用“差異取值驗證法”巧解高考數學選擇壓軸題

●劉欣華

高考數學選擇題近年來一直穩定在12個小題，每個小題5分；考查內容覆蓋范圍廣，穿插多個知識點的鏈接，融入多種數學思想和方法。考生必須具備快速、有效的基本解題技巧和能力。這不但是教學過程的重點，而且也是教學成果的體現。因此，研究高考數學選擇題的解題技巧具有重大的現實意義。

一、高考數學選擇題解題技巧概述

高考數學選擇題根據考試大綱，一般情況下按由易到難的順序排列，主要考點分A、B、C三級。A級是基礎的題目，能力要求為“了解、理解”，B級主要是中檔題目，能力要求為“理解、掌握”，C級為難題、壓軸題，能力要求為“綜合應用”。考生需要發揮雙向思維，充分利用題設和選項兩個方面所提供的已知信息進行解題，通過多種解題技巧迅速完成，一般情況下每個題至少有兩種或兩種以上的解題方法。

高考數學選擇題的解題技巧要注意避免復雜的大量計算，避免常規的解題方法。大多數選擇題可以運用常見的解題技巧：直接法、代入驗證法、分析排除法、估值推算法、特殊取值法、圖解法。但是最后兩道壓軸題題型復雜，信息量大，費時費力，需要運用特殊的解題技巧才能迅速排除干擾項：單選題模式固定，結構獨特，在有限的備選答案中，僅有一個是正確的；依據選項彼此之間相近又相互排斥的特點，可以采用差異取值驗證法求解。

二、差異取值驗證法的思維原理和適用范圍

“差異取值驗證法”是根據選擇題的備選項，觀察每個選項區間范圍和差異，代入差異的特殊值驗證是否符合題設條件從而進行取舍。其適用范圍——適用于選擇題；選擇題的選項中含有區間范圍。具體分三個步驟：第一步是找選項中的“差異”；第二步“取值”，通過選項中的差異出現的值，而且一定是特殊值；第三步“驗證”，驗證題目中給的等式或者不等式是否成立。

這種解題思想突破常規技巧，巧妙地避開了難點，節省書寫解題過程所耗用的時間，使考生體會到“柳暗花明”，凸顯其準確、迅速判斷答案的優勢；檢驗考生的觀察能力和發散性思維；逐步提升考生的數學思維層次以及分析、判斷和推理問題的能力。

三、差異取值驗證法在高考數學選擇題中的具體應用

（一）問題初階，掌握基本思想

分析：此題是選擇題，而且選項給出區間，可以采用差異取值驗證法。

對比選項之間的差異，在四個選項中，0都不在范圍內，因此0不作為特殊值考慮。而選項A、D含有-1，選項B、C不含有-1，這時取特殊值-1.①當x=-1時，f（0）

例2定義在[-2，2]上的函數f（x）滿足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0,x1≠x2且f（a2-a）>f（2a-2）,則實數a的取值范圍為（）

A.[-1,2]B.[0,2）C.[0,1）D.[-1,1）

分析：由已知條件判定此函數為單調遞增函數。此選擇題給出了選項范圍，考慮差異取值驗證法。

觀察選項中的特殊值，每個選項都含0，因此不作為特殊值考慮。選項A、D含有-1，B、C不含有-1，這時取特殊值-1。①當a=-1時，得f（2）>f（-4），已知函數的定義域是[-2，2]，顯然不符合，說明a不能取-1，排除選項A、D。

再對比選項B、C的差異，兩個選項都含0，選項B含有1，選項C不含1，這時取特殊值1。②當a=1時,則f（0）>f（0），顯然不成立，a不含1，排除選項B，答案選C。

例1、例2中一般的函數圖像法和單調性可以求解，只是稍顯麻煩，通過差異取值驗證法只需要驗證兩步就得出結論，運算量非常小，簡單有效。

（二）問題升華，巧妙選取差異特殊值

例3已知函數f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是（）

A.（-1,2）B.（-∞,-3）∪（6,+∞）C.（-3,6）D.（-∞,-1）∪（2,+∞）

分析：考查極大值和極小值問題就涉及到了導數，涉及到了單調性，說明導數有正有負，原函數有增有減。因此先求導數f'(x)·=3x2+·2ax+a+6

觀察四個選項中，A、C選項含有0，B、D選項不含有0，這時取特殊值0。①令a=0時，f'（x）·=3x2+6>0則f（x）遞增，這與已知函數有極小值不符，因此a不能取0，排除選項A、C

再對比選項B、D的差異，取特殊值-2。②令a=-2時，f'(x)·=3x2-4x+4，判別式△=16-3×16<0，則f'（x）>0恒成立，這時f（x）是遞增函數，與已知相悖，故排除含有-2的選項D，答案選B。

具備了差異取值驗證法的思維和方法后，通過觀察，在不同區間和范圍內選取合適的差異特殊值，可以輕松自如地解決高考中的壓軸題

（三）問題精進，綜合分析高考選擇題

例5（2014全國卷11題）若函數f（x）=kx-lnx在區間（1，+∞）單調遞增，則k的取值范圍是（）

分析：由已知條件考察函數的單調性涉及導數，依據函數在區間上單增，可知導數

觀察四個選項都不含有0，第一步比較A、B選項的差異，取特殊值-1，①令k=-1時，原式化為，由x∈（1,+∞），顯然不成立，排除含有-1的選項B,再令k=-2，原式化為由x∈（1,+∞），亦不成立，同理排除選項A。

第二步在選項C、D中，取差異值1，②令k=+1時，原式化為，由x∈（1,+∞），恒成立。故選擇含有1的選項D，答案為D。

注：此題在尋求選項的差異時，觀察到A、B、C選項均不含有1，選項D含1，不妨直接選取差異特殊值1。令k=1時，得1≥，一定成立，因此可直接判斷答案D。

分析：本題考查函數的奇偶性和單調性，常規方法把此問題轉化為|x|>|2x-1|,平方化為x2>（2x-1）2,求解不等式。

用差異取值驗證法只需兩步：第一步觀察選項A、C和B、D的差異，選取特殊值0。①令x=0時，原式化為f（0）>f（-1）,即，即-1>ln2-0.5，顯然不成立，故排除含有0的選項A、C。

第二步取選項B、D的差異值1.②令k=1時，原式化為f（1）>f（1），顯然不成立，故排除含1的選項D,答案選B。

例7（2018全國卷市級統考）已知函數f（x）=-x3+3x2-mx-2m,若存在唯一的正整數x0，使得f（x0）>0,則m的取值范圍是（）

第二步在選項C、D中取差異特殊值1.②令m=1時，原式化為f（x）=-x3+3x2-x-2=-x2（x-3）-（x-2）,對于上式當x>3時，f（x）<0恒成立，因此只需驗證x=1、2、3時，這時f（1）=-1+3-1-2=-1<0,f（2）=-8+12-2-2=0,f（3）=-27+27-3-2=-5<0，故不堝正整數x0，使得f（x0）>0。綜上所述m=1時不成立，排除含有m=1的選項D，答案選C。

如何恰當地選取合適的差異特殊值，既是運用差異取值驗證法的關鍵，也是處理這類問題的難點，需要考生反復練習，增強觀察明銳性和分析問題的能力

四、結論

相對于傳統的數學選擇題解題技巧，差異取值驗證法是在綜合的方法的基礎上，充分挖掘題目的個性特征，整體分析，橫向比較，巧妙排除，規避難點，探尋簡便解法；是考生取得高考數學優異成績的重要保證。