從一道函數(shù)零點(diǎn)試題管窺函數(shù)與方程的教學(xué)*

陳小紅

江蘇省常州高級(jí)中學(xué) (213003)

函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫．方程與函數(shù)是密切相關(guān)的，并且相互為用，如解方程f(x)=0就是求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)，也就是求函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．而函數(shù)與方程在現(xiàn)行高中教材中是以知識(shí)內(nèi)容和思想方法兩種不同的形式來(lái)呈現(xiàn)的，函數(shù)與方程教學(xué)也要不斷地在函數(shù)與方程問(wèn)題之間轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了較高的靈活性，同時(shí)也有一定的復(fù)雜性．本文以一道函數(shù)零點(diǎn)試題為例，通過(guò)對(duì)它的多種解法的解讀，談一談對(duì)函數(shù)與方程的教學(xué)啟示．

題目已知a,b∈R，若存在b∈[-3e,-e2]，使得函數(shù)f(x)=ex-ax-b在[1,3]上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

解法1：設(shè)g(x)=ex-ax，其中x∈[1,3]，且g(x)的值域?yàn)锳，設(shè)集合B=[-3e,-e2]，則A∩B≠?．因?yàn)間(x)=ex-ax，所以g′(x)=ex-a．

當(dāng)a≤e時(shí)，g′(x)>0對(duì)x∈(1,3)恒成立，且g(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增，又g(x)在區(qū)間[1,3]上圖象不間斷，則A=[e-a,e3-3a]?[0,+∞)．此時(shí)，A∩B=?，矛盾；

當(dāng)a≥e3時(shí)，g′(x)<0對(duì)x∈(1,3)恒成立，且g(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減，又g(x)在區(qū)間[1,3]上圖象不間斷，則A=[e3-3a,e-a]?

(-∞,e-e3]．此時(shí)，A∩B=?，矛盾；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[e2,4e]．

點(diǎn)評(píng)1：在解法1中，因?yàn)閰?shù)a影響函數(shù)g(x)的單調(diào)性，因此g(x)值域的表達(dá)形式也應(yīng)分成三類，其中兩類可通過(guò)觀察得g(x)的值域與區(qū)間

[-3e,-e2]無(wú)公共元素．在第三類中，g(x)的值域與區(qū)間[-3e,-e2]有公共元素的情形比較多，但其反面情形比較少，所以可以先考慮反面，即使用“正難則反”的運(yùn)算策略．利用集合的運(yùn)算來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題關(guān)鍵是集合運(yùn)算模型的建立，而難點(diǎn)是已知含參集合與區(qū)間[-3e,-e2]有公共元素求參數(shù)a．

解法2：原條件等價(jià)于不等式-3e≤ex-ax≤

圖1

結(jié)合前面兩個(gè)方面，可以知道e2≤a≤4e．

當(dāng)e2≤a≤4e時(shí)，結(jié)合g(x)和h(x)的圖象(如圖1所示)知，直線y=a必定與g(x)和h(x)中的某函數(shù)的圖象相交，如圖1中的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)就是不等式g(x)≤a≤h(x)的一個(gè)解．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[e2,4e]．

圖2

點(diǎn)評(píng)3：在解法3中，要注意以下幾點(diǎn)：其一，當(dāng)固定曲線段MN上一點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)與點(diǎn)Q的連線的斜率大于該點(diǎn)與點(diǎn)P的連線的斜率，所以求斜率a的最大值，即求點(diǎn)Q與曲線段MN上點(diǎn)的連線的斜率的最大者；求斜率a的最小值，即求點(diǎn)P與曲線段MN上點(diǎn)的連線的斜率的最小者；其二，求斜率a的最大值，一定要注意比較MQ與NQ的斜率的大小，這是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度比較“快”，如果不借助于幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件作圖，很可能會(huì)求錯(cuò)最大值，比較這一過(guò)程恰能體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”中“數(shù)”的精確性．

圖3

點(diǎn)評(píng)4：解法4可以認(rèn)為是解法3的改進(jìn)，曲線段的上下平移恰好掃過(guò)一個(gè)平面區(qū)域．解法4斜率模型的建立要比解法3中的斜率模型的建立難度更大一些，但更容易理解．

結(jié)合前面的幾種解法，筆者對(duì)函數(shù)與方程的教學(xué)提出了以下幾點(diǎn)啟示：

第一、注意常見模型的積累，靈活運(yùn)用模型，實(shí)施轉(zhuǎn)化化歸．

這里的模型是指解特定數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)框架或結(jié)構(gòu)，或常見的某類問(wèn)題．例如，解法1轉(zhuǎn)化成了集合運(yùn)算的模型，即已知兩個(gè)集合交集非空，求參數(shù)問(wèn)題；解法2轉(zhuǎn)化成不等式有解的模型，最終轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題；解法3和解法4轉(zhuǎn)化成直線的斜率模型，通過(guò)分析直線的動(dòng)態(tài)變化，求斜率的取值范圍．

