直觀想象素養(yǎng)下一道2020高考試題的解法探析

江智如 葉 蓉 蔡 珺

福建省南平市高級(jí)中學(xué) (353000)

1.試題呈現(xiàn)

(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第11題)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0．直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為( )．

A．2x-y-1=0B．2x+y-1=0

C．2x-y+1=0D．2x+y+1=0

2.試題分析

試題依托直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的切線相關(guān)知識(shí)，考生可以從圓的幾何性質(zhì)角度思考求解，通過(guò)數(shù)學(xué)閱讀，分析試題的圖形信息，運(yùn)用圓的圖形相關(guān)性質(zhì)結(jié)論，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的方法與思路[1]．考查考生數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力．本文在直觀想象素養(yǎng)下，對(duì)本試題的解開展探析．

3.試題解析

3.1 幾何法

思路分析:借助直線與圓的圖象，利用圓的切線幾何性質(zhì)求解．

圖1

2，所以⊙M與直線l相離．如圖1作出直線l與⊙M的圖象，連接AB，PM，交于點(diǎn)N．因?yàn)镻A，PB為⊙M的切線且點(diǎn)P在⊙M外，所以由圓的性質(zhì)得PM⊥AB且點(diǎn)N為AB中點(diǎn)，從而|PM|·|AB|=

2|PM|·|BN|．又在△PBM中，MB⊥PB，由面積法得|PM|·|BN|=|PB|·

評(píng)析:試題由于動(dòng)點(diǎn)較多，如果直接采用坐標(biāo)法求解|PM|·|AB|的最小值，計(jì)算量大，不易求解．所以解法1考慮通過(guò)圓與直線的圖形關(guān)系，利用圓的切線幾何性質(zhì)與直角三角形的幾何性質(zhì)，把兩個(gè)“配角”動(dòng)點(diǎn)A，B化歸轉(zhuǎn)化為“主角”動(dòng)點(diǎn)P，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心M到直線l的距離，得到AB∥l關(guān)系，最終得到結(jié)果．由于利用直線與圓的幾何性質(zhì)，求解過(guò)程中減少計(jì)算量，減輕考生的計(jì)算負(fù)擔(dān)，考查考生數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．解法1要求考生具有扎實(shí)的幾何功底，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力與潛能[2]，體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能，實(shí)現(xiàn)對(duì)考生直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升．

3.2 托勒密定理法

思路分析:因?yàn)镻M，AB是四邊形PAMB對(duì)角線，所以考慮利用托勒密定理求解．

托勒密(Ptolemy)定理：在任意平面凸四邊形ABCD中，均有AB·CD+AD·BC≥AC·BD，當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共圓時(shí)，等號(hào)成立．它揭示了平面凸四邊形中對(duì)邊和對(duì)角線之間的數(shù)量關(guān)系，廣泛應(yīng)用于解決幾何與代數(shù)的問(wèn)題[3]．

評(píng)析:解法2運(yùn)用托勒密(Ptolemy)定理把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|PM|的最小值，然后利用圓的切線性質(zhì)求解最終結(jié)果，計(jì)算量小，技巧性強(qiáng)，需要考生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能與繼續(xù)學(xué)習(xí)的能力，體現(xiàn)考生數(shù)學(xué)思維與素養(yǎng)的差異．托勒密(Ptolemy)定理雖然不是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，但在各類競(jìng)賽和高考中，都有它的身影，如2008年高考重慶卷理科第4題[3]，2018年4月福建省質(zhì)檢理科第16題[3]等，可以引導(dǎo)考生以“高觀”的視角來(lái)學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，拓寬學(xué)習(xí)的視野，培養(yǎng)考生自主探究的能力，為考生的繼續(xù)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)基礎(chǔ)，提升綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

4.解法啟示

試題語(yǔ)言精煉，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，依托幾何圖形，建立形與數(shù)的聯(lián)系，將圓的定義、圓的切線、弦的性質(zhì)等知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，在重視對(duì)解析幾何基礎(chǔ)理論知識(shí)考查的同時(shí)，側(cè)重考查了考生數(shù)形結(jié)合思想和化歸轉(zhuǎn)化思想．試題已知條件的設(shè)計(jì)符合考生的學(xué)習(xí)實(shí)際，給考生提供了多種分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路，引導(dǎo)考生通過(guò)有效的數(shù)學(xué)閱讀，利用直觀思維抓住圓的幾何性質(zhì)本質(zhì)，在剖析問(wèn)題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，追求簡(jiǎn)潔的解題方法，力求解法來(lái)源于教材和已學(xué)知識(shí)，又高于已有知識(shí)，同時(shí)能夠區(qū)分不同層次的考生，體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能，符合《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》對(duì)解析幾何內(nèi)容的教學(xué)要求．在日常的教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練，設(shè)置有效的“精致練習(xí)”[4]，培養(yǎng)考生獨(dú)立思考的習(xí)慣，發(fā)展幾何直觀與空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀與空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)，形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)．