淺談條件極值與拉格朗日乘子法

劉書新

摘 要：拉格朗日乘子法是求解條件極值問題常用的方法，但是乘子的含義并不容易理解。本文利用變分分析的知識結合廣義費馬定理推導條件極值的必要條件，對拉格朗日乘子法給出解釋，同時給出了通用教材中兩個常見的應用實例。

關鍵詞：條件極值;拉格朗日乘子法;費馬原理

中圖分類號：O17-4;G642 文獻標識碼：A 文章編號：2095-9052（2020）03-0182-02

求帶有約束條件的最值問題即條件極值是在實際應用中經常碰到的一類問題，比如它在經濟學、機械加工、金融工程等中就有廣泛應用。條件極值更是高等數學和數學分析中的一類重要問題。求解的常用方法和最有效的工具就是拉格朗日乘子法。

1 條件極值必要條件的變分分析證明

考慮下面的條件極值問題：

（1）

其中.在高等數學[1]與數學分析[2]的教學中常用的求解方法是構造拉格朗日函數

問題（1） 的解滿足它的駐點方程

再根據問題的實際意義可以確定駐點是否是最小值點，這里符號表示函數的梯度。

我們先用隱函數定理來討論問題（1）解的必要條件。簡單起見，令和， 假設是問題（1）的最小值點。和在點的某鄰域內是連續可微的二元函數，且.由隱函數定理，在點附近可以唯一確定一個連續可微的顯函數，將代入，可得.注意到

結合，可知

，

記，可得極小值點滿足下面的方程

上式的第一個式子是函數關于變量的梯度，所以引入輔助函數，利用它的駐點方程來求解問題（1）。從上面的討論我們可以得到乘子含義的一些理解，但是并沒有很明確的幾何意義。……