例談化歸思想在小學(xué)低中段數(shù)學(xué)教學(xué)中的有機(jī)滲透

■浙江省杭州市余杭區(qū)太炎小學(xué) 胡亞萍

一、把握認(rèn)知基礎(chǔ)，巧妙滲透化歸

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，無(wú)論是數(shù)的認(rèn)識(shí)還是簡(jiǎn)單計(jì)算，是圖形操作還是算理推算、簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)初步，都要讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中感悟化歸思想，在解決問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)用化歸方法。

（一）變“陌生”為“熟悉”，化繁為簡(jiǎn)

【案例】《筆算乘法》教學(xué)片段

教師：有3 盒彩筆，每盒12 支，怎樣算一共有多少支彩筆呢？學(xué)生1：12+12+12=36；學(xué)生 2：10×3=30，2×3=6，30+6=36；學(xué)生3： 2×3=6，1×3=3；教師：豎式計(jì)算時(shí)，“6”是怎么來(lái)的？為什么寫(xiě)在個(gè)位上？“3”是怎么來(lái)的？為什么寫(xiě)在十位上？知道每個(gè)數(shù)所表示的意思嗎？學(xué)生：6就是3乘個(gè)位上的2得6，表示6個(gè)一，寫(xiě)在個(gè)位上；3就是3乘十位上的1得3，表示3個(gè)十，寫(xiě)在十位上。

【分析】教師從解決問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生得到算式，然后誘發(fā)學(xué)生探究計(jì)算的方法。在算理推算及形成的過(guò)程中，學(xué)生的已有知識(shí)起了關(guān)鍵作用。教師在引導(dǎo)學(xué)生自主探索的過(guò)程，就是將教材呈現(xiàn)的知識(shí)通過(guò)自主學(xué)習(xí)內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。

（二）轉(zhuǎn)“逆向”為“順向”，化難為易

【案例】74□ －4□8 = □98

【分析】此題教師以橫式出示給學(xué)生，有些學(xué)生看了以后，不知如何下筆，視覺(jué)上有些障礙。其中有幾位思維活躍的學(xué)生，馬上轉(zhuǎn)換了此題的表現(xiàn)形式，把橫式先轉(zhuǎn)換為減法豎式，再逐步轉(zhuǎn)換為加法豎式，視覺(jué)障礙減少了，把逆向的轉(zhuǎn)換為順向的，問(wèn)題就容易多了。

（三）變“隱性”為“顯性”，化曲為直

【案例】一個(gè)數(shù)，在它的末尾添上一個(gè)0后，這個(gè)數(shù)比原來(lái)增加了63。這個(gè)數(shù)是多少？

【分析】認(rèn)真讀題審題后，教師引導(dǎo)學(xué)生,把題中“末尾添上一個(gè)0”轉(zhuǎn)化為“擴(kuò)大10倍”。繼而再進(jìn)一步理解新數(shù)是原數(shù)的10 倍，就是“新數(shù)比原數(shù)大9倍”，這樣一來(lái)，學(xué)生就很容易理解“這個(gè)數(shù)比原來(lái)增加了63”就是“原數(shù)的9倍等于63”。瞬間，隱性信息轉(zhuǎn)化成了顯性條件，題中的數(shù)量關(guān)系就很清楚了，這是一題典型的“差倍”問(wèn)題：“原數(shù)的9倍等于63求這個(gè)數(shù)”，原來(lái)這個(gè)數(shù)是：63÷9=7。就這樣把隱蔽的條件轉(zhuǎn)換為了明顯的條件，多次接觸并練習(xí)后，學(xué)生再遇到此類(lèi)問(wèn)題，解題正確率會(huì)比較高。

二、關(guān)注習(xí)得過(guò)程，重視運(yùn)用化歸

在小學(xué)階段學(xué)了幾年以后，已對(duì)化歸思想形成一定的基礎(chǔ)，但這不能只停留在“學(xué)生的記憶里”，只有進(jìn)一步運(yùn)用，才能內(nèi)化為學(xué)生自己的東西，形成數(shù)學(xué)思想方法。因此，在教學(xué)過(guò)程中，我們要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)習(xí)得的過(guò)程，重視化歸思想的運(yùn)用，讓學(xué)生在不同的問(wèn)題情境中學(xué)會(huì)選擇合理的化歸思想方法。

