不確定需求下考慮供應商參與機制的應急資源配置魯棒優化研究

張夢玲,王 晶,黃 鈞

(1.北京工商大學商學院，北京 100048； 2.中國科學院大學工程科學學院，北京 100049)

1 引言

近年來，大規模地震災害頻繁發生，造成了嚴重的人員傷亡和財產損失。如2008年的汶川大地震，2010年的青海玉樹地震，2013年的四川雅安地震，2017年的九寨溝地震。地震災害發生具有不確定性、動態性、復雜性等特征，使得災害發生后應急救援過程應急資源需求具有不確定性、緊迫性、持續時間長、需求量大等特點，應急資源保障體系的建是高效救援工作展開的關鍵。許多學者對應急資源優化配置問題開展研究，早期針對確定性條件下應急資源配置研究，主要有張銥瑩[1]為合理解決應急系統管理中的應急資源選址和配置問題,實現應急資源優化管理,構建基于應急系統綜合可靠性的多目標應急服務設施選址和資源配置模型。許建國等[2]考慮需求點需求量發生變化時，調整被選擇的地址點所需放置的應急物資資源量,使得需求變化周期內需求點被滿足的需求總量最大化。Roni等[3]在考慮常規需求和應急需求下，研究了混合庫存管理策略問題，以期在現有的政策下得出最優的庫存量。對于不確定條件下的應急資源配置研究，主要有：Chen Jingxian等[4]考慮了不確定應急資源需求條件下社會捐贈和救災機構應急資源購買量，構建了一個帶有報童方法的應急資源庫存-運輸的兩階段模型。Rawls和Turnquist[5]在不確定條件下，利用應急資源的預定位策略考慮了不同類型的設施選址和庫存，并建立了相應的兩階段隨機規劃模型。張玲等[6]考慮災害發生時需求的不確定性條件，基于災難情景建立了隨機規劃模型對應急物資供應中心選址與應急資源配置數量問題進行了研究。葛洪磊和劉南[7]基于復雜災害情景，分析了應急設施的定位決策、應急物資的庫存決策和不同災害情景下應急物資分配預案問題，建立了相應的兩階段隨機規劃模型。Ni Wenjun等[8]在不確定需求、預定位庫存比例和路網能力下，以救災過程中剝奪成本最小為目標，提出了最小-最大魯棒優化模型。Bozorgiamiri等[9]在災害準備和應對階段，提出了需求、供應量、采購成本和運輸成本不確定條件下救災物流的多目標魯棒隨機規劃模型。

目前商業物流研究中考慮供應商的問題較多，主要研究訂貨提前期、數量折扣、生產能力、價格折扣、運輸時間和服務水平等相關因素對供應商選擇和采購策略制定的影響[10-13]。應急資源保障體系中供應商參與的研究主要集中于災后從供應商緊急采購應急資源和生產能力儲備。胡少龍等[14]引入供應商生產能力差異，考慮受災點需求不確定性，建立基于情景的兩階段隨機規劃模型解決災后應急資源采購方案。王珂和吳麗瑤[15]考慮不確定需求條件下，研究實物儲備量和生產能力儲備量最優儲備方案的協調性問題。張自立等[16]考慮企業生產能力，進行了政府補貼對協議企業生產能力儲備影響以及政府對協議企業補貼的最優狀態的研究。Balcik和Ak[17]基于救災機構和供應商簽訂的框架協議來應對突發災害情況，提出了由供應商生產能力滿足受災點需求的應急資源采購策略，以期望采購成本和協議成本最小化為目標，建立了災后基于情景的隨機規劃模型。

早期的應急資源保障策略研究中，主要考慮政府應急資源儲備倉庫選址與配置的問題，忽視了供應商參與對于應急資源保障效率提升與應急儲備成本降低的作用；而在考慮供應商參與的相關研究中，將供應商生產能力儲備的引入災后救災處置過程的較多，忽視了供應商的整體布局以及供應商生產能力保障與政府儲備之間的協調關系。Hu和Dong[18]基于概率情景研究備災階段供應商選擇問題與災后應急資源保障策略，但沒有考慮震后應急資源需求具有分時段的特點，以及在滿足保障效率前提下協調災前與災后儲備量以降低保障成本。同時關于應急資源需求的不確定性問題大多是研究基于概率分布給出應急需求情景建立隨機優化模型，對于地震等大規模災難的分時段需求其情景概率往往是難以估計的，部分學者運用L1范數[19-20]構建不確定性集合描述不確定條件下的不確定性因素。

