數學理解的評估與教學改進策略

邵宇

【摘? ?要】數學理解是一個積極建構的過程，需要學生主動將新信息、新情境與已有的知識進行聯系。教師應轉變教學策略，多運用數形結合思想，引導學生經歷分析、對比、操作、評估、深化等過程，讓學生在更高的層級達到數學理解。

【關鍵詞】數學理解;教學;評估

一、理論：數學理解之價值指向

杜威認為，理解是學習者探究事實意義的結果，可見理解是主動建構內部的心理表征，進而獲得心理意義的過程。數學理解是一個積極建構的過程，學生在構建自己理解的主旨時，是作為一個建設性的參與者，采用數學的視角感知現實世界，用數學的語言表征現實世界，用數學的思維方式建立數學與現實之間的聯系，選擇和運用合適的數學概念和策略解決現實中的問題，并基于給定的數據進行合理監控或驗證。

數學理解是學生數學學習過程中的中心環節，其目標指向既是“對數學對象的理解”，又是“從數學的角度理解現實”，需要通過某種模型去呈現學生思維內部對知識的建構狀態與建構過程。英國的皮里（Pirie）和加拿大的基輪（Kieren）提出了一個數學理解發展的理論模型——“超回歸”數學理解模型。該模型以認知結構的觀點提出數學理解并非直線式的提高或直線式的發展，而是一個進行中的、動態的、分水平的、非線性的、反反復復的建構過程。它由原始認知、產生表象、形成表象、性質認知、形式化、觀察評述、構造化、發明創造八個不同理解水平組成，能完整呈現學生理解某一數學知識所經歷的全過程（見圖1）。

“超回歸”數學理解模型揭示了學生數學理解過程的基本規律，學生對數學概念的理解、掌握、運用的過程，不可能一蹴而就，需要在不同理解水平間循環往復，從而螺旋式地把對知識的理解推向深入。

筆者根據這一理論，評估了學生對長方體和正方體體積的理解，看學生能否主動將新信息、新情境與他們現有的知識和理解相聯系，并根據學生在觀察現象、表述和處理問題上所采用的策略、方法，探究學生數學理解認知結構的層次性，以此作為重組學習材料，探討教學轉變策略的依據。

二、診斷：數學理解之評估分析

在學生學習了長方體和正方體的體積后，為評估學生對此概念掌握的真實水平和理解程度，在某次數學測試中，筆者設計了這樣一道題：

這個評價任務是基于對長方體和正方體體積概念理解的拓展應用。筆者對區內近200名學生進行了評估，結果顯示正確率只有43.7%。表1是對錯誤情況的數據統計與分析。

從表1可知，47.5%的學生對長方體和正方體體積概念、計算與運用存在理解偏差。體積概念是指這個物體中含有多少個體積單位。學生借助小正方體擺長方體，通過觀察長方體長、寬、高的關系，運用“每排的個數、排數、層數”來理解體積計算公式的含義，從而得到長方體的體積是“長×寬×高”，這是獲得體積計算公式建立的表象。計算過程中出現的錯誤說明，學生對長方體體積概念的理解存在知識結構不完備，概念掌握不準確、不清晰等問題。

三、改變：數學理解之教學策略

學生對長方體和正方體體積的計算與應用有一定的原始認知和表象建立，但其理解水平不同。因此筆者嘗試在教學中設計不同層次的學習任務，幫助學生厘清、再建已有的概念，在豐富的活動中促進學生對長方體和正方體體積的數學理解。

（一）追本求源，厘清學生的“原初思維”

教師應了解學生已理解什么，理解到何種程度，采用什么思維策略，容易在什么地方產生迷思。探尋學生“原初思維”最有效的方法就是追本求源，厘清思路。

【教學片段1】

（1）出示學生解決這個問題的四種方法。

方法一：個數=大體積÷小體積，（24×12×9）÷（2×2×2）=324（個）。

方法二：24÷2=12（個），12÷2=6（個），9÷2=4.5（個），12×6×4.5=324（個）。

方法三：24÷2=12（個），12÷2=6（個），9÷2=4（個）……1cm，12+6+4=22（個）。

方法四：個數=沿長放幾個（每行的個數）×沿寬放幾個（行數）×沿高放幾個（層數），24÷2=12（個），12÷2=6（個），9÷2=4（個）……1cm，12×6×4=288（個）。

