用代換法證明若干新穎的不等式問題

鄒守文

安徽省南陵縣城東實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (241300)

本文用代數(shù)代換法給出近期的一些國內(nèi)外不等式題的統(tǒng)一證明，希望對讀者有所啟發(fā).

例1 (加拿大數(shù)學(xué)雜志CRUX2020年2月號問題4451,GeorgeApostolopoulos供題)設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，證明：

例7 (2020年3月15日不等式研究會中學(xué)群網(wǎng)友貴桂提出)已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc=1，求證：a3+b3+c3+(ab)3+(bc)3+(ca)3≥2(a2b+b2c+c2a).

例8 (Leonard Giugiuc供題)已知a,b,c為滿足abc=1的正實(shí)數(shù)，求證：(a+b+c)(ab+bc+ca)+3≥4(a+b+c)(6).

例9 (TituAndresscu供題Mathematica

受褚先生思路的啟發(fā)，給出下面的類似結(jié)論：

推論1 正實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc=1.求證3(a+b+c)2≥(a+2)(b+2)(c+2)(8).

推論2 正實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc=1.求證9(a2+b2+c2)≥(a+2)(b+2)(c+2)(9).

證明：因?yàn)?(a2+b2+c2)≥3(a+b+c)2，結(jié)合(7)式即知式(9)成立.

致謝：本文在寫作過程中得到文武光華數(shù)學(xué)工作室褚小光先生的大力幫助，謹(jǐn)表謝意！