利用幾何直觀，讓數(shù)學(xué)探究“微”現(xiàn)精彩

林榮臻

利用幾何直觀能生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，展示解決問(wèn)題的思路，是理解數(shù)學(xué)之奧妙的有效渠道。借助幾何直觀解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，能起到化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體的作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，巧妙利用幾何直觀，有助于學(xué)生明晰問(wèn)題解決的方向，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)問(wèn)題的結(jié)果，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，又是一種提高教學(xué)效率、優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂質(zhì)量的重要教學(xué)方式。

一、幾何之識(shí)——通“觀”洞微

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，小學(xué)生因?yàn)橹R(shí)經(jīng)驗(yàn)不足，認(rèn)知水平不高、思維能力不強(qiáng)等因素，經(jīng)常會(huì)遇到一些難以用語(yǔ)言闡釋清楚的概念或特性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生借助幾何圖形的直觀性、形象性、簡(jiǎn)明性來(lái)探析，以促進(jìn)內(nèi)容的理解。

如人教版六下探索“圓柱的側(cè)面積計(jì)算方法”的教學(xué)時(shí)，某教師先讓學(xué)生看一看、摸一摸，引導(dǎo)觀察圓柱形的模具和實(shí)物，感知圓柱;然后讓學(xué)生量一量、想一想，鼓勵(lì)他們大膽猜想圓柱的側(cè)面展開(kāi)后的圖形是什么形狀的;最后讓學(xué)生剪一剪、算一算、畫(huà)一畫(huà)，指導(dǎo)學(xué)生利用幾何直觀對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證。有的學(xué)生沿高剪下，觀察發(fā)現(xiàn)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖形是一個(gè)長(zhǎng)方形，圓柱的底面周長(zhǎng)就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圓柱的高就是長(zhǎng)方形的寬。這樣學(xué)生清楚得知圓柱的側(cè)面積公式=底面周長(zhǎng)×高。有的學(xué)生沿斜線剪出，觀察發(fā)現(xiàn)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖形是一個(gè)平行四邊形，圓柱的底面周長(zhǎng)就是平行四邊形的底，圓柱的高就是平行四邊形的高，學(xué)生也同樣得出圓柱的側(cè)面積公式。在探究過(guò)程中，學(xué)生借助幾何直觀，通過(guò)動(dòng)手操作與作圖，既實(shí)現(xiàn)了三維圖形與二維圖形之間的有機(jī)轉(zhuǎn)化，也發(fā)展了空間概念，提高了觀察能力與空間想象能力，清晰體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

二、幾何之法——尋“優(yōu)”探微

幾何直觀是數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”的重要幫手，可以幫助學(xué)生對(duì)相關(guān)信息及其隱含關(guān)系進(jìn)行梳理，從而準(zhǔn)確把握問(wèn)題的關(guān)鍵因素，明晰“問(wèn)題解決”的方向，從而獲得最佳的解題對(duì)策。特別是學(xué)生對(duì)“問(wèn)題解決”的方向存在迷茫時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、畫(huà)示意圖或線段圖，并借助“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換，厘清數(shù)學(xué)問(wèn)題的要素，明晰其隱秘的關(guān)系，獲取有用信息，從而發(fā)現(xiàn)“問(wèn)題解決”的思路和方法。

如在人教版四下“三角形三邊的關(guān)系”的教學(xué)中，一位教師根據(jù)學(xué)生好奇、好玩的天性，借助幾何直觀引入新課。教師先讓學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)踐，利用桌上一扎的3根木條擺出一個(gè)每根木條端點(diǎn)對(duì)接的三角形。學(xué)生迫不及待地動(dòng)手操作，很快也擺出了一個(gè)三角形。教師又讓學(xué)生利用另外一扎的3根木條，再擺出一個(gè)端點(diǎn)對(duì)接的三角形。可不管學(xué)生怎么擺弄，這3根木條也拼不成每根木條端點(diǎn)對(duì)接三角形。此時(shí)，教師讓學(xué)生猜想，三角形的三邊在長(zhǎng)短上有著什么樣的關(guān)系？有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩根較短的木條連接來(lái)起，長(zhǎng)度也比最長(zhǎng)的木條短;有的學(xué)生則發(fā)現(xiàn)較短的兩根木條合起來(lái)的長(zhǎng)度和另外一根木條長(zhǎng)度相等;還有的學(xué)生用直尺分別度量拼好的三角形3根木條的長(zhǎng)度，進(jìn)行計(jì)算……學(xué)生在觀察中進(jìn)行計(jì)算、比較后發(fā)現(xiàn)：三角形的任意兩邊加起來(lái)的和都比第三邊長(zhǎng)。通過(guò)實(shí)踐操作、觀察分析、驗(yàn)證歸納等活動(dòng)，學(xué)生不但破解了數(shù)學(xué)奧秘，掌握了新知，而且受到數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練，體驗(yàn)到了自主建構(gòu)知識(shí)的樂(lè)趣。

