轉之有法 化之有理

江蘇南京市江寧實驗小學 經 娟

解決問題的策略對學生來說并不陌生，從三年級開始，每一冊都安排了這樣一個單元，這也是蘇教版教材的一大特色。 通過與一線教師交流發現，大家都覺得解決問題的策略這一類課相對比較好上，因為教材的編排很清晰，出示問題→分析問題→解決問題→回顧反思， 每一步都有大問題做導向，并且每個大問題下還有相應的提示（如圖1-1、1-2、1-3），教師以此為依據可以引導學生向好的方向發展。而且像這樣教，肯定不會出錯。但我們也會發現，這樣很容易上成解題課，學生忙著套用課堂所學的策略解題，課堂氣氛熱烈，但下了課，學生獨立完成的情況并不好。 這樣的現象說明學生并沒有形成策略意識，內化為自己的數學思想。 因此，教師應該讓學生真聽、真學、真感受，并從中提升自己的數學思想。

“解決問題的策略——轉化”是筆者參加比賽執教的一節課，在磨課過程中，筆者深刻感受到數學思想融入課堂的重要性。

一、動手操作，體驗轉化策略

解決問題的策略不是學生解決完一個問題就能完全獲得的，此時的學生可能只知道“什么是策略”，至于“用到了什么方法”“為什么可以用這個策略”等問題卻很迷惘。 所以教師還需要探究策略學習的過程和方法， 這就需要教師調動學生多感官參與、動手操作、親身經歷，初步感受策略的本質和價值。

【片段1】

出示例1（如圖2）：

師：請看大屏幕，你能直接比較出兩個圖形面積的大小嗎？

師：你打算怎樣比較這兩個圖形的面積？你是怎樣想的？

（數格子、分割、平移……）

師：請大家帶著思考進行操作，老師為大家準備了這樣的兩種圖形，先看一看、想一想，然后可以在這張紙上動手畫一畫，也可以在剪好的圖形中剪一剪、拼一拼。看看可以如何比較它們的面積？有沒有不同的方法？

（匯報交流：指名上臺演示。）

生1：可以運用數格子的方法。

生2：可以運用剪拼、平移、旋轉的方法。（如圖3-1、3-2、3-3）

師：如果是你解決這個問題，你會選擇哪種方法？

（學生體會到數格子的方法不太簡單，容易數錯，但是數格子也是一個解決問題的好方法）

師：比較剪拼和平移、旋轉，它們之間有什么共同點？

師：是的，把不規則的兩個圖形變成長方形，也就是規則圖形，可以更快速、方便地比較它們的大小。這里的變一變，也就是剛才說的“轉化”。轉化也是一種解決問題的策略。（補充板書：轉化）

師：回顧剛才解決問題的過程，你有什么體會？

（不規則到規則；復雜到簡單；旋轉，平移；圖形面積沒變，形狀變了）

師（如果沒有人回答出變和不變）：轉化的前后什么變了，什么沒有變？

正是由于在變化的過程中， 面積沒有發生變化，所以我們可以通過這兩個圖形的面積相等來推測原來兩個圖形的面積是相等的。

思考：學生在這一環節要達到什么樣的學習目標？ 通過研讀教材和試教的過程，筆者認為有兩個“初步感受”。 一是通過動手操作，初步感受轉化策略；二是通過回顧反思，初步感受轉化思想。 一個是方法層面的，一個是思想層面的。 我們不難知道，以五年級學生已有的知識經驗，想到將一個不規則圖形轉化成規則圖形來比較面積的大小并不困難，但上升到數學思想，讓學生總結出“轉化前后，面積沒變，形狀變了”這樣的結論，會有一定難度。 說明五年級學生思維還處在由具體到抽象的轉變過程中，對于知識的理解通過動手操作感受會比較深，而內在轉化的本質“變中有不變”的思想不容易被發掘。當然，數學思想不是一蹴而就的，需要教師耐心引導，此環節學生做到初步感受即可。

二、聯系舊知，深挖轉化本質

策略的認識通過各種探究活動可以迅速地揭示，但對策略的建構和策略中所包含的數學思想的發掘還需要加強討論和感受。

【片段2】

師（引導）：在以前的學習中，我們曾經運用轉化的策略解決過許多問題。請同學們回想一下，我們曾經運用轉化的策略解決過哪些問題？在圖形中有沒有，計算中呢？

（學生四人小組討論。）

生：平行四邊形轉化成正方形。

師：你采用什么方法？轉化前后什么變了，什么沒變？

……

師：這么多地方用到轉化的策略，說說你有什么新的體會？

學生可能體會到：轉化策略應用很廣泛；轉化策略能把復雜的問題變簡單。把新的未知的問題轉化成已經解決的已知的問題。（板書：未知→已知）

師：轉化的方法多種多樣，圖形中我們可以……計算中我們可以……但不管我們怎么變，關鍵找到內在不變的東西，也就是“轉之有法，化之有理”。掌握方法，思想指導，形成轉化思想。

