小圖形?大舞臺

吳永鎮(zhèn)?仰美英

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)的過程教學(xué)，重視教學(xué)開放式探究。教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供更多的機(jī)會和時間，讓學(xué)生嘗試和探究、討論和交流、歸納和總結(jié)、提問和質(zhì)疑，促使學(xué)生的思維充分發(fā)展。運(yùn)動問題是初中數(shù)學(xué)關(guān)注的一類重點(diǎn)，數(shù)軸動點(diǎn)問題涉及絕對值、點(diǎn)與數(shù)、距離、追及、相遇等多種概念和關(guān)系，常以規(guī)律題、探究題的形式出現(xiàn)，不僅是孕育數(shù)形結(jié)合思想方法的土壤，更是思維活躍的動力場。由于數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性與層次性，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時易產(chǎn)生思維障礙，難以突破。究其原因，在于學(xué)生對“數(shù)軸”這一工具的功能與價值認(rèn)識不深刻，運(yùn)用不充分。數(shù)軸是從客觀實(shí)際中抽象出來的一種基本數(shù)學(xué)模型。伴隨著數(shù)軸，初中數(shù)學(xué)出現(xiàn)了首次數(shù)（具有實(shí)際意義的量）形（具有幾何直觀的點(diǎn)）結(jié)合。數(shù)軸不僅能直觀地解釋正負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對值等相關(guān)概念和加、減、乘、除等運(yùn)算法則、規(guī)律，而且是解決許多數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的工具。基于此，在2021年浙江省教師培訓(xùn)平臺項(xiàng)目“初中數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)策略”暨義烏市初中數(shù)學(xué)陳建新名師工作室活動中，筆者執(zhí)教了一節(jié)拓展課“數(shù)軸上的動點(diǎn)問題”，借助顯性的數(shù)學(xué)工具，闡述如何利用小圖形呈現(xiàn)思維的大舞臺。

一、知識概述

在學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后，教材安排了數(shù)軸的相關(guān)內(nèi)容。一方面，幫助學(xué)生在拓寬數(shù)學(xué)知識的同時建立數(shù)學(xué)模型的概念，為以后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ);另一方面，能讓學(xué)生在感受數(shù)形結(jié)合的過程中，初步體驗(yàn)圖形思維。基于此，本節(jié)課筆者以點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動問題為例，主要圍繞兩類數(shù)學(xué)知識展開教學(xué)，一是兩點(diǎn)間的距離公式：AB= | a—b | = | b—a |;二是點(diǎn)的移動規(guī)律：一個點(diǎn)表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動b個單位后表示的數(shù)為a—b，向右運(yùn)動b個單位后表示的數(shù)為a+b。以上述主要知識為核心，由淺入深、由簡單到復(fù)雜，把知識要點(diǎn)逐步滲透到教學(xué)活動中，試圖讓學(xué)生學(xué)得更明白、掌握得更輕松。

二、問題探究

如圖1，A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為-2，點(diǎn)B表示的數(shù)為3。

（1）A、B兩點(diǎn)間的距離是? ? ? ? ? ?;

（2）甲從點(diǎn)A向左運(yùn)動，甲的速度是1個單位長度/秒，經(jīng)過2秒后點(diǎn)甲對應(yīng)的數(shù)是? ? ? ? ? ;

生1：AB的距離為3—（-2）=5，甲數(shù)為-2—1×

2=-2—2=-4。

師：參照上面的實(shí)例，一般的，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離如何求？

生2：數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于數(shù)軸右邊的數(shù)減去數(shù)軸左邊的數(shù)。

生3：不清楚數(shù)軸上兩點(diǎn)的具體位置則可以用兩個數(shù)據(jù)減一減再添絕對值。

變式1：甲從點(diǎn)A向左運(yùn)動，甲的速度是1個單位長度/秒，經(jīng)過t秒后點(diǎn)甲對應(yīng)的數(shù)是? ? ? ? ? ?;

