由矢量場波動方程導出的程函方程

秦 華，修俊山，韓克禎，劉文林，馮言澤

(山東理工大學 物理與光電工程學院,山東 淄博 255049)

程函方程(eikonal equation)也稱幾何光學方程，反映了幾何光學中光線傳播所遵循的數學方程，可從麥克斯韋爾方程組出發，得到光的波動方程，并在λ0→0時的極限情況下，由標量場波動方程導出程函方程[1-3]，它在物理 (波動)光學和幾何 (射線)光學之間起連接作用。程函方程可以從費馬原理、光程差公式推得[2]，反過來也可以從程函方程導出費馬原理[4]。在波像差計算、光線方程導出、光學傳遞函數計算[5-6]以及Offner成像分析[7]中經常用到程函理論。由標量場波動方程導出程函方程，雖然方便簡捷，但更普遍情況下的波動方程是矢量場波動方程。本文由矢量場波動方程導出程函方程，給出了由麥克斯韋方程到矢量場波動方程再到程函方程的詳細推導過程，有利于讀者從矢量角度理解程函方程推導過程。

1 由麥克斯韋方程組導出的不含時間因子的波動方程

麥克斯韋方程組

(1)

在電流J=0和電荷ρ=0的區域，麥克斯韋方程組變為

(2)

考慮各向同性非導體介質中一般時諧場：

(3)

E0(r)和H0(r)為位置矢量的復矢函數，實際場為復矢函數的實部。在一定頻率下，對于線性均勻介質有，D=εE,B=μH。把式(3)代入式(2)，消去時間因子e-iωt后得

×E0=iωμH0e-iωt，×E0=iωμH0

(4)

同理：e-iωt×H0=-iωεE0e-iωt,×H0=-iωεE0

(5)

因此，在一定頻率下，對于各向同性非導體介質中時諧平面電磁波，麥克斯韋方程組變為

(6)

2E0+k2E0=0

(7)

(8)

式(7)就是不含時間因子的電場強度矢量的波動方程[8-9]

2 程函方程的推導

2.1 平面電磁波

方程(7)的解有多種不同形式，如廣播天線發出的球面波，沿波導或者傳輸線定向傳輸的波，激光器發出的高斯光束等，都是方程(7)的解。在此，本文討論最基本的平面波解，這種電磁波稱為平面電磁波。時諧平面電磁波場強的表達式為

(9)

其中:k0是真空中波矢，k0是k0的模，k0=ω/c=2π/λ0，k是介質中波矢，k是k的模，k=ω/υ=2π/λ，λ0是真空中波長,λ是介質中波長，c為真空中光速，υ為介質中光速,e0,h0是位置矢量r的函數，一般是復矢量，但對于線偏振的場，e0,h0是位置矢量r的實函數。

從式(9)中可以看出，在折射率為n的介質中，不含時間因子的均勻平面波可表示為

(10)

均勻平面波沿單位矢量s方向傳播時，其表達式可寫為

(11)

當n不是常數而是位置矢量的函數時，與式(11)形式上相似的平面波的更一般表達式可寫為

(12)

S(r)為“光程”，是位置的實標函數。

2.2 由波動方程導出的程函方程

把式(12)中第一式E0(r)=e0eik0S(r)代入到式(7)中

2[e0eik0S(r)]+k2[e0eik0S(r)]=0

(13)

(14)

(15)

ex,ey,ez分別為直角坐標系三個坐標方向的單位矢量。式(15)中

(16)

(17)

所以

ex2ik0S(r)·e0x+2e0-k02e0(S(r))2+ik0e02S(r)+ey2ik0S(r)·e0y+

ez2ik0S(r)·e0z+k2e0=0

(18)

ey2ik0S(r)·e0y+ez2ik0S(r)·e0z+ik0e02S(r)=0

ez2S(r)·e0z+e02S(r)]=0

(19)

S(r)為實函數，對于線偏振場e0(r)亦為實函數，上式成立條件是實部和虛部分別等于零,當實部等于零時有:

(20)

(21)

(22)

當λ0→0時，k0→，于是有：(S)2=n2

(23)

式(23)就是程函方程,函數S叫做程函。

3 結論

由矢量場波動方程導出程函方程比由標量場波動方程導出程函方程更有普遍意義。由波動方程導出幾何光學程函方程，說明幾何光學與波動光學是對立統一的，表象為兩種理論的對立，實質統一在Maxwell電磁理論。波動光學更具有普適性，而幾何光學在自己的適用范圍內解決問題更直觀方便。