小學生數學直觀想象力的培養策略

陳 蒨

沒有直觀想象力的靈魂，就如沒有望遠鏡的天文臺?！督K省義務教育學科核心素養與關鍵能力框架（試行）》在小學數學部分指出，“鑒于數學核心素養的連續性和階段性，小學數學核心素養與正修訂的普通高中數學核心素養一脈相承，包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析”。由此可見，“直觀想象”這一數學核心素養應貫穿學生數學學習的全過程。那么，在小學階段，應如何讓“直觀想象”的培養真正落地呢？如何培養學生的數學直觀想象力呢？筆者對此進行了一些探究。

一、小學生數學直觀想象力的內涵與外延

（一）直觀想象的已定認識

直觀想象在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中的定義是：借助幾何直觀、空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。小學數學直觀想象和高中一脈相承，只是在知識、能力層面比較基礎和淺顯。具體包括：借助空間加強對事物位置關系、形態變化與運動規律的認識；利用圖形描述和分析數學問題；建立數與形的聯系；基于探索解決問題的思路構建直觀的數學模型。

（二）直觀想象的深度解讀

直觀想象不是簡單的幾何直觀與空間想象的組合。我們知道，幾何直觀的本質是將相對復雜、抽象的問題“圖形化”，利用圖形描述問題，進而借助圖形分析、解決問題。以現實世界為背景的空間想象則是從幾何圖形的運動、變化以及位置關系出發，加工、改造事物的幾何表象，甚至想象、創造新的表象。如此看來，它們既有交融點也有各自的側重點，我們要更多地關注其在相互交融基礎之上價值取向的拓展，如借助圖形帶來的直觀去拓展思維的空間，尋求解決問題的策略，發展數學思維。

（三）直觀想象力的意義解讀

直觀想象力就是直觀想象的能力。發現、提出、分析和解決問題都有賴于直觀想象力的發揮。直觀想象力還為探索思路、數學推理、抽象建構搭建了思維基礎。小學生的數學直觀想象力主要表現為：借助直觀描述數學問題；依據直觀理解數學問題；建立數與形的關聯；通過想象深入認識世界。培養小學生的數學直觀想象力，不僅能發展幾何直觀能力和空間想象能力，還能提高學生借助圖形、空間等分析問題、理解問題、探究解題思路、創新建構等方面的數學思維能力。

二、小學生數學直觀想象力的培養之困

（一）缺乏系統，小學生數學直觀想象力的培養“被忽視”

利用直觀想象，對一些數學知識賦予幾何意義的闡釋，能幫助學生形成正確、深刻的知識表象。然而，在現實教學中，不少一線教師對數學知識體系缺乏系統的認知，進而忽視了低年級學生直觀想象力的培養。

（二）認知不透，小學生數學直觀想象力的培養“被干擾”

借助圖表、幾何圖形或空間想象描述、類比、分析數學問題，有助于學生猜測、推斷問題的結果。在不斷嘗試、想象、練習的過程中，學生的直觀想象力會慢慢提升。然而，在實際教學中，有些需要學生直觀想象的問題失分率往往會比較高，因而教師會采用簡單粗暴的教法，從而干擾了學生直觀想象力的發展。

（三）理解不深，小學生數學直觀想象力的培養“被替代”

研究表明，小學生比較容易孤立地、單一地、脫離現實地認識數學問題、概念和原理。直觀想象恰恰可以幫助學生鏈接數學與生活、數學與數學，讓數學知識和學生經驗有機融合，讓學生的前后知識有機整合。然而在現實教學中，有時會因為教師理解不深或濫用多媒體設備，導致教學過程替代學生直觀想象的問題出現。

三、小學生數學直觀想象力的培養策略

小學生直觀想象力的形成是從感性到理性的過程。教師要把握好時機，選擇恰當的策略，引導學生的直觀想象力逐漸從感性走向理性。

（一）從物化到表征——在問題情境中培養小學生的數學直觀想象力

依托先行組織者和學生的原有認知等把握學生的“最近發展區”，創設促進學生直觀想象素養發展的教學情境，讓學生的認知從物化到表征，能有效提升學生的數學直觀想象力。

1.提供恰當的先行組織者。

先行組織者（相應的引導性材料）是美國認知心理學家奧蘇伯爾提出的概念，它是連接新舊知識的橋梁。在學習新知之前，學生有很多生活經驗和知識儲備，但這些經驗和知識堆積在一起沒有進入學習新知的準備狀態。這時，就需要先將先行組織者呈現給學生，打通新知與已有經驗、知識的聯系。在情境創設中，恰當的先行組織者能促進學生通過已有認知來直觀想象。如教學蘇教版二下《認識角》一課，教師創設生活情境：今天，有三個好朋友和我們一起上課，它們就是剪刀、數學書和扇子（課件出示相應圖片）。在這些物體中有我們今天要研究的數學知識（角）。這樣的情境創設，為學生提供了學習角的先行組織者，有利于學生結合生活經驗，通過直觀想象抽象出數學中的角。

