例析四類“隱形圓”問題

葉 珊

福建省福安市第一中學 (355000)

近年來，隨著對圓的方程加大的考查力度，許多“隱形圓”的問題不斷呈現．所謂的“隱形圓”，就是在條件中沒有直接給出有關圓的信息，而是隱藏在題目的信息中，要通過分析和轉化，才能發現圓(或圓的方程)，從而可以利用圓的知識來解決問題．下面舉例介紹四類常見類型，供參考．

一、隱含著圓的定義或圓的方程

例1 若圓C:(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，總存在兩個點到原點的距離為1，則實數a的取值范圍是．

評注：從題設中找到了動點到定點的距離為定長，這就是圓的定義，抓住它建立圓的方程，從而再利用兩圓相交的性質列出不等式求出參數范圍就變得很容易了．

評注：依據題設中的平方和的條件得到了點A在一個已知圓上運動，再由給出的向量的線性關系，使問題轉化D點在另一個已知圓上運動，如果點B固定，則就變成一個非常熟悉的問題了．

二、含有線段長的比式

點評：這是一個“阿波羅斯尼圓”的問題，解題中抓住了給出的線段長等式，通過設動點，建立方程，然后再化簡方程找到了一個隱含圓，這就將問題轉化為直線與圓有交點問題了．

評注：要求直線PN的方程，由于N點坐標知道，則只需再求出點P坐標就行了，由給出的線段比可得點P在一個“阿波羅斯尼圓”上，又點P在直線PM上，將二者的方程求出，然后聯立就能得到點P坐標，問題就能順利解決了．

三、含有向量的模或數量積等式

評注：本題中的解題核心，就是抓住所給的含向量數量積的等式，建立一個圓類方程，這為后續利用直線與圓相交解決問題提供了重要的支撐作用．

圖1

評注：題中沒有點坐標，通過抓住單位向量設坐標，引出了直角坐標系，再設動點，根據已知條件得到動點的軌跡為圓，求出圓的方程后再運用圓心到直線的距離解決了問題，其中得到圓的方程并加以運用是解題核心．

四、挖掘四點共圓問題

例7 在平面直角坐標系xOy中，已知點

A(-4，0)，B(0，4)，從直線AB上一點P向圓x2+y2=4引兩條切線PC,PD，切點分別為C,D.設線段CD的中點為N，求線段AN的長度的最大值．

圖2

解析：如圖2，AB所在的直線方程是x-y+4=0，設P(x0,y0)，則y0=x0+4①.

因為PC,PD是圓O的兩條切線，所以P,C,O,D四點共圓，直徑為PO，故此的圓的方程是x(x-x0)+y(y-y0)=0，即x2+y2-xx0-yy0=0，聯立

評注：通過對已知的兩個切線條件的分析，得到了P,C,O,D四點共圓，并求出了此圓的方程，這是問題解決的關鍵，而本題中運用了設而不求、整體求解的方法是解決圓的問題的常用求解方法．

評注：抓住一個圓的兩條切線是找到四點共圓的重要特征，還可以利用同弧(弦)所對的圓周角相等判斷點共圓，在解題中靈活利用此類條件及時地求出圓的方程，然后再利用圓的方程解題，可降低難度，優化解題過程．

上面以例題說事，解析了四類常見問題，只是拋磚引玉而已，關于“隱形圓”問題比較多見，其中心思想是發現圓，然后再利用圓去解題，在平時的教學中，我們應該引導學生在這兩個方面多下點功夫，會對學生以后應付各類考試有所幫助的．