三角平幾齊飛舞 解幾代數顯神通

摘 要：解三角形中一類條件不全，條件分散的問題學生一般束手無策，無從下手.經研究實踐發現，可用向量來解;可用平面幾何，作輔助線把分散的條件集中從而解決;也可以用解析幾何建系通過計算解決;還可以保留“殘缺”形式，用方程組解決.

關鍵詞：解三角形;平面幾何;解析幾何;正余弦定理

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0009-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：柳朝輝（1974.3-），女，湖南省岳陽人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

一、典型題目

例1 在△ABC中，已知AB=463 ，

cosB=66，AC上的中線BD=5求sinA的值.

例2 在△ABC中，D是邊BC上的一點，

AD=2， BD=2DC，tan∠BAD=12，

tan∠CAD=13，求AB的長.

二、試題分析

這兩道題目都不是常規的解三角形問題，也許題目有三個甚至是四個條件，但是對于每一個三角形而言，又都沒有三個條件，所以每一個三角形都不是“可解三角形”.但方法選擇適當，則可以求解，也許還大大減少計算量，反之，一籌莫展.

三、解法探究

例1 分析1 用BA，BC表示BD.

方法一

∵BD=12BA+BC，

∴BD2=14BA2+BC2+2BABCcos∠ABC，

即5=14323+BC2+83BC，

∴BC=2（BC=-143舍去）.

在△ABC中，BC=2，AB=463，cosB=66.

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB，

∴BC=2213.

在△ABC中，ACsin∠ABC=BCsin∠CAB，

∴sinA=7014.

分析二 因為有中線，所以聯想到作輔助線中位線.

方法二 如圖3，作DE∥AB，則點E是BC的中點.在△BDE中，BD=5，DE=263，cos∠BED=-66，

∴BD2=BE2+DE2-2BE·DE·cos∠BED，

∴BE=1或BE=-73（舍）.

∴BC=2.（ 以下同法一）

分析三 用倍長中線法把分散的條件集中起來.

方法三 如圖4，延長BD至E，使得DE=BD，連接CE，AE，則四邊形ABCE為平行四邊形.

在△ABE中，AB=463，BE=25，cos∠BAE=-66，

∴AE=2=BC.（以下同法一）

分析四 用分割的方法，求出圖形中的各邊.

方法四 如圖5，延長BD至P，使DP=BD，連接AP，CP得平行四邊形ABCP.過點A作AH⊥BC，過P點作PN⊥BC.

則AH=PN=AB·sinB=453，BH=43.

在直角三角形BNP中，BP2=BN2+NP2，

∴20=BN2+809，∴BN=103.

∴BC=103-CN=103-BH=2.（以下同法一）

分析五 用分割的方法.

方法五 如圖5，作AH⊥BC，DQ⊥BC.

在△ABH中，AB=463， cosB=66，

∴AH=453，

BH=43，

∴DQ=253.

在△BDQ中，BD2=BQ2+QD2，

∴BQ=53，∴HQ=13，∴QC=13，

∴BC=2.（以下同法一）

分析六 建系求解.

方法六 如圖7建系，

則A463cosB，463sinB，即A43，453.

令Cx，0，則中點D23+12x，253.

又∵BD=5，∴x=2.（以下同法一）

例2

分析一 利用平面幾何構造“X”型相似，把分散的條件集中起來.

方法一 ∵tan∠BAD=12，tan∠CAD=13，

∴tan∠BAC=12+131-12×13=1，∴∠BAC=π4.

過點C作CE∥AB與AD的延長線交于點E，則△ABD∽△ECD且相似比為2.在△AEC中，由正弦定理可知

3sin3π4=EC110，

∴EC=355，

∴AB=655.

分析二 利用平面幾何作輔助線，構造“A”型相似.

方法二 過D點作DF∥AC與AB交于F點，

所以△ABC∽△BDF，且相似比為32.

在△ADF中，sin∠FAD=15，AD=2，sin∠ADF=110.

由正弦定理可知

2sin3π4=AF110，∴AF=255，∴AB=655.

分析三 運用“方程組思想”.

方法三 在△ABD中，由正弦定理可知：

ABsin∠BDA=BDsin∠BAD，即ABsin∠BDA=5BD ①.

在△ADC中，由正弦定理可知：

ACsin∠CDA=CDsin∠CAD，

即ACsin∠CDA=10CD ②.

又因為BD=2DC，①÷②得AB=2AC.

由法一知∠BAC=π4，則△ABC是等腰直角三角形.如圖10，在Rt△ACD中，由勾股定理有b2+（b3）2=22，得b=325，從而AB=2b=655.

分析四 當得到AB=2AC，也可以用分割

法求解.

方法四 由法三可知，AB=2AC，過D點作DF∥AC與AB交于F點，所以△ABC∽△BDF，且相似比為32.

令AC=b，則AB=2b，DF=23b，AF=2b3，cos∠BAD=255.在△ADF中由余弦定理可解得b=3105，∴AB=655.

分析五 運用“方程組思想”.

方法五 在△ABC和△ACD中，由正弦定理可知：

ABsin∠ACB=BCsin∠BAC ①，ADsin∠ACB=CDsin∠CAD ②.

①÷②得AB=655.

四、總結提升

總之，八仙過海，各顯神通，一切知識可以“拿來主義”為我所用，數學知識到了頂層就可以說界線模糊.波得亞說過：中學數學教學的首要任務是加強解題訓練，但是數學老師如何才能讓數學教學不掉入“題海”之中，關鍵在于對問題的全面深入研究，教給學生解決問題的本質，思路的來源，讓一切奇思妙想有跡可循，順理成章.讓思考成為學生的技能，讓學生熟練運用自主思考.這樣學生才可以舉一反三，觸類旁通，達到“做一個，會一片，懂一類”，這樣才能保證教學的有效性.

參考文獻：

[1]李寧.方程思想在解三角形求值問題中的應用[J].數理化解題研究，2019（22）：6-7.

[責任編輯：李 璟]