橢圓、雙曲線離心率的求解方法

李偉?蔣金鳳

摘要：圓錐曲線的離心率是解析幾何的重要知識(shí)點(diǎn)同時(shí)也是高考考察的重點(diǎn)內(nèi)容。有很多學(xué)生覺得很難駕馭，其實(shí)我們?cè)谧鲱}的過程中只要掌握方法和規(guī)律，就沒有問題了。在研究幾何問題時(shí)無非就是“數(shù)”，不行就研究“形”，再不行就數(shù)形結(jié)合同時(shí)加上化歸轉(zhuǎn)化。本文主要從數(shù)和形兩方面入手，分別用“定義法”、“方程法”（包括直接列示和構(gòu)造法）、“平面幾何法”（尋找相等關(guān)系和不等關(guān)系）闡述了離心率的求法。并且配備了相應(yīng)的聯(lián)系，有助于學(xué)生實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：橢圓;雙曲線;離心率

離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要的幾何性質(zhì)，它反映了圓錐曲線的形狀。橢圓的離心率反映的是其圓扁程度，雙曲線的離心率反映的是其開口的大小.由于拋物線的離心率是1，所以我們不對(duì)其進(jìn)行研究.由于在求解離心率時(shí)題型較為靈活，所以很多同學(xué)不是很容易上手.下面我就求離心率問題談?wù)勂浣夥ǎＭ麑?duì)同學(xué)們能有所幫助！

一、利用平面幾何知識(shí)簡化計(jì)算

例已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，求這個(gè)橢圓的離心率.

分析：本題已知橢圓的兩焦點(diǎn)和橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，那么應(yīng)該用到橢圓的定義.又因?yàn)槌霈F(xiàn)了一個(gè)正三角形所以我們應(yīng)該畫個(gè)圖來直觀感知一下.通過畫圖我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：F1F2的長度即為2c而它是正三角形△ABF2的高線 ，那么該三角形的邊長可以用c表示，再由橢圓的定義就可得a和c的關(guān)系式，得解.

解法一：畫草圖如下圖所示：

因?yàn)镕1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)

所以，│F1F2│= 2c

又過F1且與橢圓長軸垂直的直線

交橢圓于A、B兩點(diǎn)且△ABF2是正三角形

所以，線段F1F2是正三角形的高線，由平面幾何知識(shí)可得：

│AF2│=? ?， │AF1│=? ?由橢圓的定義得：

│AF1│+│AF2│= 2a

所以， + = 2a? ? ? 所以e =? =

解法二：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0）

因?yàn)镕1為橢圓的左焦點(diǎn)，且直線AB過F1與x軸垂直

所以，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-c

將-c代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解理得：

所以，│AF1│=? ? 因?yàn)椤鰽BF2是正三角形

所以∠F1AF2=60°

在RT△AF1F2中：tan 60°===? ，因?yàn)閎2= a2 -c2

整理得： -+2ac = 0? 兩邊同時(shí)除以a2

得：e2 + 2e -= = 0  解得： e= （舍負(fù)） .

解法三：由解法一知： │AF1│=

由解法二知： │AF1│=

所以 ，? ?， 剩余的計(jì)算同解法二.

解法四： 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0）

由解法一知： A（-c， 因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上

所以，將其代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得：+=1 ③

將b2= a2 -c2代入③整理得：3c4+3a4-10a2c2 = 0? 兩邊同時(shí)除以a4 得：3e4-10e2+3=0? 解得：e2=1（舍）或

所以，e= （舍負(fù)） .

小結(jié)：本題解法一體現(xiàn)了正三角形邊角關(guān)系的優(yōu)越性，結(jié)合橢圓的定義很輕松地得到了a 和c的關(guān)系，簡化了計(jì)算，這也是用定義的優(yōu)越性.解法二用了解方程求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，然后再利用正三角形列出等式關(guān)系，再進(jìn)行計(jì)算的方法. 解法三：分別用代數(shù)和幾何法求出AF1的長度列出等式得方程.解法四利用正三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在橢圓上代入的方程，但是運(yùn)算量較大.以上四種方法對(duì)比我們發(fā)現(xiàn)如果能較好地利用曲線的定義和平面幾何的相關(guān)知識(shí)，能避免大量的運(yùn)算，提高準(zhǔn)確率和解題速度.

作者單位：1.通州區(qū)永樂店中學(xué)?2.通州區(qū)永樂店中學(xué)