完整巖石單軸抗壓強度確定方法研究

薛東杰

(1.中國礦業大學(北京)力學與建筑工程學院，北京 100083；2.重慶大學 煤礦災害動力學與控制國家重點實驗室，重慶 400044；3.四川大學 水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室，四川 成都 610065)

巖石力學和工程中巖石與巖體的概念并未清晰量化，定性分析無法確定合理的不連續空隙尺寸下限。從“千里之堤毀于蟻穴”的跨尺度角度分析，巖石基質和孔裂隙尺度相當時影響較大，而基質尺度遠大于孔裂隙時影響較小，尺度競爭影響著巖石或巖體強度。通常完整巖塊內含相當尺度裂隙，可認為巖體，但反之并不容易定義完整巖石，因為無法絕對消除任何非連續空隙。地質尺度等宏觀裂隙極易引起關注，而微觀或更小尺度空隙更容易被忽略，而尺度界限取決于基于人類視角獲得的工程經驗，尚未進行科學量化界定，潛在核心問題是精準量化巖石中的“完整”。相當多研究成果把“完整巖石”都默認為標準連續圓柱體或立方體，而連續性在數學上的定義很清晰，但針對孔隙巖石其定義就涉及到表征單元體(representative elementary volume，REV)，但如何評價RVE的完整性，如何評價連續性假設的合理性等問題懸而未決。Hudson指出：“小塊巖樣可以看作完整巖石，而當巖樣尺寸增加，包含的裂隙數量也相應地多起來”[1]。這段話內涵為裂隙多少或密度分布的問題，尚未涉及極限問題：有無裂隙甚至孔隙的問題。直接針對空隙進行幾何評價，優點是其幾何結構的空間性、拓撲性乃至基質的空間分布都有助于直接關聯問題，缺點是需要極高精密的實驗設備用于空間建模和有效地數學描述。

Hoek基于實踐給出了不同于幾何角度的觀點，即基于力學認識認為完整巖塊的單軸抗壓強度可基于實驗室小尺寸試件，但小到何種程度可定義為下限尺寸缺乏論證。常見完整性定義多基于常識判斷，缺乏科學評價。之后，Hoek和Brown依據大量三軸試驗數據，于1980年提出狹義Hoek-Brown強度準則(HB強度準則)，把脆性破壞等同為破壞準則，塑性破壞視為屈服準則[2-3]，公式為：

(1)

式中：σ1和σ3分別代表巖石峰值強度對應的最大和最小主應力；mb為巖石軟硬程度，取值范圍0.001～25；s為巖石破碎程度，取值范圍0～1；σc為完整巖石的單軸抗壓強度。這是首次基于公式形式涉及到完整巖石單軸抗壓強度這一概念，但在更廣泛的工程應用中并未引起足夠的重視。相當多學者甚至Hoek本人均認為基于直徑50 mm和高100 mm圓柱試樣測定的單軸抗壓強度可視為完整巖石強度，認為此種圓柱試樣尺寸符合最小REV單元要求，這種觀點缺乏依據。事實上，在HB強度準則中，參數s的定義為巖石破碎程度，即考慮了完整性，但只有s和σc出現在同一公式中，在統計意義上才會自洽。如何結合完整巖石強度統計平均破碎性尚缺乏探討。針對同一樣品，如何評價這兩個參數的矛盾性非常重要，尤其是當前HB強度準則被廣泛應用到工程實踐中，更有必要厘清兩個概念中涉及到的“完整性”定義。當圍壓滿足σc=0，公式(1)變為：

(2)

s的取值范圍0～1，式(2)存在關系：σ1≤σc。當s=1時，σ1=σc，即實測值等同于完整巖石單軸抗壓強度σc，顯然s=1意味著巖石的“完整”概念，此值越小完整性越差。Hoek給出了實例[4]，其中s=0.000 63，十分小，這種情況與完整圓柱統計是矛盾的，除非基于更小的尺度進行觀察。

如何定義巖石破碎程度參數s，Hoek和Brown并未給出標準定義，而這一潛在關切也并未引起廣泛而深入地探考。Hoek和Brown早期建議巖石破碎程度s依賴于巖體分級(rock mass rating，RMR)值[5-6]，后期建議其依賴于地質強度指標(geological strength index，GSI)，由此可見總體思路是首先室內擬合出完整巖石單軸抗壓強度，然后利用工程尺度變量定義mb和s，最終實現室內試驗與工程應用的結合。很顯然第一步σc的準確界定至關重要，基于三軸試驗數據，難以借鑒依賴工程尺度變量來定義s的方法。Hoek和Brown建議根據s=1擬合確定相關參數[4]：

