2019年全國Ⅰ卷不等式選做題的探究與啟示

谷留明

安徽省合肥市第一中學 (230601)

2011-2018年全國卷一選做題選修4-5考點均為絕對值函數與不等式解集、求值、恒成立問題,而今年突然考查了基本不等式與三個正數的算數-幾何平均不等式,值得探究,給教學帶來一些啟示.

原題呈現

已知為a,b,c正數,且滿足abc=1．證明:

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．

評析:從如何在待證式中出現已知式的結構出發(fā),觀察到對左式通分,分母上就會出現abc,將已知條件abc=1正向代入,即發(fā)現是證如下結論:bc+ac+ab≤a2+b2+c2.

評析：對已知式和待證式觀察對比,發(fā)現已知式可變形代入,即要證bc+ac+ab≤a2+b2+c2,然后結合重要不等式,用分析法證明.

評析：由待證式聯想到常用結論:a2+b2+c2≥bc+ac+ab,并用柯西不等式證明,由已知式abc=1想到“1”的靈活運用，將bc+ac+ab看作分母為1,進行1的逆代.

評析：對左側三個分子中的1進行逆代.

評析：將待證式左側看作有系數1,進行逆代.

評析：從右邊入手,看作有分母為1,并逆代為a2b2c2,然后同法6,或者直接用結論:a2+b2+c2≥bc+ac+ab的變形形式.

評析：局部代換,出現分子、分母中部分可約.

總評：以上方法看似相近,尤其是法1～5和法6～8,實則思路的出發(fā)點、切入點不同,很好的體現出證明不等式的常見經驗:左往右、右往左、左右往中間；綜合法、分析法、分析綜合相結合；1的靈活運用(分母看作1、系數看作1等)；已知條件、公式、常用結論的正用、逆用、變形用；整體、局部代換.另外此問的證明不需要a,b,c為正數,即結論對于滿足abc=1的實數a,b,c均成立.

評析：直接運用三個正數的均值不等式,再對三個因式各用基本不等式,很是流暢.此問看似簡潔,實則左側式子與右邊結果相隔較遠,考生在有限時間內,尤其是考試的靠后階段不一定能想到流暢的法1思路.

法2:(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥

評析:與法1相反,先對三個加式各用基本不等式,對結果再用三個正數的均值不等式.

評析:對待證式左側的三個加式局部展開,局部運用基本不等式進行放縮.再充分利用abc=1,進行局部代換,化為齊次式,重組后再用基本不等式.全程只用到基本不等式,非常巧妙.

評析:法4～6思路相近,都是先將和的立方展開,合理分組,綜合使用基本不等式和三個正數的均值不等式.體現出此問證明的靈活性,只要熟練掌握均值不等式,至于怎么、哪里使用,條條大路通羅馬,給學生很大的嘗試、發(fā)揮空間.

題根探源

上述兩個問題,均可在人教A版選修4-5習題1.1的三道題中找到蹤影.題目如下：

第6題設a,b,c是不全相等的正數,求證:

(1)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc;

第7題求證a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.

其中題6(2)、題7、題11和上述高考題(1)問除abc=1外,本質相同都是在證上文中提到的二級結論,只需分別a,b,c換成a2,b2,c2；a,b,c,d減少為a,b,c；1逆代為(a+b+c)2.高考題(1)問中1的靈活運用,在題11中有很好的體現.題6(1)和高考題(2)問法1中第二步完全一樣.

教學啟示

2019年考試說明中對不等式選講中不等式證明的表述是“通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法”.面對紛雜的教輔和試卷,要精選深耕,更要回歸課本,課本才是最好的“教輔”.上述高考題,再次表明高考題不神秘,就來源于課本習題.每年高考總要穩(wěn)重有變,不變的是對學生數學思想與能力、數學六大核心素養(yǎng)的考查驗收.教與學都要從題海戰(zhàn)術、硬套模型中走出來,真正地以培養(yǎng)能力與素養(yǎng)為目標,方能以不變應萬變.