從現實走向教學的初中數學建模課程資源

崔競

數學建模，就是根據實際問題來建立數學模型，對數學模型進行求解，然后根據結果去解決實際問題。在教學中，可以根據特定的研究目的，采用數學的符號和語言刻畫出所研究對象的主要特征、關系，“使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程”。眾所周知，“模型思想”已作為數學課程中應當注重發(fā)展的考查能力之一。數學建模活動的有效開展離不開對各種教學資源進行優(yōu)化組織。下面筆者以“螞蟻莊園中的數學”為例，談談如何將現實形態(tài)的數學建模課程資源變成教學形態(tài)。

一、數學建模課程資源的現實形態(tài)

數學建模課程在實施中離不開真實的問題情境，為了能激發(fā)學生的學習興趣，問題情境應來源于學生身邊，具有一定的趣味性，涉及的問題在初中生最近發(fā)展區(qū)。

螞蟻莊園是支付寶開發(fā)的網上公益活動，網友使用支付寶付款能領取雞飼料，喂雞后獲得的雞蛋能進行愛心捐贈。

利用螞蟻莊園進行數學建模的可行性分析：游戲界面上數據的動態(tài)變化，可以讓學生感受到計算機編程在信息時代的重要性;作為網上公益活動，螞蟻莊園背后的愛心捐贈可以培養(yǎng)學生的社會責任感;手機畫面實時投屏功能可以讓學生全程觀看數據變化過程，讓實驗過程更加具有真實性;在螞蟻莊園中涉及許多知識，比如游戲界面的藝術設計、雞寶寶的服裝設計、莊園小課堂中的中華傳統(tǒng)文化等。

螞蟻莊園游戲中能直接提煉的數據就有許多，例如：1.點擊一次投喂，消耗180g飼料，小雞沒有吃完的情況下無法進行下次投喂;2.小雞吃500g飼料就會產下1顆愛心雞蛋;3.飼料不被偷吃的情況下，每3次喂養(yǎng)就可以產下1顆愛心雞蛋;4.每滿5顆雞蛋就可以捐贈，且捐贈的最小單位為5顆，每捐贈5顆雞蛋獲得1點榮耀;5.螞蟻莊園飼料盒存儲量每獲得5點榮耀值可多存儲180g飼料;6.屏幕會實時顯示剩余飼料吃完需要的時間以及外來小雞已經進食的量。

在螞蟻莊園游戲攻略中，我們還能獲得以下信息：

1.1袋180g的飼料，自家小雞需要5h吃完，進食速度為36g/h。2.外來小雞來莊園蹭食時，自家小雞進食速度不變，外來小雞進食速度為18g/h。3.最多可以同時有兩只外來小雞一起進食。4.加速卡功能：每次用1張加速卡可以縮短自家小雞1個小時的進食時間。

二、數學建模課程資源的教學形態(tài)

在現實形態(tài)的課程資源中，我們可以獲得許多適合的信息，這些信息通過不同程度的加工，可以變成服務不同教學目的的教學內容。在數學建模教學過程中，教師在問題情境中引導學生探索得到的信息量的多少，決定了學生進行數學建模的開放程度。

（一）半開放式數學建模。

案例1. 當你進入這款互動游戲，看到圖1場景，而自家糧食充足，此時多會救濟朋友的小雞。當自家小雞在剩余進食時間3h時邀請了朋友的小雞一起進食，那么兩只雞可以一起愉快地進食多長時間呢？

師問：解決這個問題，需要收集哪些數據？（給學生時間思考，討論。）

討論結束后，學生根據外來小雞進食速度為自家小雞一半以及“剩余飼料總量=進食速度×剩余進食時間”的模型，建立方程模型：3×36=（36+18）x，通過對模型進行求解，可知共同進食2h。點擊救濟卡后，屏幕顯示與計算結果一致，檢驗模型建立有效。

評價：在半開放的數學建模教學過程中，手機、多媒體設備、螞蟻莊園游戲成為學生看得見的課程資源，情境新穎、有趣，能培養(yǎng)學生觀察分析、獲取數據、分析數據的能力。建模結果的反饋，增加了學生解決生活實際問題的信心，讓學生更加真切地感受到數學知識是有用的。

（二）開放式數學建模。

案例2. 打開螞蟻莊園界面顯示外來小雞吃16g、剩余進食時間1小時57分，此時把外來小雞趕走，顯示剩余進食時間3h。請通過實驗分析：外來小雞進園前后，屏幕顯示剩余時間之間的關系。