本文針對應急資源配置問題，相較于傳統的政府儲備規劃，借鑒商業物流中供應商的采購策略，引入了供應商參與機制的應急資源保障策略，在災前通過選擇供應商建立政府與供應商的合作機制，完成政府儲備倉庫的選址與資源配置；地震發生后依托政府儲備倉庫和供應商共同滿足救援時對應急資源的分時段需求。針對災后應急資源具有分時段不確定性的特點，本文引入了L1范式的需求不確定性集合，建立了不確定需求下考慮供應商參與備災、救援全過程的兩階段應急資源配置魯棒優化模型，并給出了魯棒模型的對應問題轉換方法，算例仿真驗證了模型有效性。本文重點解決不確定需求下供應商災前、災后全過程參與機制下的應急資源配置決策問題，以期建立具有全局性、經濟性、可靠性、均衡性的應急資源保障體系，提高震后應急救援的效果。

2 模型建立

2.1 問題描述

應急資源保障體系建設由應急物資實物儲備與供應商生產能力儲備兩部分組成，在災前選擇供應商建立政府與供應商的合作機制，完成政府儲備倉庫的選址與資源配置，突發事件發生后依托政府儲備倉庫和供應商生產能力共同滿足救援時對應急物資的分時段需求，以實現應急救援保障體系建設成本的最優。

備災階段合理選擇政府儲備倉庫同時采購應急物資，此時，采購價格與訂購量有關，訂購量越大，單位應急物資采購價格越低。因此，若政府批量采購應急物資，則能降低單位物資的采購成本；同時若政府采購過量應急物資，則增加了庫存與維護成本。地震發生后，需要盡快將政府儲備倉庫的應急物資運往受災點，以滿足第一時段的應急物資需求，若政府儲備倉庫應急物資不夠時，則要依托協議供應商開始緊急生產應急物資，此時，采購價格和訂貨提前期有關，訂貨提前期越短采購價格越高。本文將災前訂購量與災后訂貨提前期對于采購價格的關系如圖1所示。供應商參與貫穿于地震備災與救援全過程，若災前政府采購應急物資較多，則政府儲備及維護成本增加；若震后緊急采購供應商生產能力應急物資較多，則政府采購成本增加。因此，應在滿足應急物資分時段需求的前提下，合理平衡災前實物采購與災后生產能力采購的比例，在保障救援效率的同時降低應急資源保障體系的成本。

本文主要從災前、災后兩個階段出發，研究不確定需求下考慮供應商參與機制的應急資源配置魯棒優化問題，應急物資供應商保障策略如圖2所示。第一階段，即備災階段，完成供應商選擇和政府儲備倉庫選址，從供應商處采購應急物資并運往政府儲備倉庫；第二階段，即救援階段，地震發生后，供應商開始緊急生產應急物資。此時，滿足受災點需求的應急物資，一方面來自災前政府儲備倉庫的庫存，另一方面來自災后供應商緊急生產的應急物資數量。考慮到政府儲備倉庫在空間布局上更合理，覆蓋受災點的范圍相較于供應商來說更合理，由供應商生產的應急物資都需要經過政府儲備倉庫中轉，然后由政府儲備倉庫運往受災點，這在一定程度上可以降低運輸成本和提高救災效率。

圖1 不同訂購量和訂貨提前期下的采購價格策略

目前應急救援階段劃分[21-24]主要根據救援時間或是救援任務的不同進行劃分的。本文基于地震災害救援的特點及地震受災地需求特點將地震救援分為三個時段，第一時段一般是震后0到24小時內，該時段應急物資需求比較緊迫，此時受災點需求量主要來自政府儲備倉庫的實物保障。第二時段是24小時到72小時內，該時段部分路網逐漸恢復，通信開始暢通，該時段的物資需求量大，此時受災點的需求一部分來自政府儲備倉庫的實物儲備，另一部分來自供應商的生產能力儲備。第三時段是72小時到7天內，該時段主要路網基本恢復，通信能夠保持暢通，由于政府儲備倉庫實物儲備能力有限，該時段的受災點需求量主要來自供應商生產能力儲備。

