考慮災民有限理性的應急物資分配模型及算法

陳 剛 （貴州大學 管理學院，貴州 貴陽 550025）

CHEN Gang (School of Management, Guizhou University, Guiyang 550025, China)

由于近十幾年來突發性自然災害的頻繁發生，應急物流受到國內外學者的廣泛關注，其中應急資源分配問題又是研究的熱點之一。例如Yu 等[1]以總成本最小為目標，構建了一個多階段的應急物資分配模型，其中成本包括可達性成本、損失成本以及懲罰成本；Ransikarbum 等[2]在考慮物流網絡部分設施被毀情況下，構建了一個以公平最大、未滿足需求最小、成本最小為目標的應急資源分配模型；宋曉宇等[3]以最小化總成本和最大化受災點滿意度為目標，構建了一個多受災點、多出救點和多階段的非線性連續消耗應急物資調度模型；黃輝等[4]研究了災害初期多品種應急物資配比包裝調運的兩階段模型，第一階段以時間效益最大為目標，第二階段以滿意度最大為目標；陳剛等[5]構建了同時考慮應急物資分配公平與效率的多目標優化模型。

綜上所述，學者們大多采用經典的運籌學方法，建立以成本最小、時間最短或需求滿足率最大等效用函數為目標的優化模型。但事實上，實證研究和仿真實驗已經證實人是有限理性的[6]，存在參考依賴、公平關切等行為[7]。隨著移動互聯網的普及，災民能夠迅速獲得應急救援的相關信息，如果災民對資源分配結果存在質疑，有可能引起輿論效應，甚至影響社會穩定。鑒于此，本文構建考慮災民感知滿意度的效用函數，在此基礎上運用前景理論的價值函數對災民的有限理性進行刻畫，以總價值最大為目標，建立供不應求情況下的整數非線性規劃應急物資分配模型，設計相應的求解算法，通過實際案例分析驗證模型和算法的可行性和實用性。

1 災民有限理性行為分析

應急救援初期所能利用的應急資源有限，應急物資往往供不應求，災民不清楚何時能得到救助，以及分配得到的應急物資是否滿足需求。對此，災民表現出有限理性行為，對獲得救援的時間以及應急物資的分配數量十分敏感[8]，同時存在參考依賴及公平關切等行為。因此，本文以時間參考點和需求參考點的加權效用作為價值函數的參考點，運用前景理論的價值函數來描述災民有限理性條件下的效用感知滿意度。

假設所有災區的參考點價值都一樣，為V0，且V0＞0，則災區i的參考點的價值函數為：

其中：表示災區i的參考點效用，由于各災區的受災程度不同，其對參考點的選擇也不同，這也體現了個性化的差異，對最優分配方案的選擇至關重要。

根據Kahneman 等[7]的研究，災區i在應急物資分配方案中的價值函數計算公式為：

其中：Ui表示分配方案對災區i的效用，α 和β 分別表示收益與損失區間的風險偏好水平，λ 表示對損失的規避程度。由于人們在面對相對不確定性的風險和相對確定性的收益時，體現出風險厭惡；而面對相對不確定性的風險和相對確定性的損失時，體現出風險追求。因此，參數取值范圍為0＜α, β＜1，λ≥1。

2 應急物資分配模型

2.1 符號說明

I表示災區的集合，I=｛1,2 , …,n｝，i∈I；J表示中央救災物資儲備庫 （以下簡稱“儲備庫”） 的集合，J=｛1,2 , …,m｝，j∈J；di表示災區i的應急物資需求量，可根據受災程度（如受災人口數、房屋倒塌數、經濟損失數等） 估算得出；sj表示儲備庫j的應急物資儲備量；yij表示儲備庫j是否對災區i進行配送，yij∈｛0,1 ｝，是則為1，否則為0；tij表示儲備庫j到災區i的配送時間；Ti表示災區i應急物資的到達時間；f（Ti）表示災區i的時間感知滿意度，且f（Ti）∈［0,1 ］；xij表示儲備庫j配送到災區i的應急物資數量，為模型的決策變量；Ri表示災區i的應急物資實際分配量，即表示災區i的需求感知滿意度，且f（Ri）∈［0,1 ］；ρi表示災區i的價值系數，與災區受災的嚴重程度有關，嚴重程度可根據災區傷亡人數、建筑物倒塌數、震級強度等評估，受災越嚴重，價值系數越大。

