報童問題的應用與延伸

摘要：在企業里，總要生產或采購一定量的產品儲存起來，以此解決供應（或生產）與需求（或消費）之間的不協調問題。而報童模型就是典型的隨機需求模型，旨在尋找產品的最優訂貨量，使期望收益最大化或期望損失最小化。本文由淺入深地分析了報童模型在實際問題中的應用，并對其前景提出了展望。

關鍵詞：報童模型;期望收益;概率分布;最優訂貨量

一、 引言

人們在生產活動或日常生活中往往把所需要的物資、食物或用品暫時儲存起來，以備將來的使用或消費。同樣，在企業里，也總是要生產或采購一定量的產品儲存起來。這種儲存物品的現象是為了解決供應（或生產）與需求（或消費）之間的不協調的一種手段。

不論是供應或是需求，都有兩個基本問題要考慮：一個是量，即一次供應或需求是多少;另一個是期，也就是時機，即需要什么時候供應或采購。由于一個企業，一個生產單位往往要使用成千上萬種不同的物資，并且這些物資的供應（需求）的量和時期往往不是均勻的，而具有隨機性，這就使問題復雜化，需要人們去研究如何利用數學工具，將一個實際問題歸結為一個數學模型，然后再求出最佳的量和時期的數值。

隨著中西方文化交流的日益加深和中國的對外開放程度越來越高，圣誕節在中國日漸盛行。為了烘托節日的氛圍，很多家庭都會購買各式各樣的小禮物和圣誕樹來進行裝飾。因此，在圣誕節期間銷售圣誕樹這對很多商家來說是一個很大的商機。但是，圣誕樹體積相對較大，在庫存問題上會占據倉庫的很大空間，不利于其他商品的儲存。而且圣誕樹的可銷售時間很短，僅為圣誕節的幾天，所以圣誕樹一旦銷售不出去，就很容易造成貨物積壓。對于商家而言，如果圣誕樹的訂貨量過大，在節日期間銷售不出去，無論是將剩余的圣誕樹儲存起來還是以低于進購價的退回價退還產家，這都是一個很棘手的問題。但若圣誕樹的訂貨量不足，會因供貨不足而造成錯失利潤。因此制定準確的訂貨策略是銷售圣誕樹的重點。

二、 預備知識

（一）報童問題

1、報童問題的產生

一個報童從報刊發行處訂報后零售，每賣出一份報紙可獲利a元，若訂報后賣不出去，則退回發行處，每份報紙將要賠錢b元。如果這個報童報紙訂購量比當天報紙需求量多，那么他當天的盈利就會因退回報紙而支付的費用而減少;同樣的，如果報童報紙訂購量比當天報紙需求量少，那么他就無法獲得因訂購量不足而所應該獲得的盈利。那么報童如何根據以往的賣報情況（每天賣出k份的概率P）來推算出每天收益達到最大的訂報量n。這就是經典的報童模型。

對于報童，為了使他的收益最大，他需要考慮今天他應該準備多少報紙為宜，對于報社，它也應考慮每期報紙的印數問題。在科學的管理方法和手段在管理實踐中運用越來越多的今天，管理者同樣需要考慮，怎樣改進粗放的管理模式，才能提高企業的管理水平，從而提高企業的效益。在管理實踐中，我們會發現，與報童問題類似的問題非常多，商業企業管理者常遇到的一個問題是商品的訂貨量問題。特別是諸如季節性商品的訂貨量問題，訂貨量太少，就會蒙受因銷售不出去而遭受的損失。訂貨量太少，原本可以賺到的利潤沒有賺到，從某種意義上，這也是一種損失。怎樣確定合理的訂貨量，確實是一個頭痛的問題。我們應該看到，這個問題其實就是一個報童問題。我們完全可以使用報童問題的研究方法去解決它。

這樣我們就可以將報童問題的研究方法運用到實踐中，通過科學的調查、計算，把過去經驗的管理方法，上升到科學的管理方法。

2 、報童問題的數學模型

設某報童每日的潛在賣報數服從參數為λ的泊松分布.如果每賣出一份報可得報酬a，賣不掉而退回則每份賠償b。若某日該報童批進n份報，試求其期望所得。進一步，還要求最佳的批進份數n。

解? 若記其真正賣報數為ξ，則ξ與關系如下：

這里的ξ服從截尾泊松分布，即

記所得為η，則η與ξ的關系如下：

因此，期望所得為

這個問題的最終解決是當a， b， λ給定后，求n使M（n）達到極大，這是一個典型的最優化問題，也是報童問題的正確解。

（二）數學期望

1、離散型場合

設ξ為一離散型隨機變量，它取值對應的概率為如果級數絕對收斂，則把它稱為數學期望，簡稱期望、期望值或均值，記作。

2、連續性場合

設為具有密度函數p（x）的連續型隨機變量，當積分絕對收斂時，我們稱它為的數學期望，記作，即=

三、 案例分析

（一）某商家在圣誕節期間銷售圣誕樹的零售價為a元，購進價為b元，退回價為c元。而一個經營周期的銷售量r是一個離散型的隨機變量，其分布列為，試確定商家的最佳訂貨量。

