數學“解題教學”的實踐與反思

丁稱興

江蘇省溧水高級中學 (211200)

“解題是數學的心臟”，學習數學，關鍵之一就是要學會解題.所謂“解題”，就是揭開“條件”與“結論”之間的內在聯系，或是探索“已知”如何導出“未知”.數學解題通常有四個階段：理解題意→思路探究→書寫解答→回顧反思.理解題意就是審題，這是整個解題工作的第一步，而且貫穿于解題的始終.思路探究就是尋找從“已知”到“未知”的方法與途徑.筆者認為：好的解題教學應從以下幾個方面來開展.

一、要突出學生學習的主體地位

課堂教學的目的，在提高學生知識水平的同時，也要提高學生的數學素養和數學能力.在課堂教學中，要通過教學設計，引導學生積極參與問題的分析、解決過程，更要鼓勵學生積極思考，從多角度思考問題.

課堂上筆者給出這道例題后，學生給出了以下幾種解法.

方法4：由于(sin15°-cos15°)×(sin15°+cos15°)=sin215°-cos215°=-cos30°，所以原式的分子、分母同時乘以sin15°-cos15°得

還“老師的精辟分析、講解”于“學生的自主思考、探究”，做到教師主導與學生主體有機結合.多種解法揭示問題的本質：化“非特殊角”為“特殊角”，體現了轉化的數學思想.在教學中能夠通過問題的解決揭示數學問題的本質，就能讓學生具有一雙透過現象看本質的“慧眼”，學生的思維能力就能得到充分的發展，使問題的解決變得簡單而自然.

二、教會學生思考問題

1.扎實的基礎才能產生豐富的聯想

波利亞說：貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本.數學是充滿聯系的科學，我們應該抓住一切可能的聯系進行聯想與轉化.引導學生學會聯想和轉化是提高解題能力和認識數學思維特征的一個重要方法.

A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1

分析1：大部分學生看題后第一反應是把點M代入直線方程，再想下一步.注意到等式中正、余弦的線性結構關系，可聯想用輔助角公式合并化簡求解.

分析2:聯想圓的參數方程，轉化成直線與圓的位置關系問題.

分析3：觀察四個選項的二次特征，聯想柯西不等式進行正余弦和參數a,b的分離.

解題教學中，我們不僅需要關注這道題目怎么解，更需要關注這道題目所蘊含了哪些知識與方法.通過對這道題目的深入研究，學生能很好地對原有知識體系進行查漏補缺，達到一題遷移一片，解決一類題的目的.

2.解題分析起步于觀察角度的變化

觀察是指有目的、有計劃、較持久的知覺過程，觀察具有目的性、客觀性、敏銳性、精細性和全面性.解題分析起步于對問題的有效感知與觀察，只要善于變換角度，仔細觀察，抓住要害特征，聯想大腦里已存在的知識與技能信息，就能較快地形成解題方案.

解題教學中,教師必須讓學生真正參與其中,及時地根據學生的信息反饋,對解題過程做出正確調控,盡量沿著學生的思維軌跡,對思維開展做出調控.特別是當學生的思路與教師原先的設想有差距,但對深入地理解問題又具有一定價值時,教師要因勢利導,幫助學生分析思路受阻的原因,教會學生尋求出路的方法,引導學生分析方法的優劣.只有這樣,才能使不同層次的學生的解題能力得以提高.

3.教師真實暴露自己的思維過程

德國教育家第斯多惠曾經說過:一個好的教師應該教人去發現真理.這就是說，教師講題始終要堅持分析地講,要充分暴露解題途徑的尋找過程,“為什么要這樣做”比“就這樣做”更重要.而有的教師常常忽視這一點,解題時總是演示“成功”,思路、方法一想就很正確、很巧妙,從不展示“失敗”,展示在思路和方法碰壁時怎么辦,如何從有限次失敗后得到正確的思路和方法,其結果只能是教師講得精彩,學生聽得輕松,但碰到條件稍加變化的問題便束手無策.日積月累,學生就不會獨立地思考和克服困難,當然也不會有獨立的解題能力.

案例4若a,b,c成等差數列，點P(-1,2)在直線l:ax+by+c=0上的射影為M，則點N(2,0)到點M的距離的最大值為.

圖1

思路二：如圖1,嘗試著畫圖，就會有下面的猜想：如果直線l:ax+by+c=0過定點Q，則射影點M的軌跡就是“以PQ為直徑的圓”.一旦這個猜想是正確的，那么問題就很好解決了.緊接著就開始研究直線l:ax+by+c=0是否過定點.利用2b=a+c，代入直線l方程，可得ax+by+2b-a=0，所以a(x-1)+b(y-2)=0，從而得出直線l恒過定點Q(1,2).故射影點M的軌跡就是“以PQ為直徑的圓”，其方程為x2+(y-2)2=1.下面的問題就很容易就解決了.

