高中數學建模教學

單龍

數學建模是對實際問題本質屬性進行抽象而又簡潔刻劃的數學符號、數學式子、程序或圖形，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。而應用各種知識從實際問題中抽象、提煉出數學模型的過程，我們稱之為數學建模，它的靈魂是數學的運用。作為基礎教育階段――高中，我們不但要讓孩子們儲備應對新高考的知識，更應該重視數學應用意識的早期培養，提高他們將數學理論知識結合實際生活的能力，進而激發他們學習數學的興趣和熱情。我們教數學不僅要讓他們知道“課本里有數學”，更要讓他們知道“生活中也有數學”;不僅要讓他們知道“數學是什么？”，更要讓他們知道“數學有什么用？”;不僅讓他們知道了“數學有什么用”，還要教會他們“數學可以用在哪里？”為此，我覺得十分有必要從基礎教育階段就將數學建模的思想、理念滲透到數學教學中去，打造一種和諧的良性循環：“學數學-用數學-再學數學”。

作為數學教師，必須在課前精心備課，在掌握基礎知識的基礎上，將例題，練習精心設計，能與實際生活相結合的，應盡量設計進去，突出應用理念，培養學生將課堂知識活學活用，從課堂上滲透數學建模思想。

以下舉一些本人的教學案例加以說明：

例如在《數列》一章中，為了讓學生進一步熟悉掌握等比數列的通項公式，我們會這樣舉一簡例：

此題目的無非是讓學生直接應用等比數列的通項公式，代入求解。

我們不防將此例進一步變形為：

例2：某城市2005年底有人口100萬，已知人口年增長率為1%，求到2025年該市的人口數。

此例賦予例1一定的實際背景，將等比數列這個條件隱藏其中，其實質還是考察等比數列的通項公式，但具有一定的實際意義。

而作為滲透數學建模的課堂教學，我們可以讓學生解決下面這一問題：

例3：某市2015年初有常住人口100萬，流動人口20萬，已知流動人口的年增長率為1%，常住人口的年增長率為0.5%，請你預測到2065年初該市擁有的人口數。

這樣的問題涵蓋了課本要求的知識點，但同時，在解決這類問題的過程當中，不知不覺使學生提高了動手能力，培養了學生應用數學的意識，激發了學生學習的興趣和動機，有利于提高學生分析和解決問題的能力。從而真正體現了數學建模與課本知識的融合。

下面是一個生活中積累的建模實例：

例4（射門問題）國際足聯規定世界杯決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足球門寬7.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置（精確到1米）.

面對這樣一個陌生的問題情境，大多數學生都束手無策，教師可以設計以下幾個探究方向：

1、到球場實地觀察，邊鋒在球場上如何運動，一般在何處起腳射門？

2、向踢球經驗豐富的同學請教足球的有關知識;

3、到圖書館查閱有關材料;

4、認真思考本題所謂的最佳射門位置在數學上的具體含義;

5、在此基礎上考慮如何利用數學方法來解決這一問題.

分析：設邊鋒所在位置為M，最佳射門位置為M對球門AB水平視角最大，確定M點位置，即O M的長度，與足球場長度和球門高度無關.（附圖）

取最大值，即取最大值為最佳射門位置.

利用現行的數學教材，向學生介紹一些常用的、典型的數學模型.如幾何模型、三角模型、方程模型、不等式模型、數列模型等.教師應研究在各個教學章節中可引入哪些數學基本模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關問題放入到這些模型中來解決;又如在研究物理學、工程測量、航海航空等應用問題時可以轉化為三角函數模型來解決. 教師應該擴大自己的視野范圍，因地制宜地收集、編制、改造適合自身學生使用，貼近學生生活際的數學建模問題，同時注意問題的開放性與可擴展性，盡可能地創設一些合理、新穎、有趣的問題情境來激發學生的好奇心和求知欲，使學生掌握相關類型的建模方法，提高數學的意識及應用數學方法和手段處理問題的能力.

在數學建模的課堂教學過程中，教師的主導作用體現在創設好的問題環境， 激發學生自主地探索解決問題的積極性和創造性上; 學生的主體作用體現在問題的探索、發現、解決的深度和方式盡量由學生自主控制和完成.它體現了教學過程由以教為主到以學為主的重心的轉移.教師把握教學目標時應立足于學生對問題的分析，對解決問題過程的理解，而不僅僅以有正確的解答為首要目標.要讓學生充分體驗問題、困難、挑戰、挫折、取勝的建模過程，并養成選擇、判斷、協作、交流的學習習慣，經歷一個個學數學、用數學， 進而發現問題， 走向新的學數學、用數學的過程，從而培養能力、激發興趣、形成學生主動學習的良性循環.要盡可能地通過數學建模活動，為盡可能多的學生提供參與解決實際問題的機會，及時鼓勵這種參與，盡可能使學生通過問題解決的過程獲得成功感，即使問題尚未真正解決.數學建模的成果可以為學生建立一種更表現學生素質的評價體系，只有在充滿生命活力與和諧氣氛的教學環境中， 師生共同參與、相互作用，才能摩擦出智慧的火花.要容許學生發展、驗證他們自己的猜想和結論，猜想不一定是正確的，證實和證偽同樣有意義、有收獲、也同樣重要.要注意每個學生的特長領域，引導學生在解決問題的過程中學會合作、學會優勢互補發揮各自的特長.教師要不斷擴大自己的視野并努力尋找適宜于學生使用的數學建模問題，做好每個問題解決過程的記錄，學生成功的經驗和自己在挫折中得到的教訓對于今后的數學建模的教學設計有重要的價值.

數學建模的教學使學生走出考綱，走出課本，走出傳統的習題演練，使他們進入生活、生產的實際當中，進入一個更加開放的天地;使學生體會到數學的由來、數學的應用，體驗到一個充滿生命活力的教學，這對于培養學生應用意識和創造精神顯然是一個很好的途徑.