淺談拉格朗日對數學的貢獻

韓樹新 何軍 王鑰 王煒卿

[摘 要]文章采用文獻描述性研究法，介紹了拉格朗日的生平，總結拉格朗日對數學分析以及數值計算的貢獻，拉格朗日在數學領域的成就。拉格朗日的研究不僅為后一代數學家們提供了素材和經驗，也對我們當代的生活產生了重大影響。

[關鍵詞]拉格朗日;數學分析;數值計算

[基金項目]2017年度河北經貿大學教學研究項目青年項目“將數學建模思想融入大學數學教學中的策略研究”（2017JYQ04）

[作者簡介]韓樹新（1963—），女，河北武強人，碩士，河北經貿大學數學與統計學學院教授，主要從事復分析研究;何 軍（1966—），女，甘肅張掖人，學士，河北經貿大學助理研究員，主要從事企業管理研究;王煒卿（2001—），女，山東淄博人，山東女子學院會計學院財務管理專業本科生在讀;王 鑰（1987—），女，山東淄博人，博士，河北經貿大學數學與統計學學院副教授（通信作者），主要從事復分析研究。

[中圖分類號] O11[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）32-0322-02[收稿日期] 2020-03-16

一、引言

拉格朗日是18至19世紀承前啟后的數學大師，其地位僅次于歐拉。拉格朗日在數學方面的研究，對18世紀創立的數學分支貢獻很大。近年來，一些學者對拉格朗日做了深入研究。田鵬研究拉格朗日的生平事跡[1]。王穎對拉格朗日中值定理進行了充分的分析和研究[2]。吳元澤對拉格朗日乘數法的幾何意義進行了討論[3]。師冰雪、李占松對工程計算中拉格朗日插值多項式的誤差進行了評價[4]。M. V. Korobkov研究了拉格朗日中值定理對向量值映射情形的推廣[5]。拉格朗日在數學領域的成就對我們現代生活產生了重要影響。本文介紹了拉格朗日的生平，總結了拉格朗日對數學的貢獻，讓大家對拉格朗日有更充分的了解。

二、拉格朗日的生平

拉格朗日1736年1月25日出生于意大利都靈。中學時，拉格朗日更愛好文學。漸漸地，在跟老師雷維里學習的過程中，拉格朗日發現了存在于幾何學中的奧秘，并轉而喜歡上了幾何學。1753年，在讀了有關牛頓微積分的介紹之后，拉格朗日的目光又停留在了數學分析上。從此，拉格朗日在科學的道路上不斷攀登，越走越遠，直至人生盡頭。

1754年，18歲的拉格朗日取得了第一項研究成果，獨自推導出了求兩個函數乘積的高階求導公式。拉格朗日寫信將這一發現告知了歐拉，但萊布尼茨早在半個世紀前就得出了他的這項發現，他雖失落，但并沒有放棄，繼續進行研究。在數學研究生涯的初始階段，經過小波折后，拉格朗日的思想轉向了對變分法的研究。受歐拉變分法工作的啟發，1754年，通過純分析方法，拉格朗日對積分的極值問題進行了求解，將該方法告知了歐拉，歐拉對拉格朗日的想法非常支持。歐拉非常欣賞拉格朗日的天賦和才華，因此向柏林研究院推薦拉格朗日。由于拉格朗日自身的才華，他被任命為柏林研究院的院士。四年后，拉格朗日發表了有關變分法的論文，正是由于拉格朗日在變分法方面的重大貢獻和奠定的重要基礎，變分法才能夠成為數學的一個分支得以發展。

拉格朗日十分注重對數論、方程論的研究，他證明了代數基本原理，對一般數值方程解進行了研究。在數論方面，1759年，拉格朗日求解佩爾方程失敗后，于1766年，給出了佩爾方程整數解存在性的證明;1772年，他對由費馬提出的四平方定理進行了證明，此外，在1773年，還對威爾遜定理進行了證明。

1783年，拉格朗日的妻子、腓特烈大帝相繼去世，拉格朗日失去了感情和事業的兩大支持者，決心換一個環境生活。于是，1786年，在路易十六的邀請下，拉格朗日赴巴黎科學院繼續進行他的研究工作。

1795年，拉格朗日被任命為巴黎高等師范學校的數學教授，由此，拉格朗日的研究工作也正式重新開始，通過對他過去的數學研究進行整理，他相繼出版了《解析函數論》和《函數計算講義》兩本著作。拿破侖把拉格朗日、拉普拉斯等自然科學家都吸收進了保守的參議院。1813年4月，拉格朗日被授予大十字勛章。但這時候的拉格朗日無法潛心研究，身體狀況不佳，于4月中旬去世。

三、拉格朗日對數學分析的貢獻

拉格朗日對數學分析的貢獻非常大，比如拉格朗日中值定理，應用拉格朗日中值定理可以判斷函數的單調性、有界性、一致連續性，證明等式、不等式，判斷方程根的存在性，求極限，判斷級數斂散性等。

拉格朗日對數學分析的另一個重要貢獻是拉格朗日乘數法。拉格朗日乘數法能夠對多元函數的極值進行求解，尤其是存在多個變量和限制條件的情況。在經濟學中，凡是有約束條件的極值問題都可以用拉格朗日乘數法求解，而且約束最優化問題在經濟學中占有重要的地位，所以拉格朗日乘數法在經濟學中發揮著重要的作用。例如，效用最大化問題可轉化為求在約束條件下效用函數的最大值問題，因此可用拉格朗日乘數法求解。此外還有成本最小化的問題也可以通過轉化進行求解。

四、拉格朗日對數值計算的貢獻

在科學研究和生產社會實踐活動中，部分函數的具體解析式無法得知，對這部分函數，只能通過實驗或觀察的方式得到一些離散點的函數值。此外，還存在部分函數，雖然其具體的解析表達式是知道的，但表達式過于煩瑣，要想分析和計算這些函數比較的困難，這時候就需要尋找一個合適的近似函數來代替原來的函數，而插值法就是這樣一種尋求近似函數的方法。1795年，在拉格朗日出版的一本數學知識方面的著作中對插值法進行了簡單的介紹，之后拉格朗日本人就和插值法聯系在一起[6]（P65-66）。所以有了插值多項式、線性插值、拋物線插值、插值余項等。

由于拉格朗日插值法能夠對具體的計算步驟和計算過程進行簡化，因此其在工程中發揮著的重大的作用，而且隨著計算機的普及，拉格朗日插值法已與matlab等軟件結合起來，現已研究出了用拉格朗日插值法尋求近似函數的程序，大大方便了人們的計算。