學會從多角度思考問題(特別是從數、形兩個大的方向).以形助數，數形結合——解題之美，美就美在畫圖之后，借助圖形的直觀，使人產生豐富的聯想，有了解題的靈感，尋找到了解題的思路，從而使問題的解決進行的很順利，達到了從“數”的角度思考所無法達到的高度.同時也體現了數學“猜想”之美，解決問題時的“特殊與一般”的辯證之美.

在尋求解題思路時,要讓學生逐步學會怎樣分析,怎樣判斷,怎樣推理,怎樣選擇方法,怎樣解決問題,注意展現:(1)解題的思維過程,使學生的思維與教師的思維產生共鳴,使教師的思維為學生的思維過渡到科學的思維架起橋梁,變傳授過程為發現過程;(2)嘗試探索發現的過程,把失敗過程和失敗到成功的過程暴露出來,從反思中使學生看到轉變思維的方向、方式、方法和策略,縮小探索范圍,盡快獲得發現的成功,這在發展思維能力上無疑是一種很好的體驗和進步.

4.善于應用數學思想方法指導解題

“思想方法”是數學的靈魂，數學思想是學生對數學規律更進一步的掌握和認識，它指導著學生分析問題、解決問題并具體地體現在解決數學問題的不同方法中，掌握好數學思想也就是掌握了數學的靈魂，比單純的掌握數學知識用處更大.

案例6 已知關于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解，則實數a的值為.

許多學生拿到題目一籌莫展，無從下手.如果你從函數的“兩域四性”這個角度去仔細觀察，不難發現函數f(x)=x2+2alog2(x2+2)+a2-3是R上的偶函數，由偶函數圖象的對稱性可知：若f(x)=x2+2alog2(x2+2)+a2-3有一個零點，則只能是x=0，那么問題就迎刃而解.

數學的學習不僅是指數學知識的獲得與積累，更重要的是使個體形成良好的數學認知結構，形成有序的、起作用的、有著生長點和開放面的認知結構.數學思想方法就是一個很好的切入點：(1)強化數形結合意識，進行直觀感知；(2)強化化歸意識，分散難點，實現多題歸一；(3)學會用函數觀點看待方程與不等式問題，突出體現函數方程思想.

三、解題教學的反思

數學解題的基本思維模式：觀察——聯想——變換.在數學解題教學中，我們不僅需要關注這道題怎么解，還需關注這道題還有沒有其他的解法.通過教師引導，學生嘗試從不同角度、不同方向分析問題，從而得到不同的解法.這對開拓優化學生的解題思路、拓寬學生的視野、提升學生思維的靈活性有很好的幫助.當然，教師在講解題目時一定要突出學生學習的主體性，提高課堂學生的參與度，讓學生成為課堂的真正主人.好的解題教學除關注以上幾個方面外，筆者認為還需兼顧以下幾點：

1.突出數學思想方法的提煉

布魯納說過：掌握數學思想方法可使得數學更容易理解和更容易記憶,更重要的是領會基本思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”.因此，解題過程中,教師應有目標、有計劃地引導學生體會、提煉其隱含的數學思想、方法,使學生在接受知識的同時,受到數學思想方法的熏陶和啟迪,這樣才能把提高學生的能力落到實處.

2.尊重學生的思維選擇

教學活動遵循內在規律,只有當一切外在事實(知識)通過教師的主導作用,最后被主體(學生)認識之后,這外在的東西才會為主體真正占有,這種轉化只有在參與實踐中才能體會并完成.

3.正確處理好通法與巧法的關系

所謂通法,就是在解決問題(通常是某類問題)中具有普遍意義的方法.這種方法通常是以基礎知識為依據,以基本方法為技能,它的解法思想合乎一般的思維規律,其具體操作過程必須為全體學生所掌握.巧法,著眼于提高.巧法的靈魂在于“巧”,即在于它整體地把握問題,靈活地運用雙基,巧妙地使用條件,是抽象、概括、發散、合情推理的產物.當然,作為教師必須認識到,巧法中的“關鍵一著”有不少不屬于學習內容的主體,更有不少是一般學生不易掌握的,加之“巧”便意味著運用面相對過窄,影響面小,所以教學中教師必須立足通法,兼顧巧法.

4.重視對典型錯誤的辨析

筆者認為,教師有意識地給學生設置解題陷阱,讓學生陷進去,把典型錯誤暴露出來,引導學生積極思考,探索出正確的解題途徑,是消除錯誤、治根治本的有效方法.教學的理論與實踐表明,處理學生的解題錯誤,有很強的藝術性,處理得好,可讓學生從錯誤中悟出新意,感受到探究問題的樂趣,從中學到比原間題更深更廣的內容,既增強防止錯誤的免疫力,又能發展學生的智力.

解題教學是一門科學,也是一門藝術.“解題活動是學生在數學學習中最具有獨立性的創造性活動,它對發展學生的思維,培養學生的能力,促進學生良好品質結構方面具有重大的作用.