把握數學本質 豐富教學內容 提升課堂品位
——《類比推理》課堂教學與感悟

趙 勤 鄭寶生

江蘇省無錫市立人高級中學 (214161)

我區名師工作室、希望之星班聯合活動在我校進行，其中兩位教師上了同一個內容的課《類比推理》，所選用教材是蘇教版普通高中數學選修2-2．本節課有相似情景引入，相似的典型例題，相似的課堂結構，看似相差無幾，實則相距甚遠，到底是什么原因導致有這樣大的反差？以下是本人對這兩節課的對比和思考．

一、教學摘錄

1．概念形成環節

教師甲的教學摘錄：展示“魯班造鋸”的故事，然后讓學生回憶等式性質和不等式性質的類比．教師歸納說明這些就是類比推理，并給出類比推理的概念，說明類比推理的特征，類比推理的方法步驟：觀察比較——聯想類推——猜測新的結論．接下來教師列舉了一些生活中的例子：螢火蟲——日光燈，蝙蝠——雷達，魚——潛水艇；數學中的例子：加法類比乘法，減法類比除法、乘法類比乘方、等差數列類比等比數列，讓學生感受這些知識之間的關系．

教師乙的教學摘錄：(1)回顧歸納推理的概念及特征．(2)首先教師繪聲繪色的講述魯班造鋸的故事，讓學生體會“魯班造鋸”的思路和方法，感悟這種推理方法和歸納推理的不同之處．其次利用科學家根據地球上有生命，猜想火星上有生命，為什么？教師讓學生思考科學家推理的依據，進一步感悟類比推理的特征，引導學生嘗試說出類比推理的特點，然后補充完善形成概念．接下來提出兩個問題，問題一：請同學們舉出幾個類比推理的例子．在教師的引導下，師生共同舉出例子：魚沉浮——潛水艇，章魚——煙霧彈，蒼耳屬植物——尼龍搭扣，蒼蠅的翅膀——平衡儀等．問題二：談談你對類比推理的感受？然后引出名人名言，波利亞感嘆：類比是偉大的引路人，求解立體幾何往往有賴于平面幾何中的類比問題；拉普拉斯說：即使在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比；開普勒說：我珍視類比勝于任何的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的．

2．數學運用環節

教師甲的教學過程摘錄：(1)例1試將平面中的圓與空間中的球類比：圓的直徑——球大圓，圓的弦——球的截面圓，圓的周長——球表面積，并指出“與圓心距離相等的弦相等”，“圓的切線垂直于經過切點的半徑”，“圓的方程”等類比球中的命題．(2)鞏固練習：①矩形的相鄰兩邊長和對角線的關系類比長方體相鄰三條棱和體對角線的關系，②若干杯甜度相同的糖水倒在一起甜度不變，類比一個等式，③在一杯糖水中加入糖變甜，類比一個不等式；④在平面中若兩個正三角形的邊長比是1：2，則面它們的積比是1：4，類比到空間兩個正四面體的邊長比是1：2，體積比是什么？⑤在平面幾何里，直角三角形三邊符合勾股定理，類比到空間的三棱錐，你可以得到哪些性質？(3)課堂小結：類比推理的方法，步驟．

教師乙的教學過程摘錄：(1)(波利亞的類比)加法的運算性質類比乘法的運算性質：交換律、結合律等，加法中a+(-a)=0，類比到乘法類似性質是什么？加法中a+0=a，類比到乘法是什么性質？為什么這樣類比？(2)試將平面中的圓與空間中的球類比：先從圓和球的相關概念類比：圓的直徑——球大圓，圓的弦——球的截面圓，圓的周長——球表面積，然后讓學生思考“與圓心距離相等的弦相等”，“圓的切線垂直于經過切點的半徑”等類比球中的命題分別是什么？“圓的方程”類比球的方程是什么？(3)正三角形中內切圓的半徑是高的三分之一，類比到空間中正四面體的內切球的半徑與高的關系是什么？學生回答：四分之一，三分之一、八分之一......，此時教師引導學生類比內切圓半徑的求法，求出正四面體的內切球的半徑.一方面讓學生意識到類比推理不一定正確，另一方面又把類比推理的思想方法上升到一個更高層次——思想方法的類比．(4)課堂小結：類比推理的策略方法，類比推理和歸納推理的區別和聯系．

從課堂情況來看，教師甲的課堂平淡枯燥，學生不感興趣，而教師乙的課堂生動豐潤，學生興趣盎然，教學效果差別很大．那么問題的癥結在哪里呢？

二、幾點感悟

1．理解數學知識的本質，把握學生的思維起點，調動學生的學習積極性

在評課時，教師甲說：這節課的內容實際上在前面學習中經常遇到，重點就是對以前遇到過的類比推理進行歸納和總結．教師乙說：我認為這節課要解決的重點是類比的原理、方法和類比的價值和意義．