圖2 供應商參與機制下應急物資保障策略

2.2 模型構建

2.2.1 模型假設

本文作出如下假設：

(1)政府和供應商簽訂的合作協議規定了政府災前從供應商采購的最低的應急物資數量，即最低協議量，以保證供應商所獲得的利潤。

(2)每一供應商的生產能力不同，災后不同供應商提供的緊急生產物資受其生產能力的約束。

(3)當地震發生時，供應商和政府儲備倉庫都會受到不同程度的損害，因此供應商的生產能力和政府儲備倉庫可使用的庫存均受到不同程度的影響。

(4)假定震后各個救援時段的訂貨提前期為該時段的持續時長。

2.2.2 符號說明

(1)集合

K：應急物資供應商k的集合(k∈K)

I：應急物資政府儲備倉庫i的集合(i∈I)

J：需求點j的集合(j∈J)

T：應急物資訂貨提前期t集合(t∈T)

Ξ：震后時段ξ的集合(ξ∈Ξ)

(2)參數

dj(ξ)：ξ時段下，需求點j對應急物資的需求量，dj(ξ)是個不確定參數

hij：政府儲備倉庫i到需求點j的距離

hki：供應商k到政府儲備倉庫i的距離

cdi：開放政府儲備倉庫i的固定成本

pck：供應商k的生產能力

sci：政府儲備倉庫i的儲備能力

cpk：災前供應商k提供的應急物資訂購量的采購價格

cbkt：災后供應商k提供的應急物資的采購價格

αi：地震發生后，政府儲備倉庫i應急物資的可使用庫存率

βk：地震發生后，供應商k應急物資的生產能力可使用率

chi：災前政府儲備倉庫i儲備的應急物資未被使用的單位持有成本

cwkt：任意時段t結束后，供應商k生產的應急物資未被使用的單位持有成本

ct：將應急物資運往受災點的單位運輸成本

cuj：需求點j應急物資需求量未被滿足的單位懲罰成本

(3)決策變量

qki：供應商k運往政府儲備倉庫i的應急物資數量，即災前的訂購量

dqi：政府儲備倉庫i應急物資庫存

mijt(ξ)：地震發生后，在ξ時段訂貨提前期t時，政府儲備倉庫i運往需求點j的應急物資數量

期t時，供應商k生產的需要運往政府儲備倉庫i的應急物資數量

μjt(ξ)：地震發生后，在ξ時段結束時，需求點j應急物資未滿足需求的數量

rwkt(ξ)：地震發生后，在ξ時段結束時，供應商k生產的應急物資的剩余庫存

rdi(ξ)：地震發生后，在ξ時段結束時，政府儲備倉庫i應急物資的剩余庫存

2.2.3 數學模型構建

對于地震等大規模災難的發生具有很強的不確定性，其發生后分時段需求情景概率往往是難以估計的，因此，本文建立了通過引入過L1范數定義需求dj(ξ)的不確定性集合，建立更加符合實際的兩階段魯棒優化模型。這樣求解時，只需要利用相關的較少的數據就可以得到比較可靠的結果。魯棒模型如下：

(1)

s.t.

(2)

(3)

dqi≤yi·sci, ?i

(4)

(5)

xk∈{0,1}, ?k

(6)

yi∈{0,1}, ?i

(7)

其中，

(8)

s.t.