2.2 效用函數

各災區的受災程度不同，導致其對救援時間的感知滿意度也不同。對于災民而言，一般其心里會有一個預期救援時間，也就是閾值，當救援時間小于等于閾值，災民的滿意度為1，當救援時間超過閾值，救援時間越長，滿意度越低。時間感知滿意度表達式為：

其中，ai為災區i的時間閾值，當Ti=0 時，表示沒有對災區i進行救援，因此滿意度為0；當0＜Ti≤ai時，滿意度為1；當Ti＞ai時，滿意度隨著時間的增大而減小，且時間越大，滿意度減小的速度越快。

災民對應急物資數量的感知滿意度可直接用需求滿足率表示，其表達式為：

考慮救援時間與應急物資分配數量對災區的影響，則災區i的效用函數為：

其中：η 表示時間感知滿意度的權重，0≤η≤1。

選擇各儲備庫到災區i的平均救援時間為時間參考點，同時選擇按比例分配的數量為需求參考點，則有：

其中：表示災區i的時間參考點，表示災區i的需求參考點（需向上取整），則參考點的效用（即價值函數的參考點）為：

2.3 模型建立

構建考慮災民有限理性的應急物資分配模型如下：

式（9） 表示最大化所有災區效用感知滿意度的總價值，V Ui（）的表達式見式（2）。式（10） 為Ti的表達式，表示分配給災區i的應急物資全部到達災區i所需的時間。式（11） 表示當儲備庫j對災區i進行配送時，yij取1，否則取0。式（12） 表示配送給災區i的應急物資總量不大于其需求量。式（13） 表示儲備庫應急物資的供應量等于該物資的儲備量。式（14） 表示決策變量為非負整數。

3 求解算法設計

設計帶精英保留策略的遺傳算法對其進行求解，具體步驟如下：

Step1 染色體編碼及初始種群產生。根據模型解的特性，采用二維整數編碼，即每個染色體X=（x11,x12,…,xnm），其中xi∈Z，i=1,2,…,n×m。矩陣的第i行、第j列對應的元素表示儲備庫j分配給災區i的應急物資數量。定義種群規模為popsize，初始種群產生方法如下：

Step1.1 令集合A= ｛1,2,…,n×m｝，p=0；

Step1.2 從A中隨機取個數r，令p=r，計算相應的下標，

Step1.3 令 ν=min｛di,sj｝，v=randi（0,ν ），xij=ν，di← （di-xij），sj← （sj-xij），并且A←A/｛p｝，其中函數randi（0,ν ）表示隨機生成一個0 到ν 的整數；

Step1.4 檢查A是否為空集，若A非空，則返回Step1.2，若A為空集，轉入Step1.5；

Step1.5 因為約束條件式（13） 為強約束，為了滿足該約束條件，令表示矩陣X中第j列需求滿足率最小的行對應的值；

Step1.6 檢查生成的染色體是否滿足約束條件式（12），不滿足則返回Step1.1，滿足則結束。

重復以上過程popsize次，得到初始種群X1,X2,…,Xpopsize。

Step2 適應度計算。直接用目標函數值作為適應度。

Step3 選擇操作。根據適應度值采用輪盤賭方法進行選擇操作，共進行popsize次，得到由popsize個復制染色體組成的新種群。

Step4 交叉操作。采用單點交叉，以交叉概率pc從Step3 產生的新種群中選擇參加交叉操作的父代，并將它們隨機配對，然后進行“列”交叉，并判斷子代是否為可行解，可行則保留，不可行則用Step1 中的方法隨機生成一個可行解替換之。