(3)

(4)

(5)

問題仍然會聚焦在究竟什么樣的試樣可視為完整，如若一系列三軸試驗樣品都視為完整，擬合顯然是多余的，其單軸抗壓強度應該視為理想的，可見不能預作假設為前提。Hoek提出了修改的HB破壞準則[7]：

(6)

(7)

至此HB強度準則有了廣為流傳的形式，包含四個關鍵參數：一個為力學強度：完整巖石的單軸抗壓強度σc；三個為材料常數：巖石軟硬程度參數mb、巖石破碎程度參數s和暫無明確定義材料參數。為契合工程，三個材料常數均可根據經驗確定，但正如前文所述，完整巖石單軸抗壓強度σc的確定又需要借助三個材料參數，從而進入死循環，因而確定σc成為關鍵中的關鍵。

1 傳統非線性描述方法

測試煤巖取自埋深約1 000 m工作面，加工為高100 mm，直徑50 mm的標準圓柱。樣品表面相對整齊，無裂隙或明顯損傷可視為完整。利用MTS815巖石力學系統開展單軸與三軸測試，在圍壓0、3.96、10、15、20及25 MPa時測得的峰值強度分別為5.99、44.00、69.67、85.10、94.97及104.0 MPa[11]。圖1為煤巖單軸、三軸抗壓強度和圍壓的關系，非線性特征明顯，若僅依賴試驗數據，視為樣品完整，即s=1，則存在σc=5.99 MPa，對比相關研究成果[12-13]，此值明顯偏小，應為非理想狀態下的完整巖石單軸抗壓強度，這與完整性假設相矛盾。

圖1 突破HB準則參數范圍限制的σ1-σ3關系

(8)

由式(8)可知，預測圍壓0、3.96、10、15、20及25 MPa時煤巖峰值強度分別為6.47、39.87、67.60、82.68、95.39及106.6 MPa，預測結果與試驗結果誤差對應為8.01%、-9.39%、-2.97%、-2.84%、-0.44%和2.50%，圍壓小于5 MPa時，誤差接近10%，偏大；圍壓大于5 MPa時，誤差小于3%，尚可接受，可見HB強度準則在預測單軸或臨近單軸狀態煤巖強度時，偏差明顯偏大，這正是完整性假設引起的。

公式(8)描述曲線延續絕大多數成果假設：a=0.5，但另兩個參數值mb=49.68和s=3.1均明顯大于Hoek和Brown給出的范圍。

如若界定a=0.5，mb取值范圍0.001～25，分s=1和s∈(0，1)兩種情況進行討論。

第一種情況適用于室內圓柱試樣：

(9)

第二種情況適用于工程尺度研究：

(10)

圖2針對巖石破碎程度參數s進行了對比，首先s=1和s∈(0，1)均符合傳統HB準則描述范圍，由此可見公式(1)針對同一組數據并不具備唯一的描述形式，如若采取更普適的HB準則公式(7)，材料參數a更不確定，更無法確定唯一的形式。另一方面，針對方程(1)，若視s為變量，很自然方程是可討論的，但每一組甚至每一個樣品的破碎程度均應視為是唯一的，除非s是基于一組樣品，而非針對某一具體樣品，其描述的是破碎程度的統計分布。則可得s=1和s∈(0，1)兩種情況下對應圍壓0、3.96、10、15、20和25 MPa的強度分別為：11.17、39.04、64.01、80.68、95.56和109.30 MPa；6.55、38.28、63.94、80.90、96.00和109.90 MPa，兩預測值之差為：4.62、0.70、0.08、-0.22、-0.43和-0.60 MPa。可見在HB強度準則參數界定范圍內，除了完整巖石單軸抗壓強度σc外，其余強度差別不大。盡管方程(9)和(10)形式不一致，但在高圍壓下強度偏差較小，可認為二者是等效的，最大差別仍然是單軸抗壓強度σc，因此HB強度準則在σ3=0附近存在不確定性。

圖2 傳統HB準則下的σ1-σ3關系

2 新的線性描述方法

描述的本質是實現數學與力學意義上的統一，重點是在保證力學意義的前提下盡量提高擬合精度。傳統方法主要是針對σ1和σ3或者(σ1-σ3)和σ3非線性關系進行描述，事實上，若不考慮單軸條件下試驗數據，非線性擬合精度仍然很高，而一旦考慮完整巖石單軸抗壓強度，擬合精度下降很快；若同時考慮完整巖石單軸抗拉強度σt，誤差幾乎無法接受，多數模型均是采取直接截斷方法，由此可見，單軸條件與三軸條件必然存在著尚未關注的某些力學本質上的不同。將公式(1)改寫成[11-12]：