從兩位教師課堂教學和發言我們注意到，正是兩位教師對教材、學生和課堂教學的不同理解決定了教學效果．首先是對教材的理解，教材中魯班是通過齒形草能割破行人的腿，推理出“鋸子”能“鋸”開木材，其本意是把人腿比做木材，把齒形草比做鋸子，齒形草與鋸子的功能是一樣的，則其形狀也應該一樣的；同樣把等號比做不等號，則它們的性質也可以做類似的比較．然而教師甲是按照教材照本宣科進行的，沒有體現教材的真實意圖，凸顯人腿比做木材，齒形草比做鋸子，等號比做不等號，也沒有把這兩個例子進行歸納和抽象，找到其共同的屬性．其次是對學生的理解，按照教師甲的說法，這節課的內容是學生們熟悉的，站在類比推理的角度來看，學生們所熟悉的對他們來說恰恰是未知的，所以我們要引導學生從推理的角度深入思考問題．最后是對課堂教學的理解，我們尊重教材，但不能照本宣科，要考慮到數學知識的關鍵點與學生的興趣點最大程度的融合，就像教師乙一樣，從對生命的關注，到對仿生學的思考，再上升到名人名言的教誨，這些對學生來說既有興趣又能體現類比推理的本質屬性，才能更好地調動學生的學習積極性，讓更多的學生參與課堂教學，使學生從被動地接受轉變為主動地探求，真正實現學生在課堂教學中的主體地位．

2．在認知沖突中體現知識產生的必要性，利用數學文化的力量，激發學生的學習興趣

數學學科核心素養本質上反映的是數學的思維品質，啟發學生思考是數學教學的核心.對比兩位教師的課堂教學，在概念形成環節，盡管都用了魯班造鋸的故事，但是教師甲只是把例子展示出來，沒有讓學生去思考齒形草和鋸子形狀的相似推理他們功能的相似，缺少事例的支撐和問題的思考，形成數學概念變成了可望而不可及的事情，教師只能自己告知學生這就是類比推理．后面的例子，沒有讓學生思考“螢火蟲——日光燈，蝙蝠——雷達，魚——潛水艇”這些問題類比的依據是什么，“加法類比乘法，減法類比除法、乘法類比乘方、等差數列類比等比數列”，為什么這些對象之間可以類比，而僅僅是讓學生了解和感受.教師乙首先讓學生回顧歸納推理，然后以講故事的形式呈現“魯班造鋸”的過程，當學生發現它不再是歸納推理時，就產生了認知沖突，問題驅動思考，教師引導學生去發現這種推理的特征，抓住齒形草和鋸子形狀的相似，推理出功能的相似，再通過“火星和地球的類比”涉及到天文地理等科學知識，調動了學生興趣，引發學生進一步思考這種推理的特征．因此類比推理的概念形成也就呼之欲出、水到渠成．后面探討的類比推理的例子始終讓學生思考兩個(或兩類)對象有何相似？為什么可以類比？從哪些方面進行類比？讓學生在問題中思考感悟類比推理的本質特征．仿生學的例子增強了學生對類比推理的認識，體現了學習類比推理的必要性，名人名言展示了類比推理的功能和數學文化的魅力．

3．挖掘概念的內涵和外延，豐富教學內容，提升課堂品味

在類比推理的概念形成之后，教師甲照搬課本給出類比推理的方法步驟：觀察比較——聯想類推——猜測新的結論．后面數學運用環節，雖然從數學上和生活上兩方面舉出例子讓學生思考，但是因為在概念形成環節，沒有讓學生經歷從特殊到一般，從現象到本質的抽象過程.在圓和球的類比中，也沒有深入思考這兩個事物從形式到本質的相似和聯系，缺少了對數學概念的準確理解和把握，學生的猜測就沒有了方向．教師乙深入地剖析了概念的內涵和外延，挖掘教材內容背后所隱藏的鮮活的數學思想，在圓和球的的類比過程中，首先問學生“為何把圓和球類比？”，當學生回答“他們長得像”后，教師引導學生從形狀相似到圓和球的概念的相似及不同，從而讓學生感受到兩類對象本質上的聯系與區別，讓學生體會到這是從二維到三維的類比，從兩類對象相關概念的類比再深入到性質的類比，在此基礎上把平面直角坐標系類比到空間直角坐標系，引導學生從形式上和概念上思考由圓的方程類比球的方程.接下來的問題：正三角形中內切圓的半徑是高的三分之一，類比到空間中正四面體的內切球的半徑與高的關系是什么？當學生僅僅從形式上和概念上類比推理出現多個不同答案時，到底哪一個正確？學生產生了困惑，這樣一方面讓學生意識到類比推理的結論不一定正確，另一方面又自然把類比推理上升到更高的層次——思想方法的類比.至此，解決類比問題的思想方法脈絡清晰的呈現出來．從一維直線到二維平面，再到三維空間，通過類比可以發現許多命題．數學概念是數學知識的凝練，體現了數學的本質，數學抽象可以把數學問題符號化和形式化，而概念類比和形式類比可以讓我們獲得更多的結論；數學思想方法的類比能幫助我們解決更多的問題．類比推理的細化豐富了數學課堂教學內容，提升了課堂教學的品位．