系統(tǒng)思維 整體把握

摘要：課堂教學(xué)的改革要求教師以新的眼光審視“數(shù)學(xué)工具”的內(nèi)涵，數(shù)軸作為一項(xiàng)學(xué)習(xí)工具，用直觀而有效的方式帶給學(xué)生解決問題的方法和思路。目前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對于數(shù)軸的使用現(xiàn)狀卻是流于形式，存在誤區(qū)。如何適時(shí)、適度、適當(dāng)?shù)匕l(fā)揮數(shù)軸在教學(xué)中的價(jià)值？本文旨在厘清教育部審定（2013）人教版教材中“數(shù)軸”的使用素材梳理，結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)軸的使用進(jìn)行一次探究，傳承了數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)軸的內(nèi)涵、應(yīng)用價(jià)值與具體實(shí)踐相結(jié)合，多方面使學(xué)生來感悟數(shù)軸這一學(xué)習(xí)工具對于建立數(shù)感、拓展思維的意義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)工具; 數(shù)軸;數(shù)形結(jié)合; 數(shù)感

課堂教學(xué)改革給廣大教師提出了許多新要求，我們教師要以發(fā)展性的眼光審讀“數(shù)學(xué)工具”的價(jià)值取向。數(shù)軸是非常重要的數(shù)學(xué)工具之一，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的重要媒介。合理的使用數(shù)軸這一“數(shù)學(xué)工具”，能夠很好的滲透數(shù)形結(jié)合思想，對學(xué)生數(shù)感的建立，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展起到積極的作用。

一、“數(shù)軸”緣起——“一道習(xí)題”引發(fā)的思考

【鏡頭再現(xiàn)】

人教版一年級上冊“11～20各數(shù)的認(rèn)識”時(shí)，教材練習(xí)十七安排了這樣的一道習(xí)題：

筆者在聽課中發(fā)現(xiàn)：老師用的“填一填、對一對、讀一讀”是傳統(tǒng)教學(xué)中的“三步曲”，教學(xué)效果不佳，導(dǎo)致很多學(xué)生不會填寫。

簡單的填數(shù)練習(xí)，為什么結(jié)果會如此糟糕。筆者課后翻讀了教材內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)：這之前，教材沒有單獨(dú)介紹過“數(shù)軸”，學(xué)生很陌生，自然無從入手。

【課堂審視】在這堂課中，老師沒有用活教材，沒能讓學(xué)生學(xué)會自己去深入思考，獲得學(xué)習(xí)體驗(yàn)。課后筆者查閱了相關(guān)資料，產(chǎn)生了以下幾點(diǎn)思考：

1.教師教法過于簡單，忽視了培養(yǎng)學(xué)生探究新知的學(xué)習(xí)能力。學(xué)生對于“第一次”

接觸有“數(shù)軸”的練習(xí)題應(yīng)該是陌生而又充滿學(xué)習(xí)興趣的，而教師簡單化的教學(xué)操作，只停留在“填一填，對一對，讀一讀”的層面，忽視了學(xué)生在“數(shù)軸”這個(gè)特定的幾何圖形上認(rèn)識數(shù)的能力探究。筆者覺得應(yīng)該要適時(shí)引導(dǎo)觀察：“數(shù)軸上的幾個(gè)數(shù)是怎樣排列的？這些數(shù)排列的順序與箭頭的方向有什么關(guān)系？”。

2.習(xí)題價(jià)值挖掘不夠，失去了發(fā)展學(xué)生高階思維能力的機(jī)會。本道習(xí)題的意圖在于

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在數(shù)軸上觀察數(shù)，體會數(shù)的順序，感受到數(shù)的大小關(guān)系，而教師沒有精準(zhǔn)把握習(xí)題的意圖和挖掘出習(xí)題的真正價(jià)值，停留在一個(gè)低級水平層次的教學(xué)，使得學(xué)生失去了高階思維能力發(fā)展的機(jī)會。筆者認(rèn)為，第一次教學(xué)這樣的習(xí)題，如果精準(zhǔn)了教學(xué)目標(biāo)，挖掘了深層次的價(jià)值內(nèi)容，定會提高后續(xù)教學(xué)的驅(qū)動能量。