（一）在計(jì)算練習(xí)過(guò)程中，從“式”到“形”，體驗(yàn)化歸

【例題】二年級(jí)數(shù)學(xué)題：一根繩子，第一次用去了全長(zhǎng)的一半，第二次用去了剩下的一半，這時(shí)還剩下1米。這根繩子原長(zhǎng)有幾米？

【分析】通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)：每次都是用去一半，在“式”到“形”的轉(zhuǎn)化情景中尋求方法，凸顯方法。

（二）在解決問(wèn)題的過(guò)程中，從“算術(shù)”到“代數(shù)”，理解化歸

【案例】學(xué)校食堂第一次買(mǎi)回3 袋面粉和2 袋大米，共重175千克；第二次買(mǎi)回2袋面粉和3袋大米，共重200千克。問(wèn)面粉和大米每袋各多少千克？

【分析】先把“3 袋面粉和2 袋大米，共重175 千克”翻倍成“6 袋面粉和 4 袋大米，共重 350 千克”；再把“2袋面粉和3袋大米，共重200千克”翻倍成“6袋面粉和9 袋大米，共重600 千克”；再用“抵消法”，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了“（9-4）袋大米重（600-350）千克”，那么一袋大米的重量是250÷5=50千克，一袋面粉的重量就是（175-2×50）÷3=25千克。

由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的高度概括性和抽象性，有時(shí)信息或問(wèn)題表述比較含蓄，應(yīng)通過(guò)思考將其轉(zhuǎn)化為自己熟悉的便于理解和應(yīng)用的問(wèn)題或信息。

（三）在自主探索的過(guò)程中，從“抽象”到“直觀”，運(yùn)用化歸

化歸思想是基于數(shù)學(xué)知識(shí)又高于數(shù)學(xué)知識(shí)的一種隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生在自主合作的學(xué)習(xí)過(guò)程中循環(huán)往復(fù)地探索體驗(yàn)，才能逐漸認(rèn)識(shí)和理解并運(yùn)用化歸思想方法。

【案例】在教學(xué)“梯形的面積”一課時(shí)，我復(fù)習(xí)了三角形的面積公式推導(dǎo)過(guò)程后，啟發(fā)學(xué)生思考：“你能用轉(zhuǎn)化的方法，像推導(dǎo)三角形的面積計(jì)算公式那樣，探索、推導(dǎo)出梯形的面積計(jì)算公式嗎？”接著讓學(xué)生操作學(xué)具，自主探索，推導(dǎo)出：梯形面積=（上底+下底）×高÷2。

方法一：拼擺法

①用兩個(gè)完全一樣的梯形，拼一拼，拼擺成一個(gè)平行四邊形。②觀察：用兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼擺成一個(gè)平行四邊形。火眼金睛找找平行四邊形的底和高與梯形的底和高之間有什么聯(lián)系？③思考：這兩個(gè)小梯形的面積與拼擺出來(lái)的大的平行四邊形的面積存在著什么關(guān)系？④整理并歸納：梯形面積=（上底+下底）×高÷2。

方法二：割補(bǔ)法

①把一個(gè)梯形沿著中位線（連接梯形兩腰中點(diǎn)的線）分割成兩個(gè)小梯形。②通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移，把兩個(gè)小梯形拼成一個(gè)平行四邊形。③觀察：拼擺成的平行四邊形的底和高與原來(lái)梯形的底和高有什么關(guān)系？④思考：歸納出梯形面積=（上底+下底）×高÷2。

【分析】無(wú)論用什么方法，學(xué)生都會(huì)自發(fā)地將新知化成舊知，化抽象問(wèn)題為直觀問(wèn)題。我們要關(guān)注學(xué)生是否能夠進(jìn)行新舊知識(shí)間的遷移，能否化抽象為具象。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法，掌握好一定的數(shù)學(xué)思想方法有利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。如何引導(dǎo)小學(xué)生在化歸思想的驅(qū)動(dòng)下，借助轉(zhuǎn)化的方法，靈活地解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，有的放矢地讓學(xué)生形成化歸意識(shí)，形成數(shù)學(xué)涵養(yǎng)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的一項(xiàng)重要任務(wù)。讓我們做個(gè)教學(xué)的有心人，長(zhǎng)期堅(jiān)持滲透，使化歸思想能貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過(guò)程中，成為一種有意識(shí)的教學(xué)活動(dòng)，從而讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和熏陶，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。