(9)

(10)

rwk,1(ξ)=0, ?k,ξ

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

本文提出的數學模型是一個兩階段混合整數魯棒優化模型，目標函數(1)為備災階段和地震救援階段的兩個階段的總成本，(8)為最小化震后最壞情況下的成本。第一階段成本包括：政府儲備倉庫的開放成本，從供應商采購的運往政府儲備倉庫的應急物資采購成本，從供應商運往政府儲備倉庫的應急物資運輸成本。第二階段成本包括：災前政府儲備倉庫儲備的應急物資運往受災點的運輸成本，從供應商運往政府儲備倉庫的應急物資的采購成本和運輸成本，供應商生產的應急物資經由政府儲備倉庫運往受災點的運輸成本，政府儲備倉庫的剩余應急物資的持有成本，供應商生產的剩余應急物資的持有成本和未滿足需求的懲罰成本。約束(2)表示供應商提供的應急物資數量不小于協議中規定的最低協議量；約束(3)表示供應商提供的應急物資數量不超過其最大訂購量；約束(4)表示政府儲備倉庫應急物資的庫存不超過其儲備能力；約束(5)表示政府儲備倉庫應急物資庫存都是從供應商采購的；約束(6)和約束(7)為0,1變量；約束(9)表示所有供應商生產的應急物資都要經由政府儲備倉庫運往受災點；約束(10)表示任意時段下政府儲備倉庫應急物資的剩余庫存關系；約束(11)和約束(12)表示任意時段下供應商開始生產時的供應量為0和運往政府儲備倉庫的供應量也為0；約束(13)表示任意時段結束時和上一時段結束時的供應商生產的應急物資剩余庫存關系；約束(14)表示任意時段下每個需求點應急物資滿足程度；約束(15)表示各決策變量為非負數。

3 模型轉換

定理1在兩階段魯棒優化模型2.2.3中，若使用L1范數來定義其中的不確定性集合，則該模型等價于下述模型。

s.t. (2)-(7)，(11)-(12)

其中，

(16)

證明：當使用L1范數和對偶理論來定義不確定性集合的方法時，該模型可轉化為等價的可求解的確定性方程，即模型(16)。

首先可以求出第二階段模型的對偶式，即式(8)-(15)，為：

s.t.λj(ξ)≤cuj, ?j,ξ

λj(ξ)+υi≤ct·hij, ?i,j,ξ

λj(ξ)-γi≤ct·hij, ?i,j,ξ

θk+γi≤cbkt+ct·hki, ?i,k,t

υi≤chi, ?i

(17)

θkt-θk,t-1≤cwkt, ?k,t

λj(ξ),υi,θk,γifree, ?i,j,k,ξ

其中，λj(ξ)、υi、θk和γi為引入的對偶變量。同時定義一個閉凸集P，其定義為：

(18)

將式(18)代入模型(17)，得：

maxΠ(Q,M,Ξ)

(19)

根據式(19)可將模型(1)改寫為如下形式：

(20)

s.t. (2)-(7)

在模型(19)中，若λj(ξ)，υi，θk，γi值是確定的，則該模型為一線性規劃。最大化問題的最優解肯定在不確定性集合D的某些極點上。由于D為一個帶有2n個頂點的凸面體，其中每個頂點均有n-1個元素為最有可能取得的值，而剩下的唯一頂點可能是相應參數的上界或下界。于是模型(20)可用下述模型表示：

s.t. (2)-(7)

(λj(ξ),υi,θk,γi)∈P,?s=1,2,…,2n}

(21)

對于?s=1,2,…,2n。且該模型的對偶為：

(22)

將模型(22)代替模型(21)中的ω的約束條件，得模型(19)相對應的表達式：

s.t. (2)-(7)，(11)-(12)

至此，本文中所建立的兩階段魯棒優化模型轉化為等價的模型，利用CPLEX可以進行求解。

4 算例仿真

選取2010年4月14日在青海玉樹藏族自治州玉樹縣發生的7.1級地震作為研究對象，選擇特定的11個受災點，8個備選政府儲備倉庫，4個備選供應商。本文僅考慮單個應急物資的配置，比如生活用品，在震后3個時段分別滿足各受災點的需求，各時段的時長為訂貨提前期：24小時內，24-72小時，72小時-7天。玉樹地震受災地區任意時段生活用品的需求量如表1，政府儲備倉庫儲備能力如表2，供應商最低協議量、最大訂購量和生產能力如表3。本文采用CPLEX軟件對魯棒對應問題模型求解，將兩階段魯棒優化模型與隨機需求下的模型和均值需求下的模型進行對比分析。

