挖掘例題習題教育潛能培養學生創造思維能力

（洛陽師范學院數學科學學院，河南 洛陽 471022；鄢陵縣教研室數學教研員第二高級中學教師，河南 許昌 461000）

例題是教師教學的依據，也是學生臨摹的范本;習題是檢驗教師教學得失的參謀，也是學生鞏固訓練的靶場.世界各國都有一種共識，創造力的開發是國家、民族、社會進步關鍵，原國家主席江澤民1998 年2 月，1999 年6月兩次分別提出了1“創新是一個民族進步的靈魂，是國家關旺發達的不竭動力”，“面對世界科技飛速發展的挑戰，…… 教育在培育創新精神和培養創造性對人才方面，肩負著特殊的歷史使命”。當前，創新思維是教學科學的熱門話題；那么，例題習題是數學課堂教學培養學生創造思維的基礎，通過挖掘例題習題智力潛能的教學，培養學生創造思維能力是一條有效途徑。要做到這一點，首先應該明確什么是創造思維？

所謂創造思維主要是指主動地，獨創地發現新事物，提出新見解，解決新問題的一種思維，它主要是依賴于創造者的知識量和發散的思維能力。如徐利治教授所指出：數學創造往往從不嚴格的發散思維開始，而以嚴格的邏輯分析思維即收斂思維終至，其過程要有審美意識的參與，他經多年的體驗、感悟與研究提出了一個創造力公式：2“創造力＝有效的知識量×發散思維能力×抽象分析能力×審美能力 ”。而長于歸納，擅于類比，富于想象是創造思維的可貴品質，譬如，人們在探索事物本質時，常常在類比聯想中得到啟發，在比較中抓住事物相互聯結的鏈條，通過歸納尋求到解決問題的線索，或通過演繹發現未曾認識的關系等，有了這種品質大腦就有了靈感，頓悟，以致于創造出奇跡。

本文以人教版新編數學第一冊（下）（試驗修訂本 · 必修）和人教版高中代數第一冊的例題或習題為例來探討如何挖掘其內在智力潛能。希望經過本文的闡述能起個拋磚引玉的作用。

一、類比、猜想、推陳出新

例1 求證34：sin50°（1＋tan10°）＝1 這是159 頁、例4，其解法如下：

此題實在是太美了，當你認真審視時，通過（1）變換，（2）逆向思維運用公式，（3）利用誘導公式等對學生所學知識進行了綜合訓練，真是一氣呵成，總體上是用到了數學轉化的思想，可惜如此好的題目新編數學第一冊（下）（試驗修訂本）第43 頁以及高中代數課本第一冊（人教版）的練習和習題中都沒有如此美而通達形神兼備的樣題供學生練習，其不太遺憾了，因此，迫于教學和練習的需要，我們對這個題目進行類比猜想。

二、變中求美、推廣深化

三、創設情景，引起思考，歸納聯想，激發求知欲望

例3：求證6：設f(n)＝

求f(0), f(1), f(2), f(3), f(4);

證明對任何非負整數n，f(n)都表自然數。

這個題隱含了一個有趣的數列—— 斐波那契數列。

在評講這一題時，可先向學生介紹：斐波那契（Leonnardo Fibonacci）約1170—1230 年，是意大利數學家，他在1202 年出版的一本算術書中引進了阿拉伯的數字（當時歐洲人仍然用原始的羅馬數字）。他該書中提出下列問題：“有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后第月生產小兔一對，而所生小兔也在第二月成年，第三個月生產另一對兔，以后也每月生產小兔一對，問一年后共有多少對？（假定每產一對兔，必為一雌一雄，而所有小兔子都可相互交配且無死亡）”。

學生經過討論思考后可得一年中每月分別產：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，即到年底144 對兔子，對這個問題所得到每月兔子對數為一個有限數列，即斐波那契數列。

（2）觀察：1＋1＝2，1＋2＝3。2＋3＝5 …… 55＋98＝148規律是:每相鄰三個數中,前兩個數之和等于后一個數。

推廣到無限

1，1，2，3，5，8，…… ……，89，144，233，…… ……

一般形式:an＋an1+＝an+2,a1＝ a2＝1

（3）對原題進行類比推理

∵f(0)＝1,f(1)＝1,f(2)＝2,f(3)＝3,f(4)＝5;

∴f(0)＋ f(1)＝ f(2),f(1)＋f(2)＝ f(3),f(2)＋ f(3)＝f(4)

于是引導學生猜想有：f(n)＋ f(n＋1)＝ f(n＋2)，得出這個猜想是正確（證明略）。

（4）斐波那契數列的猜想還有許多美而有趣的性質。如

數列中任意兩相鄰項互質即：(f(n),f(n＋1))＝1 (n＝1,2,……)

以上這些猜想都是正確（證明從略）

特別奇妙有趣且還有美學意義的是:在線段的黃金分割中,兩條線段的比是0.6180339887……它的漸近分數是，……這一串漸近分數的分子分母依次為1，1，2，3，5，8，13，21，34，…… 它恰是一個斐波那契數列，近幾十年來人們賦予了它們新的內容而變成了“優選法”中的一個重要方法，我們也可稱它是一種學美的方法，對生產實踐和科學實踐起了重要作用。

從以上的分析中可以得到如下啟示：

在課本中的例題習題里的潛能是很大的，是可挖掘的，這樣的深入挖掘探索不僅僅使學生開發了智力，而且培養了學生探究能力，審美情趣，避免了學生陷入題山題海之中;它的挖掘不僅僅激發了學生們的求知欲，使學生對數學發生了濃厚的興趣;而且對其創造思維能力的培養與尤其是對未來的學習生活的作用是不可估量的，正如世界著名數學教育家弗賴登塔爾所說：7“數學知識既不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的。因而學校的數學教學必須使學生通過自身的實踐來主動獲取知識，讓學生在學習中掌握進行再創造的方法，以便進行數學化”。這正是數學素質教育的要求和應追求的目標。因再創造與創造本質是一樣的，只是層次不同而已，這樣以課本為基礎去挖掘例題習題中的內涵的確是一個好辦法，且事半功倍，像這樣的習題還很多。如第256 頁8習題15（3）,9習題17 等都可以進行類比,聯想，推廣、創造，所以我們每一位教師的在教學過程中要真正地以本為本，以綱為綱，引導學生以小見大，以微知著，舉一反三，觸類旁通，這樣長期堅持下去可為學生自身的個性發展,創造力的發展,創造欲望的激發以及國家創造型人才的形成，積蓄強有力的發展動力。