2020全國Ⅲ卷理科11題的多解及推廣*

劉成龍 郭 洪

四川西華大學理學院 (610039) 四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641100)

一、試題再現

A.1B.2C.4D.8

二、試題解法

為敘述方便，不妨設P(x,y)在雙曲線的右支.

圖1 圖2 圖3

解法4:(利用三角函數)如圖3，過P作PH⊥x軸于H.設∠PF1H=α，借助三角函數，于是|PH|=|PF1|·sinα=2ccosα·sinα，則SΔPF1F2=

三、試題推廣

張景中院士認為數學家總是在已有知識的基礎上，向未知的領域擴展，從實際的概念及問題推廣出各式各樣的新概念、新問題.[1]試題可以從多個視角推廣，如下：

視角1 將試題條件一般化

視角2 將雙曲線推廣到橢圓

推廣2證明方法同推廣1，過程略.

視角3 將雙曲線推廣到拋物線

證明：設P(x,y)，對于ΔPFM，根據S=