活躍在中學(xué)數(shù)學(xué)中的思想方法例談

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，熟練掌握數(shù)學(xué)中的思想方法，能夠有助于學(xué)生快速解題，使得問題變得簡單化、直觀化.

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);思想方法;數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0041-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：李成輝（1974.9-），男，安徽省靈璧人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)與方程的觀點(diǎn)，處理變量與未知數(shù)之間的關(guān)系;數(shù)形結(jié)合思想即是將數(shù)和形構(gòu)建相互聯(lián)系的體系，進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，求解問題.要想熟練、快速地解答此類問題，需要熟悉數(shù)學(xué)解題的三種語言，即文字語言、符號語言和圖形語言.

求解數(shù)學(xué)問題中，離不開轉(zhuǎn)化與化歸，有時(shí)也需要對問題分類討論才能得到需要的結(jié)論.要想對問題熟練、準(zhǔn)確地求解，需要細(xì)讀題目，弄清題意，弄清題目中設(shè)計(jì)的相關(guān)數(shù)學(xué)概念、公式及其相互間的聯(lián)系，才能明白如何轉(zhuǎn)化、如何討論.

一、函數(shù)與方程思想

例1 在等差數(shù)列{an}中，已知a1=13，3a2=11a6，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為.

解析 方法一（函數(shù)法）：由3a2=11a6，得3×（13+d）=11×（13+5d），解得d=-2，

所以an=13+（n-1）×（-2）=-2n+15.

所以Sn=n（13+15-2n）2=-n2+14n=-（n-7）2+49，

所以當(dāng)n=7時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大，最大值為S7=49.

方法二（通項(xiàng)法）：由解法一可得an=-2n+15.

由an≥0，an+1≤0，得-2n+15≥0，-2（n+1）+15≤0

解得6.5≤n≤7.5.

因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n=7時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大，最大值為

S7=7×（13-2×7+15）2=49.

點(diǎn)評 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題.常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，解決問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性來研究最值問題.

二、數(shù)形結(jié)合思想

例2 已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)，且在區(qū)間[a，b]（a<b<0）上的值域?yàn)閇-3，4]，則在區(qū)間[-b，-a]上（? ）.

圖1

A.有最大值4

B.有最小值-4

C.有最大值-3D.有最小值-3

解析? 方法一：根據(jù)題意作出y=f（x）的簡圖，由圖知，選B.

方法二：當(dāng)x∈[-b，-a]時(shí)，-x∈[a，b]，

由題意得f（b）≤f（-x）≤f（a），即-3≤-f（x）≤4，

∴-4≤f（x）≤3，即在區(qū)間[-b，-a]上，f（x）min=-4，f（x）max=3.

故選B.

點(diǎn)評 函數(shù)最值問題是高考試題中常見的一類考題，此類考題的求解方法常結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行解決，利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題，有助于使問題更加直觀化.

三、分類討論思想

例3 已知函數(shù)f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x.

（1）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求函數(shù)h（x）=（f（x）+1）·g（x）的值域;

（2）如果對任意的x∈[1，4]，不等式f（x2）·f（x）>k·g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解析 （1）h（x）=（4-2log2x）·log2x=-2（log2x-1）2+2.

因?yàn)閤∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函數(shù)h（x）的值域?yàn)閇0，2].

（2）由f（x2）·f（x）>k·g（x），得

（3-4log2x）（3-log2x）>k·log2x，

令t=log2x，因?yàn)閤∈[1，4]，

所以t=log2x∈[0，2]，

所以（3-4t）（3-t）>k·t對一切t∈[0，2]恒成立，

①當(dāng)t=0時(shí)，k∈R;

②當(dāng)t∈（0，2]時(shí)，k<（3-4t）（3-t）t恒成立，即k<4t+9t-15，因?yàn)?t+

9t≥12，當(dāng)且僅當(dāng)4t=9t，即t=32時(shí)取等號，所以4t+9t-15的最小值為-3，從而k<-3.

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-3）.

點(diǎn)評 分類討論思想的運(yùn)用，在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)是十分明顯的，我們要清楚產(chǎn)生分類討論的具體緣由，這樣才能在分類討論時(shí)做到不重復(fù)也不遺漏.

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

例4? （2019·江西南昌二模）如圖2，有一塊半徑為20米，圓心角∠AOB=2π3的扇形展示臺，該展示臺被分成了四個(gè)區(qū)域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD（其中∠AOC=∠BOD）.某次菊花展分別在這四個(gè)區(qū)域擺放：泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜，預(yù)計(jì)這三種菊花展示帶來的日效益分別是： 50元/m2，30元/m2，40元/m2.為使預(yù)計(jì)日總效益最大，∠COD的余弦值應(yīng)等于.

圖2

解析 設(shè)∠AOC=∠BOD=α，則∠COD=2π3-2α，且易知0<α<π3.

結(jié)合圖形及題意可知，日總效益f（α）=12×

202sin（2π3-2α）×50+2×12×202α×40+30[12×202（2π3-2α）-12×202sin（2π3-2α）]=4000sin（2π3-2α）+4000α+400π.

求導(dǎo)得f ′（α）=4000-8000cos（2π3-2α），所以令f ′（α）>0，結(jié)合0<α<π3，可解得0<α<π6;令f ′（α）<0，結(jié)合0<α<π3，可解得π6<α<π3.

于是，函數(shù)f（α）在（0，π6）上單調(diào)遞增，在（π6，π3）上單調(diào)遞減.

從而，當(dāng)α=π6時(shí)，f（α）取得最大值.

故所求∠COD的余弦值等于cos（2π3-2×π6）=12.

點(diǎn)評 本題需要先結(jié)合圖形引入輔助角，以便根據(jù)題意建立日總效益的函數(shù)關(guān)系式，然后通過求導(dǎo)分析并運(yùn)用其單調(diào)性，即可順利求解目標(biāo)問題.

分類討論問題主要涉及：由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論;由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論;由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論;由圖形的不確定性引起的分類討論;由參數(shù)的變化引起的分類討論.

轉(zhuǎn)化與化歸問題主要有：直接轉(zhuǎn)化法;換元法;數(shù)形結(jié)合法;等價(jià)轉(zhuǎn)化法.

高考題中考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的題目較多，選擇題、填空題和解答題中都有.

函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用十分廣泛，如：函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化;數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和;解析幾何問題;立體幾何中與線段、角、面積、體積的計(jì)算問題.

數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有：構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求解相關(guān)問題;構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題;構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題;構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù);研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì);等等.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳國林，寇桂宴.例說巧用數(shù)學(xué)思想解決圓錐曲線綜合問題[J].數(shù)理化解題研究，2016（31）：8-9.

[2]陳國林.例說數(shù)學(xué)思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二高三版），2016（10）：12-13.

[責(zé)任編輯：李 璟]