在開放式數學建模背景下，學生需要思考：

1. 前后剩余時間存在關系嗎？

2. 在什么條件下它們之間會存在關系？

3.需要哪些信息，可以建立它們之間的關系？

4.如何通過實驗的方式獲得相關信息？

5.獲取信息后如何建立兩者之間的模型？

6.你能用數學的方式檢驗你的結果嗎？

在師生共同討論、總結的情況下，完成如下的數學建模過程：

1.問題分析，提出基本假設。

生活常識告訴我們，作為一款游戲，為了公平和程序的可操作性，外來小雞到來前后的剩余時間不應該是隨機的。根據“進食時間=飼料總量÷進食速度”的模型，通過飼料總量建立外來小雞到來前后剩余時間的聯系。為此，我們提出基本假設：外來小雞到來前后剩余飼料總量保持不變，記為S;自家小雞和外來小雞的進食速度在游戲過程中保持勻速，分別記為V1，V2;自家小雞進食剩余時間記為t;自家小雞+1只外來小雞進食剩余時間記為T1;自家小雞+2只外來小雞進食剩余時間記為T2。

2.實驗操作，建立數學模型。

在基本假設的條件下，外來小雞進來前后的剩余進食時間存在函數關系。通過多次實驗，獲得T1（T2）與t 對應的數據如表：

先將上述數據全部轉換成以小時為單位，利用HP圖形計算器中的雙變量統(tǒng)計功能對變量間的函數關系進行數據擬合。擬合結果如下圖所示：

從數據擬合的結果看，T1、T2與t 分別存在一次函數關系，即朋友小雞到來前后進食剩余時間存在一次函數關系，但它們之間的函數表達式不太簡潔，這是什么原因呢？教師拋出問題讓學生去思考，幫助他們體會生活數學與理論數學的差別。

3.模型分析，進行數學化證明。

通過對前后進食剩余時間的數據擬合，初步感受到它們之間的一次函數關系，這種關系建立在自家小雞和外來小雞進食速度保持勻速的假設基礎上。我們同樣可以通過實驗的方式檢驗勻速的假設是否成立。觀察外來小雞進食過程，記錄如下數據：

通過上表數據，借助HP圖形計算器可以推斷：外來小雞的進食速度約3min/g，若將記錄時間精確到秒，會得到更加精確的外來小雞進食速度為0.3g/min。

結果分析：從外來小雞進食速度的實驗分析上，可以發(fā)現時間的對應關系存在一定的滯后性。就外來小雞進食看，時間變化的最小單位為分鐘，進食量的最小單位為g，那么兩者之間的對應關系也就存在一定的客觀誤差。這種誤差也就造成在表1中顯示的進食剩余時間存在近似計算的可能。

由生活常識可知，外來小雞進園后，由一只自家小雞吃變成兩只小雞一起吃，前后進食速度的變化必然引起前后剩余時間的變化。反過來，我們可以根據剩余時間的變化，來推導出前后進食速度的變化，得出自家小雞與外來小雞的進食速度的關系。根據前后飼料總量不變建立方程模型，計算出前后剩余時間的準確函數關系。

通過開放式數學建模活動，學生擁有解決螞蟻莊園問題的基本活動經驗。借助這些經驗，學生可以繼續(xù)對加速卡的功能進行分析，建立小雞成長的快速進階攻略。

三、反思

初中數學建模教學從貼近學生身邊的問題切入，通過理論假設簡化問題背景，活動設置以適合初中生能力水平為準繩，指向學生應用數學解決實際問題能力的提高。教師用數學的眼光發(fā)現生活中的數學建模資源，梳理潛在的現實形態(tài)的課程資源，是數學建模課程資源開發(fā)的起點。教師對課程資源的選取標準要適合學生最近發(fā)展區(qū)，資源的組織形式則由教學目標來決定。教學形態(tài)下的資源的呈現方式從半開放到開放的轉變過程，可以讓學生感受到數學建模就在我們身邊，感受到學術化的數學如何從生活化的數學中抽象出來，從而提高發(fā)現身邊數學的能力。

在開放式數學建模的教學中，學生自行從網絡或其他社會途徑中獲取資源。學生參與資源開發(fā)的經歷，在無形中發(fā)展了他們數據調查的能力。教學形態(tài)下的師生互動，充分突出學生的自主性，發(fā)揮學生在課程資源建設中的主導作用。

總之，在將生活中的現實資源轉變成教學資源后，教師可以鼓勵學生自主去解決現實問題，體會數學建模的價值。在數學建模的過程中，學生不斷增強數學應用意識和應用能力，用數學的眼光看待周圍的世界，懂得從數學的角度去思考問題，解決問題。