明大的正收益沖擊同樣會引起波動增加。在同一收益沖擊水平下，局部相關性大小隨RV水平從高到低呈現逐漸降低的趨勢，表明收益沖擊對波動的影響在市場波動劇烈時期弱于市場波動小的時期，考慮到市場劇烈波動往往由較大收益沖擊導致，這一結果反映出收益沖擊對波動影響的邊際效應逐漸下降。以上實證分析表明，中國股票市場的杠桿效應與Chen和Ghysels[11]發現的美國股票市場杠桿效應具有類似的相關模式。Ning等[9]和吳鑫育等[10]設定的用于刻畫杠桿效應的兩成分混合Copula函數，第一成分Copula用于捕捉負收益和已實現波動的左上尾相關性，第二成分Copula卻只能捕捉正收益和已實現波動的右下尾相關性，不能刻畫右上尾相關性的市場事實，采用市場數據估計的混合Copula中第二成分Copula的權重系數不顯著，不能提供杠桿效應市場表現的真實信息。

3 截尾扭曲混合Copula函數構造

為了克服混合Copula函數不同Copula成分之間相互影響的缺陷，在Li等提出的扭曲混合(DM：Distortion Mix)Copula構造方法基礎上，本文提出截尾扭曲混合(TDM：Truncated Distortion Mix)構造方法，構造更接近實際的已實現波動和收益的Copula函數，更為客觀地刻畫市場杠桿效應。

3.1 扭曲混合Copula函數構造方法

Li等提出的扭曲混合Copula函數構造方法，是在混合Copula的基礎上采用扭曲函數對邊際分布進行變換，以盡量減少Copula成分之間的疊加和相互影響。

(1)

3.2 截尾扭曲混合Copula函數構造方法

盡管扭曲混合構造方法可以實現不同區域內的Copula構造，但由于混合Copula函數不同成分之間的疊加和相互影響，削弱了不同區域條件Copula構造的效果。基于扭曲函數是邊際分布的條件分布的思想，本文選擇一種特殊的扭曲函數，對條件分布進行截尾以減輕不同Copula成分之間的影響。首先選定分界點0

將h1,h2積分得出扭曲函數D11(x),D21(x)

結合實證部分的要求，本文選擇Patton[17]提出的半旋轉(half-rotated)Clayton CopulaCHR-Cl(u,v)擬合左上尾負相關性。半旋轉Copula是為了改變Copula相關性進行的變換，具有正相關關系的Copula經半旋轉變換后具有負相關關系。Clayton Copula具有正的下尾部相關，沒有上尾部相關性，沿縱軸半旋轉后得出的半旋轉Clayton Copula具有負的左上尾相關，沒有右上尾相關。本文選擇Gumbel CopulaCGu(u,v)擬合正的右上尾相關性，Gumbel Copula沒有左上尾相關性。Clayton Copula和Gumbel Copula都屬于阿基米德Copula族，具有良好的性質。為了完成扭曲混合Copula構造，選擇獨立CopulaC⊥(u,v)作為第三個混合成分，以減輕對其余兩個成分相關結構的影響，即

CGu(u,v;θ2)

θ2∈[1,∞)

C⊥(u,v)=uv

(2)

(3)

4 實證分析

本部分用2013.1.29至2017.4.30期間上證綜指數據為樣本分別對截尾扭曲混合方法構造的Copula函數和混合Copula函數進行擬合和檢驗等實證分析。收益采用日收盤指數進行計算，已實現波動采用日內1分鐘高頻數據進行計算，具體計算方法參考第二部分。局部相關系數的估計結果表明，本文構造的截尾扭曲混合Copula函數比混合Copula函數具有更接近實際數據的相關結構，Copula擬合檢驗強烈拒絕吳鑫育等和Ning等給出的兩成分混合Copula函數，不能拒絕本文構造的三成分截尾扭曲混合Copula函數。

圖2 扭曲函數及其密度函數

表1 Copula參數估計及標準差

圖3 Copula模擬樣本散點圖

圖4 Copula局部相關系數

其中

為消除檢驗統計量Sn對原假設中C及其參數θ的依賴，Genest等[14]建議對樣本實施Rosenblatt概率積分變換e=Rθ(u)，使得在原假設下變換后的樣本e=(e1,e2)獨立，即Cind(e)=e1e2,e∈[0,1]2，避免了檢驗統計量依賴原假設Copula及其參數。基于此Genest給出如下檢驗統計量

