高等數學課程中的案例教學探討

摘要：案例教學是以問題為導向激發學生的教學模式，需要把案例教學引入到高等數學教學中。

關鍵詞：高等數學;案例教學

高等數學作為理工經管類等學科的一門基礎課，不僅是學習后續課程的基礎工具，還是培養大學生理性思維的重要載體，在培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力和空間想象力以及分析和解決問題能力等方面上，具有其它任何課程難以替代的優勢。

最近幾年隨著MOOC課程和微課快速發展，教學方法和教學內容思想、方法、手段變化較快，我們學校也緊跟時代潮流，也在緊張地進行著變革，但數學教學內容變化不大，教學方法還是主要以課堂傳授理論知識為主。這與當前總體教育形勢還不匹配，與大多數學生的實際需求也不匹配。通過調查發現：學生還是普遍反映高等數學很難學，很枯燥，與現實生活脫節嚴重，不知道學高數有何用途。在類似的背景條件下，各高校都在積極應對，進行著有針對性的教學研究和改革。

聯合國科教文組織曾進行過一次廣泛的調研，對課堂講授、案例教學、視頻教學、角色模擬、研討會、自學等多種形式的教學方法進行效果對比發現：在學生分析問題和解決問題能力提高及觀念培養上，案例教學的效果最好; 在傳授知識和學生所得知識的留存度上，案例教學次好[1]。因此我們嘗試在高等數學教學中引入案例教學。由于案例教學需要比課堂講授多得多的時間，但是我們學校的高等數學課時少，平時都比較緊張地趕進度，怎樣為案例教學爭取時間呢。經討論決定以降低理論難度，強化具體應用的教學觀念為指導思想，針對我校學生的實際需要，刪減高等數學教學中一些定理證明、公式推導過程為案例教學提供課堂時間保證，同時增加高等數學教學中一些重要概念的產生背景介紹和一些基本方法的應用實例講解，體現案例教學過程。大家搜集與高等數學課程內容相呼應的教學案例，并將這些案例形成傳播數學思想與方法的普及性文章。再把這些案例設計好應用到課堂上去。

高等數學教學必須有利于提高學生應用數學的能力，培養學生的創新意識、創造精神和能力已經成為一種共識。國內處在改革先進行列的院校有同濟大學、北京航天航空大學等211院校，他們的《高等數學》已經被評為國家級精品課程。其中以“弱化理論、強調應用”為導向來教育和學習大學數學也是改革方向之一，將高等數學教學中引入案例教學已經被驗證是行之有效的方法。復旦大學、北京理工大學、天津大學等院校已經有比較成功的經驗。高等學校大學數學教學研究與發展中心正在資助多所高校進行案例教學研究項目。

按照高等數學課程的教學過程，將可以將數學案例分為概念導入、理論闡述和實際應用三種類型[2]。接下來，我們隊函數在一點處的導數的概念引入中實施案例教學進行詳細講解。

案例1怎樣描述變速直線運動s=s（t）在某一時刻的瞬時速度？

學生看到問題首先會疑惑：什么是瞬時速度？因此這是應該將速度概念進行擴展。學生以前接觸過的速度實質上是從起始時刻到終止時刻這一時間段內的平均速度。瞬時速度標明時間段任意小，實際就是終止時刻無限接近于起始時刻。因此瞬時速度是平均速度的在終止時刻趨于起始時刻時平均速度的極限。因為在時間段（終止時刻與起始時刻之差即時間變化量）內走過的位移是終止時刻的位移函數值與起始時刻位移函數值之差（也就是位移變化量），因此平均速度是位移的變化量與時間的變化量的比值。考慮到當終止時刻趨于起始時刻時，時間的變化量趨于零，因此瞬時速度可以表達為時間的變化量趨于零時位移函數是s（t）的變化量與自變量t的變化量之比的極限。

案例2怎樣描述曲線y=f（x）在曲線上一點P處的切線的斜率？

學生首先會對切線概念有些模糊，從而無從下手。這時要告訴學生切線是割線PQ（Q是曲線上不同于P的動點）當Q無限接近于P的極限位置。從而可以將切線問題轉化為割線求極限的問題：當Q趨于P時，切線的斜率等于當Q趨于P時割線PQ的斜率。PQ的斜率等于這兩點在直角坐標系下的縱坐標之差與橫坐標之差的比值。而點Q的縱坐標減去點P的縱坐標正好是因變量y的變化量，點Q的橫坐標減去點P的橫坐標正好是自變量x的變化量，因此PQ的斜率等于因變量y的變化量與自變量x的變化量的比值。考慮到當Q趨于P時，自變量x的變化量趨于零，因此切線的斜率等于當自變量的變化量趨于零時因變量y的變化量與自變量x的變化量之比的極限。

以上兩個問題的共同之處首先要將以前熟悉的速度和割線概念分別擴展到瞬時速度和切線，而最后的表達式共性是它們都是變化量之比的極限。再引入導數的定義就自然而然了。

而且，上面兩個案例正好分別是微積分的兩位創始人牛頓和萊布尼茲創立微積分的角度，牛頓基于物理問題，而萊布尼茲基于幾何問題。類似的還有定積分概念的引入中也可以基于物理問題和幾何問題。牛頓和萊布尼茲分別獨立創立了微積分，有異曲同工之妙。

以上只是高等數學中導數概念引入中的案例，還有更多概念引入、理論闡述和實際應用方面的案例需要我們挖掘和設計到高等數學教學中。

總之，通過高等數學教學中引入案例教學的教學模式，可以使學生了解利用數學理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高他們分析問題和解決問題的能力;提高他們學習數學的興趣和應用數學的意識與能力，也能讓學生具備在以后的工作中能經常性地想到用數學去解決問題的能力。為了這些共同的目標，我們要共同努力！

參考文獻：

[1]孫軍業.案例教學[M].天津：天津教育出版，2013，3.

[2]董慶華. 紡織服裝教育[J].高等數學課程的案例教學實踐，2013，2：73-76.

北京服裝學院教學改革立項項目JG1820。

作者簡介：戴桂冬（1978-），女，副教授。