三、幾何之理——抉“隱”明微

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，學(xué)生常常被抽象的概念、隱秘的條件弄得一頭霧水，不知所措。教師可以借助幾何直觀，把“不明”“深隱”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形，再利用圖形來(lái)描述和分析問(wèn)題。數(shù)學(xué)問(wèn)題由“隱”轉(zhuǎn)“顯”，由“深”轉(zhuǎn)“淺”，其“微妙”便展露無(wú)遺，學(xué)生就把握了直觀、準(zhǔn)確的解題要素。這樣，學(xué)生也理解了抽象、隱秘的數(shù)學(xué)之“理”，明晰了解題思路。

如在進(jìn)行人教版五下“解決問(wèn)題的策略——倒推”的教學(xué)時(shí)，一位教師出示問(wèn)題：張大爺?shù)绞袌?chǎng)去賣(mài)雞蛋，一小時(shí)后賣(mài)出全部雞蛋的一半少6個(gè)，還剩20個(gè)雞蛋，張大爺原來(lái)的雞蛋有多少個(gè)？學(xué)生有的很快說(shuō)出解題算式：（20+6）×2=52（個(gè)）。此時(shí)，教師不急于講解糾錯(cuò)，而是啟發(fā)學(xué)生先畫(huà)出示意圖，再將題目中的數(shù)量關(guān)系與幾何直觀的意義一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。學(xué)生通過(guò)畫(huà)示意圖（圖1），標(biāo)出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，找出了正確的解題思路，列出了正確的解題算式：（20-6）×2=28（個(gè)）。

可以看出，借助幾何直觀，有助于學(xué)生解讀題目中隱含的信息，體會(huì)幾何直觀應(yīng)用的價(jià)值，厘清“數(shù)”與“形”的關(guān)系，從而積累豐富的幾何直觀經(jīng)驗(yàn)。

四、幾何之妙——善“用”展微

數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”聯(lián)系密切，如果讓“數(shù)”與“形”巧妙地結(jié)合，化“數(shù)”于“形”，就能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使抽象的問(wèn)題具體化，學(xué)生對(duì)“數(shù)”的理解也就能更清晰明了，學(xué)習(xí)的樂(lè)趣和效率就大大提高。

如人教版五下的“相遇問(wèn)題”的內(nèi)容，學(xué)生常對(duì)題目中的“走來(lái)走去”不知所措。一位教師在教學(xué)時(shí)，先出示題目：小王和小李兩家相距4.4千米。小王每分鐘騎車(chē)行駛250米，小李騎車(chē)每分鐘行駛300米。兩人同時(shí)從家騎車(chē)相向行駛，兩人何時(shí)相遇？接著，教師讓學(xué)生依據(jù)題意畫(huà)出線段圖，并說(shuō)一說(shuō)題目中告知的問(wèn)題和條件是什么？在學(xué)生弄清后，教師利用多媒體課件，在屏幕顯示線段示意圖（圖2），再讓學(xué)生闡述題意。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，探究解題方法，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)分步計(jì)算的方法。

1. 先求每分鐘兩人騎自行車(chē)共行駛的路程的和，也就是速度，列出算式：250+300=550（米/分鐘）。

2. 兩家相距4.4千米÷每分鐘兩人騎自行車(chē)共行駛的路程的和=相遇時(shí)所用的時(shí)間，列出算式：（4.4×1000）÷550=8（分鐘）。

可以發(fā)現(xiàn)，借助生活情境，利用線段圖，學(xué)生獲取信息、篩選信息、整合信息的能力提升了，問(wèn)題的指向也了然于胸，“相遇問(wèn)題”就不再是難題。通過(guò)探究、解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生體驗(yàn)到了“數(shù)”與“形”之間的奧秘，掌握了解答此類(lèi)問(wèn)題的“密鑰”，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察事物與分析問(wèn)題，逐步增強(qiáng)了他們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

總之，“數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微”。教師應(yīng)合理挖掘教材資源，提供圖形繪制材料，或利用信息技術(shù)，為學(xué)生展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界，讓學(xué)生動(dòng)手操作，經(jīng)歷“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生用幾何直觀描述、分析問(wèn)題的意識(shí)和能力。

（作者單位：福建省德化縣蓋德中心小學(xué)）