變式2：甲從點(diǎn)A（A表示的數(shù)是a）向左運(yùn)動，甲的速度是1個單位長度/秒，經(jīng)過t秒后點(diǎn)甲對應(yīng)的數(shù)是? ? ? ? ? ? ? （用含a的代數(shù)式表示）。

該設(shè)計(jì)的目的是將特殊情景逐漸過渡到一般情景，從認(rèn)知規(guī)律的角度出發(fā)幫助學(xué)生有條理地思考、理解。

（3）甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時向左運(yùn)動，甲的速度是1個單位長度/秒，乙的速度是2個單位長度/秒，求乙追上甲所用的時間。

變式3：甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時向左運(yùn)動，甲的速度是1個單位長度/秒，乙的速度是2個單位長度/秒，求經(jīng)過幾秒乙和甲相距3個單位長度。

師：把變式3中的數(shù)據(jù)“3個單位長度”改成“10個單位長度”又如何解？解法跟變式3一樣嗎？

生4：基本上一樣，但又有所區(qū)別。

生5：由于變式A、B兩點(diǎn)之間原來的距離是5，所以有兩種情景。一種是乙沒有追上甲，另一種是乙追上了甲這兩種情況。而把“3”改成“10”則只有一種情況了，就是乙追上了甲。

師：除了“10”，請?jiān)倥e一個只有一種情況的例子。為什么相距10個單位就只有一種情況？

生6：可以是6、8等，當(dāng)給出的距離大于等于5時，就只有一種情況了。

師：什么時候需要考慮兩種情況，什么時候需要考慮一種情況呢？有什么規(guī)律嗎？

生7：運(yùn)動后甲、乙之間距離小于原來A、B之間距離時有兩種情況，否則就是一種情況。

（4）甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)相向而行，甲的速度是1個單位長度/秒，乙的速度是2個單位長度/秒，求甲乙相遇點(diǎn)表示的數(shù)。

（5）據(jù)上述情境，請自行改編題目并解答。

杜威提倡“做中學(xué)”，使學(xué)校里獲得的知識與自身活動聯(lián)系起來。從那些具有真正教育意義、有興趣的活動中學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生的成長和發(fā)展。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不只是教師簡單地傳授知識，更是一個學(xué)生自主、主動、積極探索的過程。通過變式，加大探索力度，提升思維層次，引導(dǎo)學(xué)生主動形成并完善知識體系，學(xué)會自學(xué)、學(xué)會整理、學(xué)會分類。

學(xué)習(xí)知識的最佳途徑是自主發(fā)現(xiàn)。在自主探究中經(jīng)歷研究對象數(shù)學(xué)意義的建構(gòu)，在不斷試錯中形成思路并加深理解，這樣能夠減少枯燥、機(jī)械地重復(fù)性操作與模仿。引導(dǎo)學(xué)生在思考中擺脫數(shù)學(xué)知識與方法零散、碎片化的態(tài)勢，將頭腦中多個孤立的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)組成微結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)，發(fā)動學(xué)習(xí)動力源，從而形成完整、有效、具體的知識宏結(jié)構(gòu)、方法的區(qū)塊鏈。本環(huán)節(jié)教師通過由特殊到一般層層深入的變式，以及“自主探究為主，教師講解為鋪”的教學(xué)方式，鼓勵學(xué)生自主探究點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動情況，把學(xué)習(xí)還給學(xué)生，把思考的時間交給學(xué)生，把做的機(jī)會留給學(xué)生，把糾錯改正的空間留在課堂。

三、拓展延伸

已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別代表-5、-2、2。兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時相向而行，甲的速度為1個單位長度/秒。

