著陸器足墊與月壤豎向沖擊簡化動力學模型

鐘世英,凌道盛

(1.山東建筑大學 土木工程學院, 山東 濟南 250101；2.建筑結構加固改造與地下空間工程教育部重點實驗室, 山東 濟南 250101；3.浙江大學 巖土工程研究所，浙江 杭州 310058)

2019年1月3日嫦娥四號軟著陸成功，標志著我國成為全球第一個實現航天器月球背面軟著陸的國家，開啟了人類月球探測與應用新篇章[1-2]。2019年4月12日以色列創世紀號撞擊月球成為碎片、2019年9月7日印度月船二號著陸失敗證明探測器高速降落過程中軟著陸難度非常大，著陸緩沖機構的設計是各國深空探測成功的關鍵[3]。月壤作為著陸器的最終承載者，著陸足墊與月壤在沖擊作用下相互作用的有效估算是軟著陸成功的重要一環(圖1)。

(來源：中國航天科技集團、探月工程)

沖擊過程中足墊受力特性是著陸緩沖機構設計的重要依據。國內外學者做了大量工作對月壤特性和沖擊動力學問題進行研究。凌道盛等[4]根據軟著陸沖擊過程的特點設計了豎向沖擊模型試驗系統，并采用數值模擬方法對沖擊過程進行建模分析。馬煒[5]針對月壤的散體材料特性，結合多剛體碰撞理論采用離散元方法研究了月壤沖擊作用下的動力響應。徐海濤等[6]通過設計探測系統得到了嫦娥四號著陸過程中足墊與月壤沖擊過程的影像數據。蔣明鏡等[7]采用數值分析法探討了月壤推剪破壞機制。Sahu等[8]通過振動試驗發現砂土阻尼會隨著土體結構的改變而變化。Swain等[9]通過土壤流變力學和Prony級數開發新的土動力學時變本構理論，探索更加有效的土體有限元動力分析模型。錢家歡等[10]采用經典結構動力學方法得到了夯擊過程中力與位移的關系。王四根等[11]以結構動力學理論為基礎采用能量積分法得到了強夯沖擊過程中夯擊能量吸收率問題的理論解，證明夯擊過程中地基加固能量占比與土壤性質有關。

嫦娥三號、嫦娥四號發回的照片表明，月壤表面覆有松散月塵，月壤粗顆粒含量高、顆粒粒徑差別大、棱角明顯、有空洞。室內試驗表明，模擬月壤顆粒在受壓過程中破碎現象嚴重，具有顯著的散體材料特性，采用波動法分析沖擊過程中足墊所受沖擊力時程特性異常困難。為快速、準確地獲得沖擊過程中足墊與月壤間的相互作用特征，嘗試從能量角度建立動力學控制方程，采用精細時程積分和過程參數相結合的方法探索著陸器軟著陸沖擊荷載的動力響應模型。

1 基本方程

著陸器軟著陸沖擊過程中，足墊與月壤的相互作用可分為三個階段[12]：沖擊接觸、滑移和靜止(圖2)。為揭示沖擊運動機理，得到足墊運動的控制參數，將整個沖擊過程簡化為豎向沖擊(A)和水平滑移(B)兩個階段。豎向沖擊段是指足墊與月壤接觸開始到月壤反力對加速度影響不大時結束，整個豎向沖擊過程加速度改變以月壤反力為主。水平滑移段是指豎向沖擊結束后，足墊相對月壤滑移運動，作用力主要來源于足墊與月壤間的動量轉化。

圖2 軟著陸過程示意圖

測試結果表明[4]：豎向沖擊過程中足墊接觸月壤后，初始幾個毫秒內，應力波在月壤內傳播深度有限，表層模擬月壤形成加密區[13]。在沖擊壓縮位移小于臨界刺入位移前，月壤呈彈性變形；超過臨界刺入位移后，形成塑性破壞區，月壤呈現彈塑性。為研究豎向沖擊過程足墊與月壤的相互作用力，建立足墊-月壤豎向沖擊物理模型系統(圖2)。根據豎向沖擊模型試驗中軸力和刺入位移曲線測試結果[14]，結合豎向沖擊數值模擬中塑性區發展規律[4]，將豎向沖擊過程中與足墊作用的月壤劃分為兩個區域:一個是月壤在足墊沖擊作用下形成的塑性區，簡稱沖剪區；另一個是沖剪區外由沖擊作用引起彈性變形的區域稱為沖擊影響區，簡稱影響區。

將豎向沖擊模型簡化為兩個自由度的動力系統(圖3)，給出豎向沖擊過程的動力控制方程。足墊動力平衡方程為：

圖3 足墊-月壤豎向沖擊物理模型系統

(1)

其中：M1為沖擊物總質量；K1為足墊與月壤間的有效接觸彈簧剛度；c1為足墊與沖剪區阻尼；g為當地重力加速度；r為沖擊過程中月壤與足墊接觸頂面處足墊半徑(0≤r≤rm)；rm為足墊最大半徑；δ1為足墊的豎向刺入位移；δ2為滯后月壤的豎向位移。

沖剪區動力平衡方程：

(2)