解 設商家每次在圣誕節時訂購n棵圣誕樹，其獲得利潤的期望為E（n），若他多訂購一棵圣誕樹，則這棵圣誕樹能夠賣出去的概率為，賣不出去的概率為，而商家一個圣誕節期間獲利的利潤函數為

所以

E（n）=Ef（r，n）=

設圣誕樹的訂貨量為n時，期望收益E（n）最大，則應有不等式

E（n）≥E（n+1）且E（n）≥E（n-1）

而E（n+1）=+

E（n-1）=+

所以

E（n）-E（n+1）=（b-c）≥0

E（n）-E（n-1）=

若記qn=P（r≤n）=? 則1-qn=

qn-1=P（r≤n-1）= 而1-qn-1=

所以

E（n）-E（n+1）=（b-c）qn-（a-b）（1-qn）≥0

E（n）-E（n-1）=（a-b）（1-qn-1）-（b-c）qn-1≥0

qn-1≤

即當訂貨量滿足上述不等式時，期望收益的最大值為

（a-c）

（二） MATLAB模擬實驗分析

某商家以每棵80元的價格購進圣誕樹，以100元/棵的價格銷售，根據長期統計，圣誕樹每天的銷售量以及百分率為：

銷售量 500 600 700

概率P 0.6 0.2 0.2

已知圣誕節過后銷售不出去的圣誕樹將以每棵70元的價格退還給廠家。試確定商家每次圣誕節訂購多少圣誕樹能使平均總收入最大？

1、問題分析

由題意可知

要使商家獲利最大，則要求max{賣出去的圣誕樹錢+退回廠家獲得的錢-買進圣誕樹的總錢數}

那么，我們首先應該確定商家訂購圣誕樹的數量分布概率，于是我們可以隨機產生商家賣圣誕樹的10000天的圣誕樹訂購量.用這10000天的平均收入大致確定其最大利潤時的訂購量。

也就是說隨機生成3×10000的表格，其中每個空格表示在訂購量確定銷售量隨機的情況下當天的利潤。

2、 MATLAB編程代碼

lr 利潤

lr0 當天隨機利潤

lr1 10000天的總利潤之和

dgl 訂購量

xsl 銷售量

3、代碼結果展示

由圖2看出，訂購量為700時總利潤最大，也就是平均利潤最大，即問題得到解決。

四、 拓展延伸

報童問題不僅可以運用于離散型問題，同樣也可以運用于連續性問題。下面用一個案例來進行探究。

（一）隨著全球經濟一體化趨勢的日益加深，現在很多人都會在網上購買國際商品，龐大的出口跨境電商市場存在著很大的商機。很多賣家為了加快物流速度，盡可能地滿足消費者的需求，都會提前將商品運往國外儲存起來。但同時也會帶來相關的問題，如果儲存過多就會出現倉庫積壓;而如果儲存過少就會出現缺貨損失。各國對跨境電商產品在質量方面有著高要求，一般不會存在質量問題。但是，并不是所有的買家都會對自己在網上買的商品感到滿意，有些買家會因為型號或尺碼問題而退貨，而且一般買家都享有三十天以內無理由退貨服務，可以獲得全額退款。因此對于退貨商品產生的相關費用，如產品再包裝、再入庫成本等都由賣家來承擔。為了實現成本最小或收益最大，賣家面臨著的最優訂貨量問題和退貨問題都影響著最優庫存的決策。

假設出口跨境電商一次性訂購量為Q，用于跨境電商網上銷售，并且在銷售前全部經過頭程運輸存儲到海外倉，售價為P，商品售出后，允許顧客無缺陷退貨，退貨后顧客可得到全部退款，退貨產生的退貨處理成本為（包括逆向運輸、檢驗、更新、重新包裝等消耗）。同時假設跨境電商產品在一個時期內的需求量是一個連續性隨機變量，f（x）為其概率密度函數，F（x）為其分布函數，則有

