由整體性解決一類與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題

林志敏 黃永生

福建省泉州市第七中學(xué) (362000)

解決函數(shù)零點(diǎn)問題的關(guān)鍵是如何把函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三者進(jìn)行轉(zhuǎn)化.不同的問題，突破口也有所不同，有些零點(diǎn)問題，特別是含參問題，從單個零點(diǎn)入手有困難，此時利用整體性，問題通常就能迎刃而解了.而且解決過程中，通常結(jié)合下面三個結(jié)論，往往會提高解題效率.

①函數(shù)y=|logax|與直線y=k有兩個不同交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x2=1;

②函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a對稱且在(a,+∞)上單調(diào)，則x1+x2=2a?f(x1)=f(x2);

③函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱且在定義域上單調(diào)，則x1+x2=2a?f(x1)+f(x2)=2b.

本文例舉幾題予以說明.

例1 若x1滿足x+2x=5，x2滿足x+log2x=5，則x1+x2=( ).

例2 設(shè)x1,x2分別是函數(shù)f(x)=x-a-x和g(x)=xlogax-1的零點(diǎn)(其中a>1)，則x1+4x2的取值范圍是( ).

A.[4,+∞)B.(4,+∞)

C.[5,+∞)D.(5,+∞)

例3 已知函數(shù)f(x)=

A．(4,16)B．(0,12)

C．(9,21)D．(15,25)

A.1B.3C.4D.9

由以上實(shí)例可知,利用整體性解決有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)求值及范圍問題，關(guān)鍵是根據(jù)題目條件，找到零點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以直接求值，也可以消元簡化問題再求解.