多元雙重最值問題的解法探究

談世勇 馬文政

安徽省合肥一六八中學 (230000)

形如求max{min{f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)}}等的問題稱為“雙重最值問題”．按其變元的個數可分為一元雙重最值問題和多元雙重最值問題.其中雙重最值問題綜合性強，難度大，能力要求高.筆者從熟題入手，總結歸納了九種方法，幫助學生提高解決此類問題的能力.

1.利用絕對值不等式

利用絕對值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求最值，主要是求一些含有雙絕對值函數的最值問題，比寫成分段函數求最值簡單.

例1 求函數f(x)=|x2-a|在區間[-1,1]上的最大值Μ(a)的最小值．

點評：對于解決函數形如f(x)=|ax2+bx+c|,x∈[-1,1]的雙重最值問題時，一定是取x=0,x=±1對應的函數值，它們都比最大值小，然后利用絕對值三角不等式求出.

2.利用均值不等式

利用均值不等式求最值，關鍵在于“拆、拼、湊”，將條件或待求式變形為“和或積”是定值.常見的變形技巧有轉化符號、拆補項、配湊系數等.

點評：觀察發現三個式子的積可以用均值不等式輕松求出最小值，當然本題目也可以用三個式子的和來求最小值的.

3.利用柯西不等式

柯西不等式在不等式證明中占有重要的地位，柯西不等式在高中數學競賽中有會成為“?？汀保叶S、三維柯西不等式在高中數學中的代數、幾何、三角等各個方面都有聯系，熟悉這些聯系能本質地把握不等式，并更自覺地應用它們.

點評：柯西不等式可以解決整式，分式，與根式的最值問題，通過觀察發現分母之和為定值，這恰好就是柯西不等式解決分式的功能.

4.消元法

多元雙重最值可以通過消元，使多元變為一元，然后通過構造函數解決問題，類似立體幾何中的降維，將三維轉化為二維問題來處理.

點評：通過觀察，對比可以發現，最快的是將Μ=max{x1+x2,x2+x3,x3+x4,x4+x5}迭加，最大化的消元，而且留下的變量最少越便于后面的再消元.

5.構造函數

構造函數是高中解決最值問題的常用方法之一，構造函數需把握兩點:一是掌握一些函數模型，二是能夠轉化到已有的函數模型.

例5 設a，b，c∈R，f(x)=x3+ax2+bx+c(-1≤x≤1)，求min{max|f(x)|}．

點評：此類問題為切比多項式的逼值問題，從取點到最后的調節系數，都是用已有的結構，本質上是用端點與極值點配合絕對值進行放縮求值.

6.利用韋達定理

韋達定理是高中數學中求最值的方法之一，由已知題設中變量之間的關系，利用韋達定構造二次函數，然后實行消元.

例6 若a，b，c>0且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求min{max{a,b,c}}．

點評：通過兩根的“和”與“積”構造函數，設置a為三者中的最大值，構成根分布的范圍，從而問題得到解決.

7.分類討論

分類討論作為高中數學常用的方法，主要是從那分類，然后再合的過程.先“分”后“合”，把握好分類的節點，往往事情就比較好的解決了.

點評：從a,b大小關系開始分類，最后再合并起來，分類的關鍵點才是分類討論中最為重要的.

8.待定系數法

待定系數法是高中數學常見的方法之一，先設出系數，通過題設中的條件將問題解決.

點評：通過題設引入參數，通過基本不等式的性質進行消元，抓住等號成立的條件，將系數解出來，其主要的難度是調節系數的過程，可以用設參來完成.

9.數形結合

“數”體現了精準，“形”體現了直觀.二者結合問題能完美的解決.

圖1

例8 (2014浙江競賽)若a>0，b∈R且max{min{2x+4,ax2+b,5-3x}}=2，求a+b．

解：在同一坐標系中畫出f1(x)=2x+4，f2(x)=ax2+b，f3(x)=5-3x的圖像，如圖1,則由圖1可知當且僅當f2(x)過Α(-1,2)，Β(1,2)時，才有max{min{2x+4,ax2+b,5-3x}}=2，所以a+b=2．

點評：利用小函數的定義，取兩個函數圖像下方的部分，組成新的函數，然后再求函數的最值.