思考：為了讓學生深刻體會轉化策略，跳出例題的教學，讓學生回顧以前利用“轉化”策略解決的問題，學生在表達的同時，緊抓“變中有不變”的核心思想。 學生找到了在面積計算時要保證圖形面積不能變、在計算時要保證結果不能變，啟發學生理解“轉化的方法多種多樣，但必須保證內在不變的本質”，即“轉之有法，化之有理”。

三次感受，層層遞進，學生深刻地體會到“什么是轉化”“怎樣轉化”“為什么要轉化”“轉化的依據是什么”等問題，感受轉化策略應用的廣泛性和便利性，促使學生從方法和思想層面思考，使感悟從低階走向高階。 這樣的教學處理，加深對轉化策略的第三次感受，促使學生在新知學習中將已有知識經驗納入到新知的框架中， 從而建構轉化策略，形成轉化思想，突出變中有不變的思想。

三、應用策略，內化轉化思想

策略的建構和內化，其中數學思想的形成必須從解決問題開始，在回顧中升華，再回到解決問題中進行靈活運用。 學生經過多次體驗和感受，從而上升為自己的數學思想。

【片段3】

1.指導完成“練一練”（如圖4-1）。

明明和冬冬在同樣大小的長方形紙上分別畫了一個圖案（圖中直條的寬度都相等）。 這兩個圖案的面積相等嗎？ 為什么？

師：讀完題，你覺得轉化需要注意些什么？想想可以怎樣比較，同桌互相說一說。

（學生進行教具操作。）

師：大家看懂了嗎？還有不同的方法嗎？

2.完成練習題1（如圖4-2）。

師：剛剛我們研究的都是關于面積的，有沒有周長不變的呢？

師：觀察上面兩個圖形，要求出右邊圖形的周長，怎樣計算比較簡便？如果每個小方格的邊長是1厘米，右邊圖形的周長是多少厘米？

（學生獨立嘗試解答，師巡視指導。投影交流反饋解答的情況，著重讓學生說說具體的轉化過程）

師：你們看明白了嗎？你為什么想到這樣轉化？

師：這樣原來的圖形就轉化成了一個長方形，而它的周長有沒有改變？

生：沒有。

師：現在你能快速計算它的周長了嗎？

生：（3+5）×2=16（厘米）。

師：完全正確！通過這個練習，我感覺同學們的轉化水平又提高了。

3.完成練習題2，用分數表示各圖中的涂色部分（如圖4-3）。

先讓學生獨立思考，并把自己的想法說給小組成員聽，再在全班進行交流。

（1）通過割、補的方法，把涂色部分轉化為扇形，從而很容易就可以看出占了整個圓面積的。

（2）通過平移的方法，把涂色部分轉化為正方形，從而很容易就可以看出占了長方形的。

（3）辨一辨：通過教具演示，糾錯。

方法1：涂色部分思考。

方法2：空白部分思考。

思考：通過三次感受，學生對轉化思想有了更深刻的認識，但要想內化為自己的東西，還需要通過練習不斷鞏固。 本節課重在感受策略中的數學思想，前面的節奏比較慢，所以，在練習時，筆者只設計了3道題。 “練一練”在試上的過程中，學生遇到了這樣一個問題，通過移動其中一條路，中間會空一個小方塊，移動前后面積變了，即使利用課件學生也難以想象。 為了解決這個問題，筆者將左右兩條小路都貼上磁鐵，讓學生自己上臺通過剪拼，使學生理解“消失的小方塊”其實是移動到其他地方了，左右兩條小路是可以相互轉化的。 練習題1，通過平移可以使右邊不規則的圖形轉化成左邊的長方形，雖然簡單，但教師應該引導學生理解轉化前后除了面積不變以外，移動線段，也可使轉化前后周長不變。 練習題2，特別是第3幅圖，學生很快就會想到利用旋轉，得到涂色部分分數是。通過課件演示，抓住“變中有不變”的思想，發現這個結果小了。 在教師的點撥之下，學生立刻就總結出可以通過從空白部分入手，通過剪拼，得到涂色部分應該用來表示。 3道題由易到難，學生重在體驗，學生在質疑問難的過程中，不斷修正自己的想法，促進知識和想法由片面轉向全面，不斷深化和轉化思想，并總結出和變中有不變得思想。

本節課通過學習轉化策略，啟發學生理解“轉之有法，化之有理”中蘊涵的轉化思想和變中有不變思想的數學基本思想， 重在學生的體會和感受，突出學生在數學思想上的提升。 在以后的教學中，教師要仔細研究教材，了解學情，創新和設計有“思想”的數學課。