（1）多少秒后，甲到點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的距離和為8個單位長度？

解：設(shè)t秒后，甲到A、B、C的距離和為8個單位長度。

∵d甲→A = td甲→B =? | t —3 | d甲→C =? | t —7 |

∴t+ | t —3 | + | t —7 |=8（對t以3和7為臨界值分類討論）

∴t1=2∴t2=4

（2）若乙的速度為2個單位長度/秒，甲、乙在數(shù)軸上的哪個點(diǎn)相遇？

解：設(shè)經(jīng)過t秒相遇。

∵-5+ t=2—2t ∴t=

∴相遇點(diǎn)：-5+1×=-

（3）在（1）（2）的條件下，當(dāng)甲到A、B、C的距離和為8個單位長度時，甲調(diào)頭返回。甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn);若不能，請說明理由。

①t1=2

設(shè)經(jīng)x秒相遇，∵-3—x =-2—2x

∴x =1

∴相遇點(diǎn)：-3—1×1=-4

②t1=4 甲、乙不能相遇

在數(shù)軸上的相遇點(diǎn)就是甲、乙經(jīng)過t秒所表示的點(diǎn)，可以利用是同一個點(diǎn)來尋找等量關(guān)系，同時在解決含絕對值問題時應(yīng)用分類思想，引導(dǎo)學(xué)生在遇到較為抽象的問題時借助圖示的方法和方程的模型解決。以此加強(qiáng)新舊知識聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生學(xué)到的知識更全面、更徹底，也符合循序漸進(jìn)的教學(xué)原則。

具體情境產(chǎn)生問題導(dǎo)向，動點(diǎn)問題產(chǎn)生分類、分段導(dǎo)向。本題中的情境較為復(fù)雜，主要涉及點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動、離開出發(fā)點(diǎn)的距離如何表示等。當(dāng)動點(diǎn)直接從某一個固定點(diǎn)出發(fā)時，動點(diǎn)離開該固定點(diǎn)的距離只要考慮一種情況，而動點(diǎn)從某一個固定點(diǎn)的一側(cè)運(yùn)動到另一側(cè)時，則需要考慮兩種運(yùn)動情況，進(jìn)行分類討論。進(jìn)一步將運(yùn)動狀態(tài)從“單點(diǎn)單向”的基礎(chǔ)上拓展延伸到“雙點(diǎn)雙向”，將學(xué)生的思考不斷引向深入。本節(jié)內(nèi)容的授課對象是由具體形象思維向邏輯抽象思維過渡的初一學(xué)生，對幾何動點(diǎn)問題的認(rèn)知還處在萌芽階段，學(xué)習(xí)上存在困難。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)有利于學(xué)生感受分類的必要性、理解分類的相關(guān)要素，并敢于在一些思維含量較大的問題的解決過程中嘗試分類，循序漸進(jìn)地展開學(xué)習(xí)。

四、學(xué)以致用

在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來一快一慢兩列火車，快車長AB=2（單位長度），慢車長CD=

4（單位長度）。設(shè)正在行駛途中的某一時刻如圖5，以兩車之間的某點(diǎn)O為原點(diǎn)，取向右方向?yàn)檎较虍嫈?shù)軸，此時快車頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10，慢車頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是14。若快車AB以1個單位長度/秒的速度向右勻速繼續(xù)行駛，同時慢車CD以