(11)

(12)

公式(12)有三個參數，通常先主觀確定σc值，取σc=5.99 MPa[11]，代入式(12)得：s=16.4；m=41.63，再代入式(11)得(圖3(b))：

圖3 σ1-σ3非線性關系的線性確定

(13)

由式(13)計算出峰值應力的擬合值為：24.26、43.66、65.52、80.8、94.67和107.6 MPa，后五點的最大誤差為6%，但單軸強度的誤差高達305%(線性擬合的相關系數R2=0.958 7)。

如何減小誤差仍面臨挑戰，解決的關鍵在于公式(12)的求解，其有三個未知數，傳統策略均是預設完整巖石的單軸抗壓強度σc等于巖石單軸抗壓強度測試值，再反算真值，而所謂誤差即實測值與預測理論值偏離較大，但此時確定的理論值是存在假設前提的。若能消除這一前提，提高精度完全可能。

將σc=60 MPa[14]代入公式(12)得：s=0.163 47，m=4.156 3，再代入公式(1)得：

(14)

調整s值[14]，設s=0.000 063，代入公式(12)得：σc=3 056.3 MPa和m=0.081 6，再代入公式(1)得：

(15)

若設定m=0.1，代入公式(12)得：σc=2 493.8 MPa和s=0.000 094 6，再代入公式(1)得：

(16)

形式上看，公式(14)、(15)和(16)都不相同，但均以公式(12)為前提，本質上仍等同于公式(13)，因此僅預設三個參數中的一個值難以提高精度，但該方法優點是巖石單軸抗壓強度預測值不會隨著參數的預設而改變。可見圖3(b)中相同擬合曲線的三個力學描述參數并不唯一，雖然數學上曲線一致，但力學上難以界定，因此單純的數學擬合意義并不大，必須結合力學背景進行綜合考慮。

(17)

這樣HB強度準則就由三參數σc，s和m變成二參數b和c，b即為線性擬合得到的一次項系數，c為線性擬合得到的常數項，只要把b和c代入公式(17)即可。

3 考慮誤差判據的強度界定

針對擬合數據偏差，Hoek和Brown[4]推薦了判定系數

(18)

來評判數據分布的線性特征。則由公式(1)計算的強度值判定系數r2=0.995 13；由公式(13)計算的強度值確定的判定系數r2=0.928 511。但正如上述分析，公式(14)、(15)和(16)單參數改動不會引起公式(17)中b和c值的變動，對應HB強度準則未有精度上的改進，因此不能單純依賴于判定系數。

針對巖石脆性破壞，力學模型的理想目標是高精度匹配試驗數據。目前盡管發展了數百種模型，但囿于問題的復雜性，能經得起時間考驗的模型少之又少，主要原因為針對不同試驗數據的誤差過大。因此模型建立時誤差的判定對于可靠性評判十分重要，根據上述分析，求解公式(12)時，先確定完整巖石的單軸抗壓強度σc，再計算其他兩個參數，最終得到的單軸抗壓強度與假定值并不符合。這雖不影響HB強度準則曲線，但對三個參數的確定影響極大，即表達式和力學意義存在不確定性，這或許是Hoek和Brown設定參數范圍的潛在原因。

對于判斷哪條曲線更合理，根據公式(17)可以看出，關鍵參數b和c值的確定極其重要。這里引入四種誤差評判方式：絕對誤差絕對值和Δ1、絕對誤差平方和Δ2、相對誤差絕對值和Δ3以及相對誤差平方和Δ4，分列如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

描述的原則是盡量降低四種誤差至最小，這就需要一個循環算法，反復比較尋找誤差最小值。基于公式(17)確定理想的b和c值(圖4)。基本原理為假定其中一個參數值，引入四種判據，設定步長，反復循環追蹤誤差至最小值；待一個參數確定后，再采用類似算法確定第二個值。兩個循環下的最小誤差被認為是可接受的。

圖4 確定擬合參數b和c的循環算法

對公式(8)和公式(13)的預測結果進行四種誤差評判，分別為12.120、34.365、0.262和0.018；30.960、382.671、3.206和9.310。顯然新的算法在遵守HB強度準則參數限定下，整體誤差偏大，而基于公式(1)雖然提高了精度，但突破了相關參數范圍界定，給力學模型的準確理解增加了困難。