表1 玉樹地震受災地區生活用品的需求量(t)

已知需求點的需求是一不確定參數。當考慮隨機需求時，假設需求從各受災點需求區間隨機取10組數據，得到隨機需求下的模型目標費用，計算出這十組數據的平均值，與魯棒模型得出的目標費用比較，同時計算出平均需求下模型的目標費用，實驗結

表2 政府儲備倉庫儲備能力

表3 供應商提供的應急物資數量

表4 魯棒模型和隨機模型的對比

為了研究模型中不同參數對總成本的影響，本文對災前供應商最大訂購量、最低協議量以及災后供應商生產能力對總成本的影響進行了敏感度分析，以此為實際情況提供更多的參考價值。災前最低協議量以初始規定的數量為基準值，從25%基準值到175%基準值變化，將參數帶入模型中進行比較分析，結果如圖3所示。從圖中可以看出，隨著災前最低協議量的不斷增大，總成本不斷升高。這是由于災前最低協議量越大，降低了政府從供應商購買應急物資的靈活性和主動性。災前最大訂購量以初始規定的數量為基準值，從25%基準值到175%基準值變化，將參數帶入模型中進行比較分析，結果如圖4所示。從圖中可以看出，隨著災前最大訂購量的不斷增大，總成本不斷降低，因為供應商最大訂購量越大，可以獲得更多的價格折扣，災前采購成本降低。此外，災后采購成本對全過程總成本的影響至關重要，因此本文對災后供應商生產能力的變化對總成本的影響進行了分析。災后供應商生產能力以初始規定的數量為基準值，且取值從25%基準值到175%基準值變化，將參數帶入模型中進行比較分析，結果如圖5所示。結果表明，隨著災后供應商生產能力不斷增大，總成本不斷降低，因為地震發生后，供應商生產能力越大，滿足受災點需求所需選擇的供應商數量更少。由此說明，在實際決策者進行決策時，和災前最低協議量小或是災前最大訂購量大的供應商合作可以有效地降低總成本。同樣地，在與供應商建立合作關系時，災后生產能力更大的供應商往往可以降低總成本和減少應急資源缺貨風險。

圖3 供應商最低協議量變化對總成本的影響

圖4 供應商最大訂購量變化對總成本的影響

圖5 供應商生產能力變化對總成本的影響

5 結語

本文以應對地震災難為背景研究不確定需求下考慮供應商參與機制的應急資源配置魯棒優化問題。在滿足應急救援響應的分時段應急資源需求的前提下，以最小化應急資源保障體系災前備災與地震發生后救災應急資源保障總成本最低為目標，建立了多個供應商、多個政府儲備倉庫選址、多個受災點的兩階段魯棒優化模型。同時針對應急救援分時段應急資源需求不確定性的特點，本文引入L1范數描述需求的不確定性，給出了魯棒模型對應問題的轉化方法。最后通過算例仿真驗證了模型和對應問題轉換方法的有效性，為地震的應對提供理論指導和決策支持。

供應商參與機制下的應急資源保障體系建設，在提高應急資源保障效率的同時有效地降低了應急資源保障體系建設的成本。分時段的應急資源需求描述更符合地震救援對應急資源需求的特點。災前應急物資采購價格與災后應急物資生產能力采購的價格影響因素不同，協調災前實物采購與災后生產能力采購的比例對于降低儲備成本具有積極作用。算例分析表明：本文針對不確定需求下考慮供應商參與機制的應急資源配置決策而提出的兩階段魯棒優化模型及對應問題轉換方法的合理性；同時敏感性分析表明了最低協議量、最大訂購量和生產能力對總成本的影響，給實際決策者提供了較好的參考作用。

本文僅考慮了災前訂購量與災后訂貨提前期對于應急物資供應商采購價格的影響因素，然而有關供應商實物采購與生產能力采購價格還受到其他因素的影響。同時由于突發事件發生帶來供應商生產能力降低、地震情景下應急資源需求預測等等都將會使問題更加復雜。供應商參與對應急資源保障體系的建設具有積極作用，后續將深入研究上述相關的問題。