符號 含義 符號 含義

x 產品需求量 S 單位缺貨成本

f（x） 需求量概率密度函數 H 單位產品的持有成本

F（x） 需求量分布函數 r 退貨率

Q 商品訂貨批量 Cr 單位退貨處理費用

C 商品的取得成本 C0=C-V+H 供過于求過剩產品的單位總成本

P 商品網上售價 Cu=P-C+S 供不應求缺貨產品的單位總成本

V 產品的單位殘值 C1=C-V+H+Cr 退貨產品的單位總成本

（1）當Q≥x時，供過于求產生存儲成本，同時由于存在退貨，因此額外增加了退貨處理費用，總費用期望值為

（2）當Q≤x時，供不應求產生缺貨成本，同時由于存在退貨，因此額外增加了退貨處理費用，總費用期望值為

則總費用的期望值為

因為x是連續變量，可以用求導數的方法求極值

根據萊布尼茨法則：

用于求E（C（Q））對Q的求導，得：

因此最優訂貨量Q滿足下列條件：

F（Q）==P（x≤Q）=

=

=

F（Q）=P（x≤Q）

（二）算例分析

假設某出口電商通過跨境電商平臺銷售中國制造的女鞋，并提前將這批女鞋運到海外儲存。該女鞋的進價是300元/雙，網上售價是 550元/雙，消費者通過跨境電商平臺購買的商品可以進行無缺陷退貨，退貨后能夠得到全部退款，退貨過程中會產生退貨費用，冬季未售完的（包括退貨）均在季末進行清貨處理，清貨處理的貨物不允許退貨。求女鞋的最佳訂貨量。根據以往的銷售經驗和市場需求預測，該女鞋的需求量服從參數為[100，200]的均勻分布。

為了更加清晰地反映退貨對訂貨決策的影響，下面通過設置不同的退貨率和退貨費用參數取值來分析最優訂貨量的影響。假設國外倉庫在售賣期的單位持有成本為50元/雙 ，單位缺貨成本數40元/雙，單位處理價是160元/雙。

根據信息可知：C=300，P=550，V=160，H=50，S=40，C0=C-V+H=190，Cu=P-C+S=290，令單位退貨處理費用為25元，C1=C-V+H+Cr=215，退貨率分別為5%，10%，20%，則最優訂貨批量Q滿足：

當 r=5%時 ，則 F（Q）=0.5818;

r=10%時 ，則4 F（Q）=0.5594;

r=20%時，則F（Q）=0.5167;

又因為女鞋的銷量服從[100，200]上均勻分布，因此：

則最優的訂購量Q分別為158，156，152，很顯然，最優訂貨量隨著退貨率的增加而不斷減少。同理，令退貨率為 10%，單位退貨處理費用分別為25，55，95，則最優訂貨批量Q分別為 156，155，154，即最優訂貨量隨著單位退貨費用的增加而減少。

五、 總結與展望

（一）報童模型是一個經典的模型，在上述兩個例子中，我們可以看出，無論是在離散型的圣誕樹問題還是可看作連續型的跨境電商問題上，對于為了使成本最低或收益最大，報童模型都起到了一個很好的作用，運用報童模型，可以算出最優訂貨量，從而獲得最大利潤。

（二）報童問題是商品采購問題的一個例子，對該問題的研究和求解可以指導我們在實際中優化采購計劃，從而提高商品的銷售利潤，但在實際中制定商品的采購計劃時，我們的目標與約束一般會比報童問題復雜（例如考慮庫存成本），因此需要根據實際問題進行建模和求解，不能盲目照搬已有的模型，制定采購計劃之前可以采用需求預測（銷量預測），但同時也要考慮銷量的隨機性。

（三）報童模型的應用前景：

（1）回收報童模型

進入2l世紀以來，隨著資源危機、環境污染的加劇，可持續發展成為世界各國的主導趨勢，隨著全球化的進一步發展和企業間競爭的加劇。產品的生命周期更加縮短，退貨的條款變得越來越寬松。同時，環保、法律要求越來越高，致使逆向供應鏈變得越來越重要.甚至影響到整個供應鏈系統。因此對閉環供應鏈的研究將具有重大的價值，它不僅可能帶來環保和節約的好處，還有可能給企業帶來更多的經濟利益。考慮回收的報童模型，將會成為研究該類問題重要手段。

（2）電子市場環境下的報童模型研究

在電子商務時代，市場需求變化的速度不斷加快，采購管理的復雜性和多變性都大大增加。利用Internet進行采購管理是大型企業電子商務戰略中最重要的部分，近年來發展非常迅速。電子采購（E—Procurement）成為美國供應管理協會（ISM）優先支持的研究領域之一。

但目前關于電子采購等電子商務環境下的研究仍比較少，Internet對供應鏈采購管理的影響也還有許多有待研究的問題。例如Internet怎樣應用于采購過程、對采購戰略有何影響等。因此，采用報童模型，對電子商務下交易進行定量研究將會有很大的研究空間。

參考文獻：

[1]李賢平 概率論基礎 高等教育出版社 2010年4月第三版

[2]曹磊 2015—2O16年中國出口跨境電子商務規模報告

[3]龐燕 跨境電商環境下國際物流模式研究

[4]李雪敏 繆立新 徐青青 報童模型的研究進展綜述

[5]吳鵬 考慮回收再制造的報童模型擴展

[6]常廣庶 徐濟超 基于報童模型的電子采購策略研究

[7]高秀明 湯兵勇 服裝產品的采購與出清價格的啟發式報童模型

作者簡介：

陳樂凝（2000—） 女、漢族、河南駐馬店、 華中師范大學就讀、本科、研究方向：統計學。

作者單位：華中師范大學