Step5 變異操作。以變異概率pm從Step4 產生的新種群中選擇參加變異操作的個體，然后用產生初始染色體的方法生成一個新染色體代替變異的個體，以保證種群的多樣性。

Step6 精英保留策略。保留目前為止找到的適應度最高的染色體，并用其替換下一代中適應度最差的個體。

Step7 終止準則。定義最大迭代次數Maxgen，如果當前迭代次數小于Maxgen，則轉入Step2，否則算法結束，輸出結果。

4 案例分析

4.1 案例背景

以2013 年四川蘆山地震應急救援為例，該地震震級為7.0 級，震源深度13 公里，屬于淺源地震，因此房屋倒塌非常嚴重，災區急需帳篷。民政部從災區周邊6 個中央救災物資儲備庫向災區調運首批應急物資5 萬頂帳篷，其中成都、昆明、西安、蘭州儲備庫各調運1 萬頂，武漢、長沙儲備庫各調運0.5 萬頂，各儲備庫到各災區的時間見表1。

心理感知時間閾值ai與災區的受災程度有關，蘆山縣、天全縣和寶興縣受災較為嚴重，設置其閾值為12h；雨城區、名山區、滎經縣和邛崍市受災程度一般，設置其閾值為24h。災區需求根據倒塌房屋數估算得出（見表2），根據式（3） 至式（8）可計算出各災區的時間參考點、需求參考點及參考點效用，計算結果見表2。由Tversky 等[9]的分析可知，α=β=0.88，λ=2.25。設置時間感知滿意度權重η=0.5，參考點價值V0=0.5。根據受災的嚴重程度，設置各災區價值系數為此外，平均需求滿足率

4.2 計算結果分析

根據算法設計，采用MATLAB 編程，在Intel Core i7 @ 2.60GHz CPU，8.00GB 的計算機上對案例進行計算。經過多次測試，確定最佳參數為：種群規模popsize=500、最大迭代次數Maxgen=400、交叉概率pc=0.9、變異概率pm=0.1。程序運行19.63s 計算出問題的近似最優解（見表3），目標函數最優值為9.829。帶精英保留策略的遺傳算法性能跟蹤見圖1，可見隨著迭代次數的增加，種群的平均適應度逐漸提高，目標函數最優值也逐漸提高并收斂。

由表3 可知，對于蘆山縣和寶興縣，實際救援時間都小于時間閾值，但需求滿足率都低于平均需求滿足率，這是由于只有成都儲備庫能在時間閾值內到達這兩個災區，而成都儲備庫的帳篷供應量有限；對于天全縣、名山區和滎經縣，雖然沒能在時間閾值內到達災區，但是需求滿足率都大于平均需求滿足率，需求感知滿意度彌補了時間感知滿意度的損失。對比表3 的實際效用和表2 的參考點效用，可以發現實際效用都大于參考點效用，可見這樣的分配方案可使災民感知滿意度維持在一定程度，從而避免災民的心理恐慌及非理性行為的發生。

表1 儲備庫到災區的救援時間

表2 案例相關參數表

表3 總價值最大的最優分配方案

案例分析說明本研究所構建的模型能較好地模擬災民的有限理性，根據算法求解得到的應急物資分配方案，可使災民感知滿意度維持在一定程度，從而緩解災民的心理恐慌。

5 結束語

本文以各儲備庫到災區的平均救援時間為時間參考點，以按比例分配的應急物資數量為需求參考點，使應急物資的分配更加具有公平性；在此基礎上，構建考慮災民時間感知滿意度和需求感知滿意度的效用函數，用價值函數表示災區的效用感知滿意度，不僅使滿意度的衡量更符合人的實際心理，還體現了災民有限理性對應急救援決策的影響。

圖1 帶精英保留策略的遺傳算法性能跟蹤圖