如圖5所示，利用尋求最小誤差算法，基于判據一(絕對誤差絕對值和)確定b=250.5，c=611.8，對應誤差Δ1b=11.839，Δ1c=11.768；基于判據二(絕對誤差平方和)確定b=237.7，c=866.7，對應誤差Δ1b=38.34，Δ1c=38.335；基于判據三(相對誤差絕對值和)確定b=231.5，c=687.3，對應誤差Δ1b=0.186，Δ1c=0.172；基于判據四(相對誤差平方和)確定b=226.3，c=868.9，對應誤差Δ1b=0.01，Δ1c=0.009。

圖5 4種誤差判據

根據b值可很快確定HB強度準則曲線，兩種誤差Δ1b和Δ1c相差不大且不斷減小，相比初始值b和c界定范圍[1 900，2 000]，兩個參數迅速收斂到誤差最小值。整體上看，四種判據下HB強度準則曲線類似但并不同。當σ3=0時，對應完整巖石單軸抗壓強度分別為：σc1=24.7 MPa，σc2=29.4 MPa，σc3=26.2 MPa和σc4=29.5 MPa，而根據公式(8)、(9)、(10)和(13)確定的強度值分別為6.47、11.17、6.55和24.26 MPa。

表1羅列了文中所述HB強度準則表達式，基本上可分兩類：公式(8)、(9)和(10)是針對非線性分布直接進行非線性擬合；公式(13)、判據一、二、三和四是基于線性間接進行非線性擬合，二者本義不同。除了公式(8)和(13)，方程整體形式均服從傳統HB強度準則限定的范圍。但三參數均不相同，盡管判據一、二、三和四無需參數s和mb，但其可根據預測σc′反算。可見HB強度準則形式不一，針對某一固定試驗數據，HB強度準則形式的不確定性將影響其準確性。這里重點關注預測的整巖石的單軸抗壓強度σc′，分別為6.74、11.17、6.55、24.26、24.7、29.4、26.2和29.5 MPa，前三者差異較大；其與試驗值之比σc′/σc0分別為1.125、1.865、1.093、4.05、4.124、4.908、4.374和4.925。公式(8)和(10)與實測值接近，雖鮮有文獻采用，但公式(8)精度高；公式(10)符合傳統HB強度準則定義。公式(9)是s=1時確定的形式，單軸強度明顯大于實測值[11]，根據傳統HB強度準則應予推薦，但是在不同的成果中很難出現s=1和mb=25的理想情況，這里只是巧合，因此仍難以確定其具體形式。依據新的線性擬合思想，所列公式(13)、判據一、二、三和四的形式相仿，尤其是與預測完整巖石的單軸抗壓強度σc′相似，分別為24.26、24.7、29.4、26.2和29.5 MPa，其值相對穩定，但比傳統HB強度準則預測值稍大。

表1 不同HB準則方程及對應完整巖石單軸抗壓強度對比

4 結論

傳統和普適HB強度準則被視為巖石力學中描述屈服或破壞的經典準則，并隨應用的擴展促使其從巖石力學領域拓寬到巖體力學領域。結論如下：

1)證實了傳統HB強度準則表達式的不確定性。傳統HB強度準則中兩個參數巖石軟硬程度mb和巖石破碎程度s默認為建議范圍，但仍然存在滿足參數范圍限制的多解問題。這一潛在不確定性主要影響完整巖石單軸抗壓強度σc的準確界定，其主要原因在于對巖石完整性尚無公認的定義，巖體相對巖石容易確定，而巖石間完整性比對尚無解決方案。

3)提出了完整巖石單軸抗壓強度確定的建議方案。傳統HB強度準則無法確定唯一的完整巖石單軸抗壓強度σc，這一困擾將影響室內巖石力學試驗向室外巖體工程應用擴展。結合線性解決方案和任一誤差判據可唯一確定擬合曲線，并可保證完整巖石單軸抗壓強度σc的唯一性。盡管目前真值無法確定，但與傳統HB強度準則相比，推薦解決方案仍然可視為理想的，其參數均符合傳統定義范圍且四種方案給出的完整巖石單軸抗壓強度σc十分穩定。

致謝：研究工作啟發于成都理工大學地質災害防治和地質環境保護國家重點實驗室陳津民老師的建議，數據整理和修改中得到了碩士生盧嵐大力協助，在此特別感謝！