對一道高三聯考試題的解法探究及推廣

唐蓓蕾 紀定春

四川師范大學數學科學學院 (610068)

1.問題與評注

(2020年4月名校高三聯考文科卷第23題)

已知f(x)=|x|+|x-2|．

評注：該試題結構簡單、形式對稱、解法豐富、思路開闊，在不等式的證明中具有一定的代表性，特別是問題(2)．由題可知a+2b+2c=2，接下來，主要對問題(2)進行解法探究和推廣．

2.解法探究

視角1 判別式法

視角2 向量法

視角3 柯西不等式法

解法3：由柯西不等式得(a+2b+2c)2=(1×a+1×2b+1×2c)2≤(12+22+22)(a2+b2+c2)=9(a2+b2+c2)．即a2+b2+c2≥

視角4 權方和不等式法

視角5 詹森不等式法

視角6 球坐標變換法

解法6：設a2+b2+c2=r2，則有

視角7 拉格朗日乘數法

3.問題推廣

解析：(1)當λ+1<-1或λ+1>0，即λ<-2或λ>-1．