其中：Ms為沖剪區月壤的質量；K2為沖剪區與影響區月壤的有效彈簧剛度；c2為沖剪區與影響區月壤的阻尼。

2 主要模型參數

室內試驗結果表明，月壤強度參數與月壤密實狀態密切相關；模型試驗結果表明，豎向沖擊過程中足墊對月壤具有明顯的壓密效應[14-15]。結合試驗結果，將控制方程中的月壤材料參數與沖擊過程月壤狀態相關聯。

2.1 沖剪區質量

豎向沖擊過程中，足墊下月壤塑性區擴展使沖剪區質量不斷變化，沖擊力傳遞深度與足墊的直徑有關。假定足墊與月壤接觸時產生初始楔形沖剪區，則某時刻沖剪區質量Ms(圖4)：

圖4 沖剪區質量

Ms=Ms0+Δm。

(3)

由準靜力加載下的土錐體理論可得，圓形加載板時產生錐體沖剪區，初始沖剪區Ms0為：

(4)

其中,r為刺入深度處足墊的半徑，ρ為模月壤的密度，φ為模擬月壤內摩擦角。

假定時間足夠短則沖剪區質量增量可以表示為應變量ε1厚度的小圓柱，則沖剪區質量增量Δm：

Δm=ε1πr2ρ。

(5)

2.2 月壤剛度

假定月壤的彈簧剛度K與應變量相關，月壤彈簧的壓縮比率并非定值，與月壤狀態相關。半無限彈性連續體受剛性圓盤荷載的彈性系數(彈簧的系數)可表示為：

(6)

其中：Ee為彈性模量，與月壤密實度有關；μ為泊松比；η為彈簧剛度修正系數。與刺入半徑r(d)和足墊刺入位移處面積Aft與總的足墊面積Aftm比值：

(7)

其中κ為修正系數，當r(d)=rm時，κ=π。

2.3 月壤阻尼

假定沖擊過程中不同狀態下的月壤阻尼與月壤材料阻尼比有關，則月壤阻尼：

c=βλ。

(8)

其中：λ為動三軸試驗測定的月壤材料阻尼比；β為阻尼修正系數，與月壤密實狀態和沖擊質量有關。

3 精細時程解

對于豎向沖擊問題，需作瞬態歷時分析，可采用精細時程積分法進行求解[16]。足墊-沖剪區動力系統控制方程由式(1)、式(2)合記為：

(9)

引入狀態向量

(10)

設第k時間步的V值已知，記為Vk,則Vk+1可表示為

Vk+1=T[Vk+H-1(f0+H-1f1)]-H-1(f0+H-1f1+f1Δtk),

(11)

T=eHΔtk=(eHΔtk/m)m,

(12)

取n=2N，Δτk=Δtk/n。若Δτk足夠小，則有

(13)

T=[eHΔtk]2N=[I+Ta]2N=[I+Ta]2N-1[I+Ta]2N-1。

(14)

且(I+Ta)×(I+Ta)=I+2Ta+Ta×Ta。

4 計算實例

以模型試驗為例(圖5)，取足墊直徑r=8.3 cm，沖擊質量M1=1.5 kg，沖擊速度v=1 m/s，月壤密度為ρ=1.202 g/cm3，摩擦角為φ=40°，泊松比μ=0.33，阻尼比為λ1=0.15，λ2=0.12，β1=138.07，β2=57.96，κ=0.284，彈性模量Ee可采用式(15)計算：

圖5 足墊與沖擊坑

(15)

圖6給出了豎向沖擊模型試驗測試結果和豎向沖擊力學模型計算結果。沖擊力時程如圖6(a)所示，力學模型能夠捕捉到豎向沖擊過程中沖擊力急速上升至最值，然后快速下降觸底反彈的特性，沖擊時間基本一致。

圖6 豎向沖擊模型試驗測試值與計算值關系

沖擊加速度時程見曲線6(b)，表明加速度峰值計算值與實測值基本一致。與計算值相比，實測加速度提升存在滯后漸變性，與模型設置沖剪區初始值有關，且加速度傳感器本身特性也受影響，但沖擊作用時間一致，計算結果可接受。

位移時程曲線如圖6(c)所示，模型的計算值與實測值初始段斜率一致，峰后走勢一致。最大位移值相差0.5 mm，由于模型試驗模擬月壤顆粒特性鋪設不能達到完全平整，因此存在測試誤差，故計算模型對最大沖擊位移估算誤差可接受，可以為足墊尺寸設計提供依據。同時，計算模型峰后回彈略大于實測值，最終位移量估算存在改進空間。綜合分析可知，本研究建立的豎向沖擊力學模型計算時程與模型試驗測試時程的變化規律一致，可以作為足墊-月壤豎向沖擊相互作用的估算模型。

5 結論與展望

足墊與月壤動力相互作用的合理、有效預測是著陸器軟著陸成功的關鍵一環。結合室內試驗、數值模擬和模型試驗測試結果構建了豎向沖擊數學力學模型，將月壤狀態特性，特別是力學參數的變化，通過精細時程積分算法應用于動力控制方程求解。將測試值與計算值對比，本研究建立的足墊-月壤相互作用豎向沖擊力學模型可以較好地估算沖擊過程中沖擊力、沖擊加速度和位移的時程變化規律和峰值，對沖擊作用時間亦有較好估算。軟著陸過程中，足墊與月壤的實際作用軌跡為三維空間曲線，復雜運動狀態下的足墊-月壤系統動力模型的探索將為著陸緩沖機構優化提供重要科學依據。