個單位長度/秒的速度向左勻速繼續(xù)行駛。

（1）求此時刻快車頭A與慢車頭C之間相距多少單位長度？

A、C之間的距離：14—（-10）=14+10=24

（2）從此時刻開始算起，再行駛多少秒兩列火車行駛到車頭A、C相距8個單位長度？

生1：設(shè)經(jīng)過t秒鐘兩列火車行駛到車頭A、C相距8個單位長度。

Q：∵t+8+t=24∴t=16∴t=

師：該題解答完整了嗎？請兩位同學(xué)現(xiàn)場演示。

演示起始位置： 同學(xué)1←—24—→同學(xué)2（兩位同學(xué)相距24個單位長度）

情況1：同學(xué)1←24—8→同學(xué)2（兩同學(xué)從相距24開始相向而行，相遇前彼此相距8個單位）

情況2：同學(xué)2←24+8→同學(xué)1（兩同學(xué)從相距24開始相向而行，相遇過以后在拉開8個單位）

生2：Q：∵t+t—8=24 ∴t=32 ∴t=

師：對于相向運(yùn)動的問題，不僅要考慮相遇以前的情景，而且還要考慮相遇以后的情景。

（3）此時在快車AB上有一位愛動腦筋的七年級學(xué)生乘客P，他發(fā)現(xiàn)行駛中有一段時間t秒，他的位置P到兩列火車頭A、C的距離和加上到兩列火車尾B、D的距離和是一個不變的值（即PA+PC+PB+PD為定值）。學(xué)生P發(fā)現(xiàn)的這一結(jié)論是否正確？若正確，求出這個時間及定值;若不正確，請說明理由。

師：在兩車行駛的過程中，P到哪些點(diǎn)的距離之和是始終不變的？

演示：把講臺當(dāng)動車，教師站在講臺邊，并來回走動，不要走出講臺的范圍。讓學(xué)生觀察教師到講臺兩邊沿距離之和是否會變。

生1：不變。

師：由此情景聯(lián)想到P到哪些點(diǎn)的距離之和不變？

生2：由于P在快車上，則P到快車的頭、尾距離之和不變，即PA+PB不變。

師：那么PC+PD什么時候也不會變呢？把“戒尺”當(dāng)成慢車，當(dāng)慢車經(jīng)過P點(diǎn)時，P到“戒尺”兩端的距離會變嗎？

生3：不變，說明P的相對位置在“慢車”上，則PC+PD不變。

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)知識的過程是學(xué)習(xí)者建構(gòu)自己的知識的過程，學(xué)生不是被動的信息吸收者。該環(huán)節(jié)通過變“點(diǎn)”為“線段”生成新的課堂資源，輔之以情景演示的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷了動點(diǎn)意義的理解過程，擴(kuò)大學(xué)生的思考范圍，提升學(xué)生的發(fā)散性思維。典型性、啟發(fā)性、漸進(jìn)性的問題鏈實(shí)現(xiàn)了從一題多解到一題多變的過渡，較好地達(dá)成了拓展思維、輕負(fù)高效的目的。

數(shù)學(xué)來源于生活、高于生活、應(yīng)用于生活。在應(yīng)用問題中創(chuàng)設(shè)實(shí)際探究情境，以師生自導(dǎo)自演的教學(xué)方式，呈現(xiàn)出恰當(dāng)?shù)乃夭摹Ｗ寣W(xué)生自己參與模擬場景的表演，既直觀形象，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時還讓數(shù)學(xué)問題生活化，不拘泥于形式，追求“生活味”與“數(shù)學(xué)味”的統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)教育的應(yīng)然理念與課堂教學(xué)的操作觀念正在不斷深入人心和創(chuàng)新發(fā)展，數(shù)學(xué)教師始終繞不開一個核心問題—究竟什么樣的課堂教學(xué)才是良好的數(shù)學(xué)教學(xué)？筆者認(rèn)為，圍繞學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維發(fā)展，能用最簡單的方法、最少的工具解決問題的教學(xué)便是良好的數(shù)學(xué)教學(xué)。本節(jié)課用“數(shù)軸”工具解決相關(guān)的實(shí)際問題，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)軸上“相關(guān)數(shù)學(xué)知識”的橫向聯(lián)系、縱向拓展的過程，引導(dǎo)學(xué)生對已有的知識進(jìn)行反思、重構(gòu)、歸納、總結(jié)，化抽象為具體，化煩瑣為簡潔，提升學(xué)生聯(lián)想、歸納、演繹、建模等能力，不斷發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“量變”到“質(zhì)變”的飛躍，讓學(xué)生“跳得更高、走得更遠(yuǎn)”。

本文系浙江省金華市教育科學(xué)規(guī)劃2021年度研究課題“生本理念下課程育人實(shí)施路徑研究”（課題編號：JB2021298）的階段性研究成果。

（作者單位：1.浙江省義烏市北苑中學(xué);2.浙江省義烏市繡湖中學(xué)）

責(zé)任編輯：胡玉敏