一道雙曲線模考題的探究

于曉強 林國紅

廣東省佛山市順德區樂從中學 (528315)

1.題目再現

分析：本題是解析幾何的一道綜合問題，知識方面主要考查了雙曲線的定義、焦半徑、圓的方程和圓與雙曲線的位置關系等知識點；思想方面考查了特殊與一般、化歸與轉化、函數與方程、數形結合等數學思想方法；突出考察學生對數量轉化，運算能力，推理論證能力.試題條件簡潔，解法多樣，背景豐富，是一個值得深入探究的好題.

2.解法探究

圖1

解法1：(特殊點法)如圖1，令A為雙曲線的右焦點，則F(-5,0),A(5,0)，所以

|FM|=|NA|，

評注：解法1取了滿足條件的特殊點右焦點為A，因A點在x軸上且在F的右側一個任意的點，所以滿足題意的任一A點，得到的結果都一樣，同時體現了特殊代替一般的數學解題方法.

圖2

評注：兩種解法實質都是交點滿足的一元二次方程，利用韋達定理和雙曲線的焦半徑公式表示出|FM|,|FN|的長，代入所求式子中化簡得到結果.不同的是交點滿足的一元二次方程時解法2是把圓的方程與雙曲線方程聯立方程組，消去y得到關于x的一元二次方程，體現了方程組的思想；而另解中是利用直徑所對圓周角為直徑的性質分別得到兩個交點橫坐標的一元二次方程，再抽象出雙曲線與圓的交點方程，體現了抽象思維的訓練.

圖3

解法3：(向量法)如圖3，設雙曲線的右焦點為F2，并設|FM|=m,|FN|=n,|FA|=t，由題意可得

評注：向量作為工具，應用比較廣泛，特別是在解析幾何中.本題是線段長度的計算可以轉化為向量大小的求解，利用雙曲線的定義構建出焦點三角形，用向量的線性運算找到等量關系，抓住幾何特征，將等量關系平方化簡得到向量大小的等量關系，化簡整理出所求式子的結果.

解法4：(余弦定理)如圖3，設雙曲線的右焦點為F2，并設|FM|=m,|FN|=n,|FA|=t，由題意可得：

同理可得t[(t-10)2+(t2-n2)-(n-8)2]=2(t-10)(t2-n2)②.

評注：這種解法的基本思路是有關線段長度的計算，可以先把線段長度設出來，抓住焦半徑的應用，然后利用雙曲線的定義構建出焦點三角形，并表示出三角形的各邊，選擇一些等量角度，應用余弦定理建立所求線段長度的等量關系，化簡得到所求結果的值.

3.結論推廣

4.類比性質

我們知道，雙曲線，拋物線與橢圓都是圓錐曲線，很多時侯三者之間有可類比的性質，這體現了圓錐曲線性質的內在統一的和諧美.那么橢圓與拋物線是不是也有類似于結論1的性質呢？經探究，得到如下結論：

圖4

圖5

5.結語

對題目的拓展、引申、變式探究是一名數學教師必備的專業素養，平時要重視對典型問題進行深入研究，探研規律，并適當拓展，充分挖掘題目的育人價值.高中數學新課程理念之一是倡導積極主動、勇于探索的學習方式.在教學中，要引導學生不要只滿足于問題的解決，而是要通過變式、類比進行研究，尋求問題的增長點，從而達到做一題會一類，甚至會一片的目的；讓學生體驗數學的發現和創造歷程，引導他們勇于發現問題、提出問題、解決問題，讓學生在解題思路上產生質的變化，使思維得到發展，進而全面提高學生的綜合能力，提升學生的數學核心素養.