構建同構式，化為單調性*
——從2020年山東卷21題的解法談起

戚有建 李艷萍

江蘇省揚州中學 (225009)

一、考題展示

題目(2020年新高考山東卷21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求實數a的取值范圍．

點評:本題是2020年新高考山東卷的第21題，是壓軸、選拔題.第(1)問考查導數的幾何意義，學生很容易上手;第(2)問考查用導數研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，分類討論思想和等價轉化思想有一定難度和區分度，本題結構簡潔、表達流暢、靜中有動、平中見奇、入口較寬，解法多樣，有內涵、有思想、有新意，令人回味無窮，極具教學價值和研究價值，我們重點研究第(2)問.

二、常規解法

(1)當0

①根據目前氣袋制造工藝能力，氣動閘最高擋水高度可達10m，寬度可達數百米，可以說在高水頭大跨度可起伏的擋水設備方面，氣動閘填補了國內空白。近期安裝完成的貴陽南明河氣動閘，擋水高度8m，跨度60m，是目前世界上擋水高度最高、跨度最長的同類閘壩。

另外，第(3)種情形a>1時也可以改進，通過放縮來處理會更簡單，過程如下：

當a>1時，f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx，由第2種情形知ex-1-lnx≥1，∴符合要求.

三、特殊解法

構建同構不等式，借助單調性解題.

點評:解法2從題目的結構入手，構建同構不等式，借助單調性解題，是在是太簡潔了，令人拍手叫好，其中改寫成同構式的變形過程技巧性較強.變形過程中注意恒等式a=elna或a=ln(ea)的靈活運用，借助這兩個恒等式，可以輕松實現指數化、對數化.

另外，要特別提出來的是構建同構式處理不等式實際上本質還是借助函數單調性來處理不等式，所以此種方法只能處理形如“f(x1)>f(x2)”結構的不等式.

四、解法應用

分析:此類問題通常有兩種處理方法：分離參數、構建差函數，但在本題中這兩種通法都很困難，分參分不起來，若構建差函數則差函數的導數肯定會很繁雜，所以需要另辟蹊徑.實際上，本題可以構建同構式，轉化為單調性來處理，難點是如何改寫成同構式.

分析:本題分離參數分不起來，若構建差函數則差函數的導數會很繁雜.實際上，本題可以構建同構式，轉化為單調性來處理，難點是如何改寫成同構式.

例3 若對任意x∈(1,+∞)，不等式λeλx≥lnx恒成立，求實數λ的取值范圍.

分析:本題的結構雖然看似簡短，但是處理起來并不容易，分離參數分不起來，若構建差函數則差函數的導數也不簡單.實際上，本題的結構中也蘊含著同構式，難點是如何變形改寫成同構式.