二、聚焦“數(shù)軸”——“一套書”的整體解讀

數(shù)軸作為一種特定的幾何圖形，是數(shù)形結(jié)合的重要載體之一。為了充分挖掘數(shù)軸這一直觀形象的教學(xué)資源，筆者對“數(shù)軸概念”和相關(guān)“數(shù)軸習(xí)題內(nèi)容”進(jìn)行了全面解讀和梳理。

1.“數(shù)軸”的概念解讀。數(shù)軸是基本的數(shù)學(xué)工具，是學(xué)生形成認(rèn)知、經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的重要媒介之一。教材中真正的數(shù)軸概念出現(xiàn)在初中一年級：“用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸”。

2.“數(shù)軸”的應(yīng)用價(jià)值。在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生或許并不清楚數(shù)軸的準(zhǔn)確含義，但數(shù)軸早已和學(xué)生的學(xué)習(xí)形影不離。第一、借助數(shù)軸，學(xué)生能直觀地感受數(shù)的排列是有規(guī)律和方向的，感受數(shù)的順序性。第二、數(shù)軸上的“數(shù)量級”又能幫助學(xué)生認(rèn)數(shù)、準(zhǔn)確地判斷數(shù)的大小。第三、將計(jì)數(shù)與數(shù)軸圖像聯(lián)系起來，學(xué)生能深入理解運(yùn)算的性質(zhì)，為以計(jì)數(shù)為基礎(chǔ)的計(jì)算策略提供心理意象，滲透一一對應(yīng)的思想。第四、數(shù)軸能體現(xiàn)間隔，并能使學(xué)生認(rèn)識并判斷位置與方向等。數(shù)軸具有形象地認(rèn)識數(shù)的完備性的作用，有效使用數(shù)軸，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，甚至是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，發(fā)展數(shù)感都有著不可估量的作用。

三、巧用“數(shù)軸”——“數(shù)感”的實(shí)踐思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：數(shù)感的主要表現(xiàn)是能用多種方法來理解并表示數(shù)的意義，能在具體的情境中，把握數(shù)的相對大小關(guān)系、表達(dá)和交流信息，能選擇適當(dāng)?shù)乃惴ń鉀Q問題，會估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果，并解釋其合理性。

教材中的每條數(shù)軸都承載著提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的作用。在教學(xué)中，教師要深入理解數(shù)軸的使用價(jià)值，將數(shù)軸這一工具有意識地向?qū)W生逐步滲透，幫助建構(gòu)認(rèn)知，發(fā)展數(shù)感。

（一）點(diǎn)數(shù)對應(yīng)，啟蒙數(shù)感

1.依托數(shù)軸，感知數(shù)的順序

數(shù)在數(shù)軸上的排列是有一定順序，有一定方向的，這是學(xué)生建立數(shù)感的邏輯起點(diǎn)。借助數(shù)軸上的數(shù)序，學(xué)生通過觀察對比，就能判斷出負(fù)數(shù)總是比正數(shù)小;真、假分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間范圍，決定了假分?jǐn)?shù)肯定比真分?jǐn)?shù)大;整數(shù)中位數(shù)多的數(shù)一定比位數(shù)少的數(shù)大等等。

比如：

在練習(xí)上面這道題時(shí)，教師并沒有急著讓學(xué)生填，而是先讓學(xué)生觀察已經(jīng)給出的數(shù)，說說它們的大小，再觀察箭頭的方向，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，越往箭頭方向，數(shù)就越大，從左往右，數(shù)是按從小到大的順序排列的。然后引導(dǎo)觀察“18”“19”兩個(gè)數(shù)，明確單位長度表示“1”。在這樣的理解下，學(xué)生填錯(cuò)的概率就很小了。反饋時(shí)，讓學(xué)生自由表述解題的思考過程，理清思路，活躍思維。

生1：我知道10和12中間是11，所以第一個(gè)方框填11。

生2：我知道越往箭頭方向越大，所以12后面肯定比它大，但是又比14小，所以只能填13。

生3：我知道17比18小1，所以它肯定填在18前面一格;19后面肯定是20，因?yàn)?9加1是20。

......