2.激活學生的原有認知。

學生的原有認知能通過教師的引導而激活。教學中，教師關注激活學生原有認知的情境創設，能促進學生透過本質勾連新舊知識，構建自己的知識網絡，發展數學直觀想象力。如教學蘇教版三下《認識小數》一課，教師創設“買東西0.3元，0.3元究竟是多少？”的問題情境，引導學生把1 個正方形看作1 元來分一分、涂一涂，表示出0.3 元。這樣的情境創設，使學生通過直觀想象勾連起小數與分數的聯系，有助于學生更好地理解小數。

（二）從表征到抽象——在探究學習中培養小學生的數學直觀想象力

新課標提出了探究學習的理念。設計探究性問題，可以讓學生在獨立思考的基礎上充分交流、碰撞、啟發，使他們的思維從表征走向抽象。這樣有助于學生的直觀想象力得到進一步提升，從而逐漸達到知識遷移和知識創新的水平。

1.在碰撞中探究。

直觀想象是探索、解決數學問題的有力幫手。學生在開始接觸數學問題時，往往會習慣性地對問題作出一種直觀判斷，這種直觀判斷起初只是一種直覺、猜想或猜測。同伴之間的交流、碰撞則會讓這種直覺或猜想越來越豐富、理性和完善。如學完蘇教版五上《多邊形的面積》一課后，教師引導學生探究如何將一個正六邊形分成六個形狀相同、大小相等的圖形，學生嘗試探究后交流如下：

生1展示最基礎的分法（如圖1）。

生2 展示圖2，從軸對稱圖形的角度思考，想象出新分法。

生3 展示圖3，先把正六邊形分成三個完全相同的平行四邊形，再把每個平行四邊形分成兩個完全相同的圖形。

生4 受生2 啟發，從軸對稱圖形出發，只要把三條對稱軸保持相對位置不變，繞中心點任意旋轉一個角度，就能得到新分法。（如圖4左）

生5 受生3、生4 啟發，想到了另一途徑的無數種分法。先分成3 個完全相同的平行四邊形，每個平行四邊形中再用對角線平分，3 條對角線繞各自平行四邊形的中心旋轉相同的角度，也能得到無數種分法。（如圖4右）

（圖1）

（圖2）

（圖3）

（圖4）

2.在探究中抽象。

數學是抽象性極強的學科，而小學生的思維又具有直觀形象性，這就產生了矛盾。直觀想象能架起聯結具體與抽象的橋梁。借助直觀想象，學生能更有效地開展數學探究學習，從淺表感知到深入探尋，從淺層認知到深層思維，使思維逐步走向更高級、更抽象的層面。如教學蘇教版五上《圖形的分割》一課，教師首先引導學生用正方形紙折一折、畫一畫；接著引導學生比較不同分法，初步感知規律，進而猜想、驗證——經過正方形中心任意畫出的直線都能把正方形分割成兩個面積相等的部分；最后研究其他圖形的分割。這個引導學生在探究中抽象的過程，能有效提升他們的直觀想象力。

（三）從抽象到內化——在總結反思中培養小學生的數學直觀想象力

借助問題情境引導學生初步感知直觀想象是最淺表的層次；在探究學習中，學生的直觀想象力能向有意識的思考、抽象過渡；總結反思則能引導學生的直觀想象力向更高的層次發展和內化。

1.在類比反思中內化。

（圖5）

（圖6）

2.在反思內化中建構。

總結反思是一種高層次的直觀想象。這樣的直觀想象不僅有助于學生發現知識間本質的、內在的聯系，還有助于學生發現或建構知識間的高層次隱性聯結。有些數學知識在淺表層面看不出聯系，但在某個層面有一種本質的聯系?？偨Y反思有助于學生完成有意義的建構，從更高的層面提升數學直觀想象力。如教學蘇教版五上《解決問題的策略：列舉》一課，有這樣一道練習題：從學校經過少年宮到動物園（如圖7），一共有幾條路可以走？教師首先讓學生用自己的方式表示出所有路線；然后展示有代表性的學生作品，并讓學生用自己的語言來表述搭配現象；最后引導學生總結提煉：搭配就是兩種事物之間的交叉對應。那么如圖8，交叉對應和矩陣模型就體現出本質的關聯。這樣一種建構就有賴于總結反思的直觀想象。

（圖7）

（圖8）

本文的研究只是一個起點，直觀想象作為數學學科核心素養，要研究的東西太多，既要完善理論層面的理解，更要注重教學實踐。正如華東師范大學鮑建生教授指出的：數學素養是在掌握數學知識的基礎上、在數學活動中逐步養成的。小學生的直觀想象力也是在他們生活的每一天、經歷的每一節課、做的每一道題中逐步養成和提升的。