師：比較這四種方法，它們有什么不同的地方？哪種方法是對的？

（同桌小聲討論）

師：為什么選擇第二種？

生：因為沒有放滿。9÷2=4（個）……1cm。

通過四種方法的比較，教師引導學生聚焦于正方體積木在收納盒里擺放的表象建構。方法一與方法二相似，都理解為在長方體中能放滿正方體。方法一和方法四截然不同的策略，引導學生思考收納盒的長、寬、高與正方體積木棱長之間的倍數關系，會影響實際擺放的空間結構（是否放滿）和個數。學生會發現方法三和方法四依據的是長方體體積計算公式推導原理，將長方體收納盒的長、寬、高對應正方體積木擺放的每行個數、行數、層數，由此理解方法三缺少三維立體構建。

（2）建立放不滿的空間表象。

生：24里有12個2，長就可以放12個;12里有6個2，寬就可以放6個;9里有4個2，高只可以放4個，還余1厘米，放不下正方體積木了。

師：長方體收納盒里能放多少個正方體，就是看長方體的長、寬、高里面各有幾個這樣的棱長，所以總個數=每行個數×行數×層數。

教師引導學生聚焦是否“放滿”，重點表達長÷2=每行個數，寬÷2=行數，高÷2=層數，幫助學生建立積木擺放的表象。

（二）聚焦難點，引發學生“認知沖突”

數學理解的過程應建立在學生已掌握的知識之上，在不同情境對比中聚焦難點，讓學生在學習體驗中，領悟空間圖形與因數、倍數知識間的聯系。

【教學片段2】

（1）情境對比，直擊題意。

出示另一種情境：小紅家有很多完全相同的小正方體積木，這些小正方體積木的棱長是整厘米數。小紅把它們放入24×12×9這個長方體收納盒里，長、寬、高正好都放滿（無空隙），你能求出正方體積木的個數嗎？最少能放多少個正方體？

通過比較，學生發現，兩題的相同點是收納盒大小一樣，問題都是求放入的小正方體積木的個數;不同點是第一題已知小正方體的棱長，第二題只知道正方體棱長是整厘米數。第一題不知道有沒有放滿，第二題正好放滿。第一題求最多有多少個，第二題求最少放多少個。教師追問，都是求在收納盒里放入正方體積木的個數，為什么一個是最多，一個是最少。由此讓學生理解要求正好放滿，說明正方體棱長的厘米數是長方體長、寬、高的厘米數的公因數（1和3）。在收納盒中，正方體積木棱長越大，個數越少，當正方體棱長是長、寬、高的厘米數的最大公因數時，個數最少。學生在比較中理解題意，體驗正方體積木的棱長從因數到公因數再到最大公因數的演變過程。

（2）方法對比，直擊沖突。

師：那收納盒中最少能放多少個小正方體積木呢？小正方體棱長是多少？請大家畫圖想一想。

生：當正方體棱長是長、寬、高的厘米數的最大公因數時，個數最少。24，12，9的最大公因數是3，所以放的個數是（24÷3）×（12÷3）×（9÷3）=96（個）。

師：回到收納盒里的擺放，也就是沿著長放8個（每行個數），沿著寬放4個（行數），沿著高放3個（層數）。（PPT動態呈現）

師：看著直觀圖，你有不同的想法嗎？

生：長方體體積÷小正方體體積=（24×12×9）÷（3×3×3）=96（個）。

師：用大體積除以小體積可以嗎？

生：可以，結果一樣。因為這里小正方體棱長是長方體長、寬、高的公因數，剛好能放滿，所以可以用大體積除以小體積。

師：對比觀察這兩道題，想一想，你發現收納盒里有什么秘密？

（生交流，小結）

秘密一：當小正方體棱長是長方體長、寬、高的因數時，正好放滿，可以得到：大體積÷小體積=正方體的個數。

秘密二：不管小正方體棱長是不是長方體長、寬、高的因數，是否放滿，都能得到：每行個數×行數×層數=正方體的個數。

面對不同的實際情況，學生會陷入“認知沖突”：怎樣的情況，可以用“大體積÷小體積=個數”來解決？怎樣的情況不能用，要根據實際擺放情況來解決？“認知沖突”激發了學生自主探究“真相”的動力，他們發現長方體長、寬、高的公因數與小正方體的棱長的關系是解決問題的關鍵。教學中課件的直觀性支撐學生的思維，幫助空間想象有困難的學生實現“眼中有數，腦中有形”，促進數學理解。

（三）空間想象，開放學生的“動態思維”

學生經過對比學習，能結合長方體長、寬、高的數據特征想象出在不同情境下收納盒中正方體的擺放表象。為了讓學生理解得“深”一點，筆者設計了開放的情境，激勵學生進行空間想象。

