主動段姿態控制參數與穩定裕度映射關系研究

吳建武 吳 浩 張惠平

北京航天自動控制研究所，北京 100854

0 引言

穩定裕度[1]，包括幅值裕度和相位裕度，是度量控制系統穩定性的重要指標，在工程應用上具有重要的指導意義。關于各類控制系統穩定裕度的研究，特別是穩定裕度的計算[2-4]與在線辨識[5-7]方法，一直是控制理論研究中的一個重要內容。

穩定裕度同樣也是各類導彈(火箭)姿態控制系統設計過程中的重要指標。當導彈(火箭)飛行狀態和預設值發生偏離時，姿態控制系統穩定裕度將不可避免地與設計結果存在偏差，甚至超出穩定要求，嚴重時將導致飛行失利。針對這一情況，眾多學者提出了提高姿態控制系統對偏差適應能力的方案，這包括從模型著手，如通過辨識風場建立更為精確的被控對象模型的方案[8]，以及從控制器著手，如通過魯棒動態逆[9]、神經網絡容錯控制[10]、自適應控制[11]、智能控制[12]等的方案。

研究在線辨識姿態控制系統穩定裕度的方法，并基于穩定裕度辨識結果在線調整控制參數，使穩定裕度重新“回到”穩定要求范圍之內則是一種最為直接的方案。建立控制參數與穩定裕度之間的映射關系，是實現在線調整姿態控制系統穩定裕度的基礎。

鑒于控制參數與穩定裕度之間的映射關系的重要性，本文將針對固體導彈(火箭)主動段姿態控制系統，研究基于解析方式建立控制參數與幅值(相位)裕度映射公式的方法，并利用數學仿真對映射公式的有效性進行驗證。

1 被控對象描述

對于固體導彈(火箭)的主動段，影響姿態控制系統穩定裕度的主要因素有導彈(火箭)本體特性、單機特性和控制器特性。由于慣組(平臺)的帶寬通常遠高于伺服機構的帶寬，為了簡化問題，單機特性方面本文僅考慮伺服機構的特性。考慮到導彈(火箭)的偏航通道與俯仰通道類似，本文只對俯仰通道進行討論。另外，考慮到固體導彈(火箭)的彈性運動頻率一般遠高于彈(箭)體的截止頻率，本文在對控制參數與剛體穩定裕度映射關系的研究過程中，忽略彈性運動的影響。

1.1 剛體運動模型

固體導彈(火箭)姿態運動剛體部分的傳遞函數在彈(箭)體靜穩定時為[13]：

(1)

在彈(箭)體靜不穩定時為[13]：

(2)

式中：

k0=(b3fc1f-b3fc2f-b2fc3f)/(b2fc2f)，

ωz1=(b3fc1f-b3fc2f-b2fc3f)/b3f，

ωp2=

1.2 伺服機構模型

本文按下述傳遞函數考慮伺服機構特性，

(3)

1.3 控制器構型

本文采用的控制器的傳遞函數形式為：

(4)

在控制器GC(s)中有ωcp>ωcz。在本文的討論過程中，忽略離散化過程對控制器幅相特性的影響。

1.4 姿控回路開環幅相特性

考慮導彈(火箭)本體特性、伺服機構特性和控制器特性等因素后，俯仰通道姿態控制回路開環傳遞函數為

G(s)=-GV(s)GS(s)GC(s)

(5)

在靜穩定情形，當滿足|ωp2|<ω?|ωz2|時，或靜不穩定情形，當滿足max(|ωp2|,|ωp3|)<ω?|ωz2|時，忽略公式里的小量部分，G(s)的對數幅頻特性函數可以近似如下:

(6)

同理，G(s)的對數相頻特性函數可以近似如下:

(7)

2 控制參數與幅值裕度的映射關系

2.1 幅值裕度計算

(8)

注意到，ωφ滿足ωφ?ωs，如果在選取控制參數時，使ωcz和ωcp分別滿足ωcz?ωφ和ωcp?ωφ，那么忽略式(6)中的小量，可以將俯仰通道幅值裕度計算公式進一步化簡為：

(9)

根據上式，就可以利用導彈(火箭)模型參數(b3f)、伺服機構模型參數(ωs和ξs)、控制器參數(kc，ωcp和ωcz)近似計算俯仰通道幅值裕度。利用Nyquist穩定性判據可知，當-L(G(jωφ))>0時，姿態控制系統穩定，否則系統不穩定。為了使系統穩定并擁有足夠的幅值裕度，在設計姿態控制器參數kc，ωcp和ωcz時，需要將式(9)“≈”號的右邊設計為恰當的正值。

2.2 控制參數與幅值裕度映射公式

根據式(9)，可以分別得到控制參數與幅值裕度的對應關系為：

L1(kc)=-20lgkc

(10)

控制參數ωcp和ωcz與幅值裕度的對應關系為：

(11)

導彈(火箭)模型參數b3f、伺服模型參數ωs和ξs與幅值裕度的對應關系為：

(12)

根據式(10)和式(11)，可以直接得到控制參數kc，ωcp和ωcz變化時，對應的-L(G(jωφ))的變化量，即分別建立了控制參數kc，ωcp和ωcz與幅值裕度之間的一種映射關系。從式(10)可以看出，幅值裕度關于kc單調遞減。從式(11)可以看出，當差值ωcp-ωcz固定時，幅值裕度關于比值ωcp/ωcz單調遞減；當比值ωcp/ωcz固定時，幅值裕度關于差值ωcp-ωcz單調遞增；分別以ωcp/ωcz和ωcp-ωcz為x和y軸坐標，可以得到L2(ωcp,ωcz)隨控制參數ωcp和ωcz變化的曲面如圖1所示。以上單調性表明，當給定幅值裕度的變化量時，可以根據式(10)，或者式(11)確定kc，ωcp和ωcz的調節量。