2.借助數(shù)軸，理解運(yùn)算性質(zhì)

所有的實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，利用這一性質(zhì)可以幫助學(xué)生探究運(yùn)算的算理，理解運(yùn)算的性質(zhì)，體會各種運(yùn)算之間的聯(lián)系與區(qū)別。

比如，除法可以看作是連續(xù)減去相同數(shù)的減法，就是在數(shù)軸上找到“被除數(shù)”，然后依次向左減若干個(gè)相同單位長度的數(shù)。如果減到最后恰好是0，就說明能整除，減的次數(shù)就是“商”，反之則是有“余數(shù)”，剩余幾余數(shù)就是幾。如下圖：

算式 12÷2=6 算式 13÷2=6......1

點(diǎn)數(shù)對應(yīng)，用圖形化的方式表征運(yùn)算的性質(zhì)，不僅溝通了減法與除法的關(guān)系，更呈現(xiàn)了商及余數(shù)的來源，數(shù)軸的使用讓抽象的計(jì)算變得有“形”可依，為學(xué)生多樣化的計(jì)算策略提供了直觀參照。

（二）借軸操作，發(fā)展數(shù)感

1.鄰近原則，估算的意義一目了然

語文有預(yù)測，數(shù)學(xué)有估算，如出一轍，都是探索未知領(lǐng)域的法寶。“學(xué)生不僅要掌握估算的策略和方法，更要理解估算的意義，經(jīng)歷估算的過程，提升估算的意識。”數(shù)軸上的單位長度是確定的，借助這一特征，讓學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)出近似于某數(shù)的位置，是“四舍”還是“五入”就能直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，“近似數(shù)”的概念就一目了然了。

如人教版四年級上冊學(xué)習(xí)“近似數(shù)”時(shí)，課本上例7求地球和太陽直徑的近似數(shù)，我們就可以借助數(shù)軸來幫助學(xué)生理解。讓學(xué)生先找到12756在數(shù)軸上的大致位置，然后通過觀察發(fā)現(xiàn)其更接近于10000，所以得到12756≈10000，而1389000則更接近于1390000，實(shí)質(zhì)上是萬位上的9通過“五入”得到的。通過直觀的呈現(xiàn)，學(xué)生自然就理解了“四舍五入”的方法，也就能運(yùn)用自如了。

2. 對稱原則，負(fù)數(shù)的概念順理成章

負(fù)數(shù)概念的出現(xiàn)，是學(xué)生認(rèn)識“數(shù)”的一次飛躍，自此學(xué)生的認(rèn)數(shù)范圍拓展到了有理數(shù)。雖然學(xué)生在日常生活中已經(jīng)不經(jīng)意間接觸過負(fù)數(shù)，比如零下的溫度，電梯顯示的地下二層等，但這只是停留在生活經(jīng)驗(yàn)的感性認(rèn)識，缺乏數(shù)學(xué)意義的理解。教學(xué)中，教師若能借助數(shù)軸引出負(fù)數(shù)的概念，那么學(xué)生的認(rèn)識便會順理成章。

教學(xué)片斷：

師：你能在溫度計(jì)上找出零上5度和零下5度嗎？

生：0往上5格是零上5度，0往下5格是零下5度。

師：“0”的作用是什么？

生：“0”是分界點(diǎn)。

師：如果把溫度計(jì)橫過來變成一條數(shù)軸，你還能找到零上5度和零下5度嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我會先找到刻度“0”，往左數(shù)五格是零下五度，往右數(shù)五格是零上五度。

生：它們剛好相反。

師：對了，兩個(gè)看似相同的數(shù)字，前面加了不同的符號，意義就完全相反，數(shù)字前面加“+”（正號）表示正數(shù)，數(shù)字前面加“-”（負(fù)號）表示負(fù)數(shù)。

數(shù)軸不僅為學(xué)生理解概念提供了感性支撐，更讓學(xué)生體驗(yàn)了“建模”的過程，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。借助數(shù)軸認(rèn)識相反意義的量，對正負(fù)數(shù)概念的學(xué)習(xí)更直觀，印象更深刻。

（三）梳理體系，滲透數(shù)感

1.層層遞進(jìn)，梳理知識

低年級的學(xué)生對于新知的學(xué)習(xí)往往是零碎、片面的，利用數(shù)軸可以把零碎的知識串聯(lián)起來，使之系統(tǒng)化。比如《20以內(nèi)數(shù)的復(fù)習(xí)》就可以分步進(jìn)行、依次推進(jìn)。

一條看似簡單卻內(nèi)涵豐富的“數(shù)軸”把20以內(nèi)的數(shù)的知識都串聯(lián)起來，打破了“分裂”的復(fù)習(xí)模型，層層遞進(jìn)，面面俱到。