第二步：對ui=(ui1,ui2)實施Rosenblatt變換得到ei=Rθ(ui)，變換公式為

采用以上檢驗方法對混合Copula函數CM和截尾扭曲混合Copula函數CDM進行擬合優度檢驗。為全面評估截尾扭曲混合Copula相對于混合Copula的優勢以及Copula成分選擇對擬合效果的影響，除了對本文選擇CHR-Cl、CGu和Cind構造的截尾混合扭曲Copula進行檢驗之外，也對選擇半旋轉Clayton Copula(HR_Cl)、半旋轉Gumbel Copula(HR_Gu)、survival Clayton Copula(S_Cl)和Survival Gumbel Copula(S_Gu)描述左上尾負相關性， Clayton Copula(Cl)、Gumbel Copula(Gu)描述右上尾正相關性的各種組合形成的Copula進行了檢驗。檢驗結果見表2.，其中CDM的第三個成分均為獨立Copula，不再列出。吳鑫育等、Ning等對混合Copula參數估計進行顯著性檢驗，結果描述上尾部的Copula成分不顯著，其最終實證模型中只采用了描述下尾部負相關性的單成分Copula模型，包括survival Clayton Copula(S_Cl)和Survival Gumbel Copula(S_Gu)。

表2 Copula擬合優度檢驗

從表2的檢驗結果看出：

(1)以半旋轉Clayton Copula、Gumbel Copula和獨立Copula為成分，用截尾扭曲混合方法構造的Copula函數對數據的擬合效果最優，數據擬合優度檢驗不能拒絕原假設。

(2)成分Copula選擇對截尾扭曲混合Copula函數的擬合優度有明顯的影響。選擇HR_Cl+Cl組合構造的Copula函數盡管不能被拒絕，其檢驗的p值卻顯著小于HR_Cl+Gu組合，而HR_Gu+Gu組合則被拒絕。根據其直觀解釋，截尾扭曲混合構造方法可以看做是分區域構造Copula函數，不同區域具有不同的局部相關性，需要用合適的成分Copula函數來描述，選擇不當會影響擬合效果。HR_Gu+Gu組合采用了Gumbel Copula函數及其半旋轉變換，把上下尾部的相關性用一種Copula及其變換來刻畫，較強的約束性限制了其數據擬合能力。組合HR_Cl+Cl比HR_Cl+Gu擬合效果差可以得到同樣的解釋。

(3)吳鑫育等[10]和Ning等[9]構造的混合Copula和單一成分Copula對數據的擬合能力較差，不能通過擬合優度檢驗。主要原因在于他們選擇具有負相關性的Copula試圖捕捉右上尾相關性，而局部相關系數表明，右上尾呈局部正相關。其次，未經扭曲的混合Copula函數各個Copula成分之間的相互疊加和影響，也會降低其數據擬合能力。

5 結語

收益和波動是風險資產投資決策的兩個關鍵變量，兩個變量之間的相關性稱為杠桿效應，是金融數據三大特征之一，正確設定收益和波動的聯合分布對波動預測、投資組合管理等具有現實意義。采用日內高頻交易數據計算的已實現波動作為波動代理變量，克服了波動不可直接觀測的困難，收益和波動的聯合分布建模轉化為收益和已實現波動聯合分布的建模。收益的厚尾性和已實現波動的非負性，使得正態分布不再適合兩個變量的邊際分布及其聯合分布，基于正態分布的相關系數不能正確反映連個變量的相關性。本文構建收益和已實現波動聯合分布的Copula函數來捕捉二者之間的相關性。

本文首先以高斯局部相關系數為工具，對收益和已實現波動樣本數據的相關性進行研究，結果表明兩個變量具有“V”型的局部相關結構，表明大正收益沖擊與大負收益沖擊一樣，會引起波動增大，體現出明顯的左上尾負相關和右上尾正相關性。為捕捉收益和已實現波動之間特殊的相關性，本文在扭曲混合Copula構造方法的基礎上引入截尾扭曲混合Copula構造方法，對扭曲函數進行截尾最大程度減少成分Copula之間的疊加影響。采用2013.1.29至2017.4.30上證綜指數據的實證分析表明，與文獻中現有Copula函數相比較，本文構造的Copula函數更為真實地再現了收益和已實現波動的局部相關結構。非參數Copula擬合優度檢驗結果表明，由于其更強的實際數據擬合能力，擬合優度檢驗不能拒絕本文構造的Copula函數，而其它Copula函數不能通過擬合優度檢驗。

已實現波動和收益聯合建模已得到廣泛的應用，本文基于截尾扭曲混合Copula構造的聯合分布，能夠正確刻畫兩個變量的局部相關結構，為有關研究提供了有價值的參考，具有基礎重要性。