圖1 控制參數ωcp和ωcz與幅值裕度映射關系

3 控制參數與幅值裕度的映射關系

3.1 基于代數方程求解的相位裕度計算

(13)

3.2 基于區間近似的相位裕度計算

根據前面的討論，雖然俯仰通道姿態控制系統的相位裕度可以通過求解三次代數方程得到，但是計算結果與模型參數b2f和b3f存在復雜的非線性關系，無法類似于幅值裕度情形，進一步直接建立控制參數與相位裕度的映射關系。

下面根據俯仰通道姿態控制回路開環傳遞函數G(s)的對數相頻特性函數的特點，通過迭代逐步縮小包含頻率點ωL的區間。在完成若干次迭代之后，將θ(G)-(-π)在區間端點處的值作為相位裕度值，進而得到簡化的相位裕度計算公式，并建立不含模型參數的控制參數與相位裕度的映射關系。

為了保證姿態控制系統穩定，選取的控制參數kc需要滿足kc>-b2f/b3f[13]，即有b3f·kc+b2f>0。因此可以定義數列{ω1,n}：

(14)

和數列{ω2,n}：

(15)

在式(14)和式(15)中，函數f(x)定義為：

(16)

顯然，該函數在區間[0,+∞)內嚴格單調遞增。

注意到，b3f和kc均為正數，因此有

(17)

式(17)表明，數列{ω1,n}單調遞增。

同理，由

(18)

可知，數列{ω2,n}單調遞減。

因此，由式(13)，或者等價的下式

(19)

可知，數列{ω1,n}和數列{ω2,n}均收斂，并且均收斂于ωL。令

(20)

顯然有，

-∞

(21)

對于n=1,2,…,N，如果在設計控制參數時讓kc滿足

(22)

那么，根據式(17)～(22)式可得

[ωcpx1ωcz1-x1,ωcp1-x1ωczx1]?
[ωcpx2ωcz1-x2,ωcp1-x2ωczx2]?
?
[ωcpxNωcz1-xN,ωcp1-xNωczxN]

(23)

并且，

ωL∈[ωcpxNωcz1-xN,ωcp1-xNωczxN]

(24)

另外一方面，注意到?x∈(-∞,1/2]，控制器相頻特性曲線滿足

(25)

(26)

因此，在代入θ(G(jωL))-(-π)近似計算俯仰通道相位裕度時，可以用ωcpxNωcz1-xN或者ωcp1-xNωczxN替代ωL，即當條件(22)滿足時，俯仰通道姿態控制系統相位裕度可近似為

(27)

3.3 控制參數與相位裕度映射公式

將式(27)“≈”號右邊的兩項分別記為

(28)

和

(29)

顯然有θ1(ωcp,ωcz)?θ2(ωcp,ωcz,ξs)，即θ2(ωcp,ωcz,ξs)相對于θ1(ωcp,ωcz)為小量。而θ1(ωcp,ωcz)僅與控制參數ωcz和ωcp相關，因此根據θ1(ωcp,ωcz)就可以得到控制參數ωcp和ωcz變化時，對應的θ(G(jωL))-(-π)的變化量，即分別建立了控制參數ωcp和ωcz與相位裕度之間的一種映射關系。從式(28)可以看出，相位裕度關于ωcz單調遞減，關于ωcp則單調遞增。

作為例子，當取xN=0.18時，分別以控制參數ωcp和ωcz為x軸和y軸，可以得到θ1(ωcp,ωcz)隨控制參數ωcp和ωcz變化的曲面如圖2所示。

圖2 控制參數ωcp和ωcz與相位裕度映射關系

4 應用算例與數學仿真

在基于控制參數與幅值裕度映射關系式(10)確定與期望的幅值裕度變化量對應的控制參數kc的變化量時，可以通過下面三階泰勒展式計算得到控制參數kc的相對變化量，

(30)

式中:ΔL為期望的幅值裕度變化量。

在基于控制參數與幅值裕度映射關系式(11)，或者基于控制參數與相位裕度映射關系式(28)，確定與期望的幅值裕度或者相位裕度變化量對應的控制參數ωcz和ωcp的變化量時，則可以采用兩分法、割線法、牛頓法等迭代方法。

以某火箭為背景進行仿真驗證時，在某偏差狀態下飛行的80s～100s，期望的幅值裕度按幅值為3dB、頻率為0.1Hz的正弦規律進行變化。通過對控制參數kc的在線調節，幅值裕度調節實現的效果如圖3所示，從圖可以看出，較好地實現了期望的幅值裕度變化規律。

圖3 某偏差狀態下幅值裕度在線調節效果

某偏差狀態下，在火箭飛行的75s～95s，期望的相位裕度按幅值為12°、頻率為0.1Hz的正弦規律進行變化。通過對控制參數ωcp的在線調節，相位裕度調節實現的效果如圖4所示，從圖可以看出，較好地實現了期望的相位裕度變化規律。

圖4 某偏差狀態下相位裕度在線調節效果

5 結論

采用解析方式，建立了固體導彈(火箭)姿態控制參數與穩定裕度之間的映射關系，該映射關系可應用于姿態控制系統在線調節裕度，并通過數學仿真驗證了映射關系的有效性。

考慮到在建立解析映射關系的過程中采取了一些近似處理，后續可以通過深入研究，提高映射關系的精度，同時將映射關系的適用范圍推廣到考慮彈(箭)體彈性影響的更廣泛情形。此外，還可通過進一步的研究，與各類穩定裕度在線辨識方法相結合，實現穩定裕度調節回路的閉環。