【教學片段3】

（1）開放探究，動手操作。

開放情境：小紅把若干個棱長是整厘米數，完全相同的小長方體積木放入收納盒，正好放滿。若讓你來設計這個小長方體積木，它的長、寬、高會是多少？這個收納盒里能放多少個小長方體積木呢？畫一畫，怎么擺放？完成學習任務單。

空間想象是空間觀念的要素，學生先根據長方體積木與長方體收納盒兩者的長、寬、高的數量關系，在頭腦中“發明創造”長方體積木擺放表象，再動手畫圖驗證，既從“數”上理解因數與倍數的特征，又在“形”上建立立體的三維表象，加深對長方體的空間感知，發展空間觀念。

（2）關系探索，數形結合。

師：你們組設計的小長方體都有什么特征呢？

生：小長方體積木的長、寬、高是大長方體收納盒的長、寬、高的因數（反之，是倍數關系），這樣就正好沿長、寬、高放滿相應的個數。

師：此時積木的總個數是……

生：總個數=（24÷a）×（12÷b）×（9÷c）。

師：這里能用“大體積÷小體積=積木個數”嗎？

生計算后交流：放滿時，也可以直接用“大體積÷小體積”來解決問題。

學生經過活動經驗的積累，已經能抽象出數與形的關系。

（3）變式深化，動態想象。

師：小紅設計的長方體是這樣的：a=9cm，b=8cm，c=6cm，能放嗎？

生：不能，因為它的長、寬、高不是收納盒長、寬、高的因數。

生：能，8是48的因數，6是12的因數，9是9的因數，剛好放滿。

師：（PPT動態演示）觀察積木長、寬、高數據的特征，看它是大長方體哪條棱的因數，就改變擺放的位置，找到它的對應邊擺放，盡量放滿。

教師創設開放的情境，引發學生的認知沖突，發揮學生的想象力，讓空間思維“動”起來。面對積木的長、寬、高與收納盒的長、寬、高不對應的數據，學生從長方體長、寬、高三維角度想象物體的位置關系，是“動態思維”的表現。

（四）整體評估，監測學生的“認知層次”

筆者設計的評估任務旨在考查學生在開放、真實的情境下，能否達到：（1）用語言、算式、畫圖等不同方式表征問題的答案;（2）能明確表達解決問題的思維與策略;（3）能 “優化策略”，并能用可理解的方式直觀表征。

【教學片段4】

小紅有若干個長、寬、高分別為5厘米，4厘米，3厘米的小長方體積木，超市里有三個尺寸不同的收納盒，價格相同，小紅選擇哪個收納盒更合適？（單位：厘米）

師：什么叫更合適？

生：放的積木的數量最多，正好放滿。

師：能正好放滿最好，如果不能放滿，我們要考慮誰的數量最多。那么，哪個收納盒放的積木最多呢？自己研究一下。

（生自主研究，小組交流，全班匯報）

（1）A收納箱。

（2）B收納箱。

因為23不是5的倍數，所以只能在20×12×6的空間放積木，可以放20×12×6÷（5×4×3）=24（個）。這時還有3×12×6的空間，但只能在3×12×5的空間放積木，可以放3×12×5÷（5×4×3）=3（個）。所以能裝20×12×6÷（5×4×3）+3×12×5÷（5×4×3）=27（個）。

（3）C收納箱。

因為正好放滿，所以直接用“大體積÷小體積=個數”，即24×10×6÷（5×4×3）=24（個）。

通過評估任務，教師能了解到學生的認知層次：第一層次是看哪個收納盒正好放滿，于是會快速獲得C收納盒里的個數。第二層次是看放不滿的A、B收納盒中，通過總個數=（24÷a）×（12÷b）×（9÷c）的模型，分別獲得A、B收納盒里小長方體積木的個數。第三層次是學生發揮空間想象，探究數據間的關系，有意識地在不同的位置關系中轉換，不斷溝通數與形之間的關系，從而“優化策略”。這三個認知層次反映了學生不同的理解程度。

整個教學實踐過程，在評估數據分析的基礎上，引導學生經歷了多次的認知沖突與碰撞，使學生在對長方體中擺放小方塊的實際問題的思考上升了一個層次：從“長、寬、高”分別能放多少塊的角度來理解，用“沿長放幾個×沿寬放幾個×沿高放幾個”構建了三維立體表象。

“數學理解”需要學生主動將新信息、新情境與已有的知識進行聯系，教師也要轉變教學策略，多運用數形結合思想，有目的地進行點撥、引導，讓學生在更高層級達到數學理解。

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（浙江省杭州市青藍青華實驗小學? ?310000）