橢圓中的張角問題及其應(yīng)用

李文東

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) (528454)

在橢圓中有兩個比較特殊的角，一個是短軸上的一個頂點到兩焦點的張角，另一個是短軸上的一個頂點到長軸上兩個頂點的張角，它們都是橢圓上任意一點到這兩對點的所有張角中最大的兩個角，它們有著重要的應(yīng)用，給解決一些問題帶來很大的方便，文[1][2]推證了橢圓中兩類張角的最大值結(jié)論.文[2]中將上述結(jié)論進一步拓展到了橢圓上的點和長軸延長線上(或短軸延長線上)的兩個對稱點的張角問題，并且只給出了結(jié)果，沒有給出具體證明過程.

①當(dāng)0

②當(dāng)b

1.結(jié)論的證明

∠AQB為鈍角且遞增，即點Q在橢圓的上頂點時∠AQB最大且為鈍角，得證②.

注:(1)可以將本文中的張角的端點改為關(guān)于x軸對稱的兩點A、B；

(2)將本文中的張角的端點改為y軸上非對稱的兩點A、B；希望有興趣的讀者可以進一步去研究.

2.結(jié)論的應(yīng)用

利用以上結(jié)論，能較好地解決一些相關(guān)問題.

評注：利用最大角知道，∠F1PF2可以為直角，從而容易判斷出分兩種情況討論，避免了漏解的情況.