第二、注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，重視形的直觀，重視數(shù)的精確．

在思考和解決函數(shù)與方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，對(duì)于某些從表面上看來(lái)，與圖形不相關(guān)的問(wèn)題，有時(shí)可以從某種特定的角度，畫一個(gè)圖形、圖象或示意圖，把所討論的問(wèn)題給以幾何直觀地描述，往往會(huì)對(duì)問(wèn)題的求解提供很多有益的啟示，借助圖形常?？梢园褑?wèn)題中的數(shù)量關(guān)系揭示得更加直觀形象，“圖”可以幫助思考，把抽象的東西變得直觀，從而使得解題思路變得簡(jiǎn)單明了．從前面的解法2的檢驗(yàn)過(guò)程、解法3和解法4都能體會(huì)到圖形的直觀性，易于問(wèn)題的解決．但比較突出的一個(gè)問(wèn)題是，對(duì)函數(shù)與方程的教學(xué)，不少教師側(cè)重于用形來(lái)處理數(shù)的直觀性，而用數(shù)處理形的精確性往往被忽視，學(xué)生也往往忽視．例如，筆者與一個(gè)學(xué)生交流時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生采用的是解法3解決的，直接畫了一個(gè)示意圖(畫出的指數(shù)函數(shù)圖象增長(zhǎng)的速度“較慢”)，沒有與NQ的斜率進(jìn)行比較，就直接認(rèn)定MQ的斜率就是最大者．雖然結(jié)論也是對(duì)的，但具有偶然性．因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)增長(zhǎng)的速度“很快”，所以需要比較兩斜率的大小，否則很容易出錯(cuò)．筆者尤其記得一個(gè)填空題極為典型，即問(wèn)方程2x=x2的解的個(gè)數(shù)時(shí)，不少同學(xué)覺得指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度比二次函數(shù)增長(zhǎng)速度“快”，隨手畫了示意圖，得出兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，即解的個(gè)數(shù)為1的錯(cuò)誤結(jié)論．利用數(shù)來(lái)輔助對(duì)形的認(rèn)識(shí)，也是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)重要方面，應(yīng)引起重視．加強(qiáng)對(duì)“數(shù)能入微”價(jià)值的挖掘，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維習(xí)慣大有裨益．

第三、注意轉(zhuǎn)化化歸的等價(jià)，分析前后關(guān)系，防止邏輯偏差．

轉(zhuǎn)化與化歸幾乎貫穿于數(shù)學(xué)解題的始終，函數(shù)與方程的問(wèn)題的解決也不例外．但是值得注意的是，要關(guān)注轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，分析轉(zhuǎn)化前后的關(guān)系，防止出現(xiàn)邏輯偏差．很多時(shí)候，有一些不等價(jià)的轉(zhuǎn)化較為隱蔽，不容易被發(fā)現(xiàn)，邏輯上會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)．

常見的邏輯偏差包含以下兩種情形但不局限于這兩種情形：其一，不能理解條件的充分必要性導(dǎo)致的所求范圍擴(kuò)大是比較常見的邏輯偏差．例如解法2中需要有檢驗(yàn)的過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是檢驗(yàn)a的范圍的充分性．而這個(gè)檢驗(yàn)過(guò)程是必要的，理由如下：關(guān)于x的不等式h(x)≤a≤g(x)在[1,3]上有解，可以得到兩個(gè)不等式h(x)≤a，a≤g(x)在[1,3]上有解，這是從整體到局部的推理，從不等式組有解可以推出兩個(gè)不等式有解，因此這個(gè)轉(zhuǎn)化是正確的．但這個(gè)轉(zhuǎn)化不一定是等價(jià)轉(zhuǎn)化，因?yàn)閺膬蓚€(gè)不等式h(x)≤a，a≤g(x)在[1,3]上都有解，不一定能得到h(x)≤a≤g(x)在[1,3]上有解．例如，若h(x)≤a在[1,3]的解集與a≤g(x)在[1,3]的解集的交集為空集時(shí)，h(x)≤a≤g(x)在[1,3]上一定無(wú)解．其二，不能準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化含有量詞(尤其是含有多個(gè)量詞)的某些條件也會(huì)導(dǎo)致邏輯偏差．含有單個(gè)量詞的條件的轉(zhuǎn)化相對(duì)比較容易，例如不等式恒成立或有解問(wèn)題，往往可以轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問(wèn)題，方程有解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題等．含有兩個(gè)及以上的量詞的條件相對(duì)比較困難，前面的例子含有兩個(gè)存在性量詞．一般來(lái)講，可以先轉(zhuǎn)化其中一個(gè)量詞，得到一個(gè)新的只含一個(gè)量詞的條件，再考慮另一個(gè)量詞的轉(zhuǎn)化，最終轉(zhuǎn)化成不含量詞的條件．