2.串線成網(wǎng)，形成體系

數(shù)的概念出現(xiàn)于小學(xué)各個(gè)學(xué)段，知識點(diǎn)分散，學(xué)生很難自主理清其中關(guān)系。筆者認(rèn)為教學(xué)中可以利用數(shù)軸，穿針引線，系統(tǒng)梳理，形成整體。

把數(shù)軸作為切入點(diǎn)，展開數(shù)的總復(fù)習(xí)，把小學(xué)階段關(guān)于整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的知識都“搬遷”至數(shù)軸上，不僅使原本分散的知識點(diǎn)得以梳理，也能在轉(zhuǎn)化中感悟有些數(shù)雖然單位不一樣，但它們表示的是同一個(gè)大小的數(shù)，由此發(fā)現(xiàn)這些數(shù)之間的關(guān)系。這樣由知識“軸”構(gòu)成的知識“網(wǎng)”，架起了學(xué)生認(rèn)知的結(jié)構(gòu)，形成了學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)，滲透了整體的數(shù)概念。

（四）遷移內(nèi)化，體悟數(shù)感

1.縱橫交錯(cuò)，感受對應(yīng)

兩條相互垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸就能組成一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，而用一對有順序的“數(shù)”唯一地確定平面上的一個(gè)“點(diǎn)”，就能幫助學(xué)生在二維空間里確定物體的位置。

比如，五年級上學(xué)期學(xué)習(xí)《用數(shù)對確定位置》，讓學(xué)生根據(jù)陽光小區(qū)的平面圖用數(shù)對表示超市、書店，并依據(jù)數(shù)對在圖中標(biāo)出學(xué)校、診所的位置：

利用數(shù)對到數(shù)軸的巧妙遷移，學(xué)生就能快速通過兩個(gè)數(shù)據(jù)來確定物體所處的位置。

通過形來研究數(shù)的特點(diǎn)，通過數(shù)來呈現(xiàn)物體的位置，縱橫相交的兩條數(shù)軸，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念，更讓學(xué)生感悟到了一一對應(yīng)的思想。

2.聚焦放大，體驗(yàn)無窮

在以往的教學(xué)中，“無限”的思想非常抽象，學(xué)生不易理解，數(shù)軸卻能攻克這一難題。比如，在五年級學(xué)習(xí)了《分?jǐn)?shù)的通分》后，教師可以設(shè)計(jì)“找一找”的游戲，激發(fā)學(xué)生在數(shù)軸上找到符合要求的數(shù)。

師：找出一個(gè)比2/3小但比1/4大的數(shù)。

生（思考片刻后）：2/4，1/3。

師：你們能在數(shù)軸上表示出來嗎？

師：除了這兩個(gè)數(shù)，還有其它數(shù)嗎？

學(xué)生陷入了沉思，數(shù)軸上2/4，1/3的兩邊還有空隙，就“一定還有”，大家紛紛表示要把空隙的部分再“放大”，于是紛紛動起筆來：

層層逼近的問題讓學(xué)生對數(shù)軸的使用產(chǎn)生了強(qiáng)烈的渴望。隨著數(shù)軸的層層放大，學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的分?jǐn)?shù)有無數(shù)個(gè)。這個(gè)找分?jǐn)?shù)的過程極大地豐富了學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，深刻地感受了“無限”的思想，在頭腦中初步建立起無窮這一宏觀的數(shù)系結(jié)構(gòu)。

教師要學(xué)會充分挖掘數(shù)學(xué)教材中的教學(xué)資源，精準(zhǔn)把握教學(xué)目標(biāo)，優(yōu)化教學(xué)手段，巧借“數(shù)軸”這一學(xué)習(xí)工具，努力提升學(xué)生“數(shù)感”，培養(yǎng)探究新知的學(xué)習(xí)能力，為學(xué)生高階思維的發(fā)展提供可能。然而數(shù)軸只是眾多教學(xué)工具中的一種，也并非是建立數(shù)感、拓展思維的唯一途徑。我們應(yīng)該以新的眼光審視“數(shù)學(xué)工具”的內(nèi)涵，讓它們更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)課堂。

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浙江省杭州市淳安縣臨岐鎮(zhèn)中心小學(xué)卸嶺完小 方海燕