例析多角三角函數極值的求解

顧 敏 劉凱峰

南通大學理學院 (226007) 南通大學數學師范172班 (226007)

多角三角函數極值問題是高中數學中的一個熱點問題.學生求解此類問題時，常常出現想消元消不了，想變形功力又不夠，陷入一籌莫展的境地.針對式子的結構特征，我們有時可以嘗試利用主元思想，把某個角度當做主變量，其他角度暫時當做常系數.假若式子中既有該角的正弦又有該角的余弦，且是和的形式，那么輔助角法往往能夠奏效.并且某些問題通過利用輔助角法可以達到放縮和消元一箭雙雕的效果，求解過程往往也用不到多少三角恒等變形技巧，何樂而不為呢！

本文精選幾個實例，每例均給出兩種不同的解法，旨在說明輔助角法的解題功效.

例2 (2018年河南預賽題)已知cos(α+β)=cosα+cosβ，試求cosα的最大值．

點評:利用解析1設法賦予相關式子幾何意義，需要比較強的聯想能力.解析2輔助角法比較直接有力.

點評:證明1中利用和差化積與積化和差公式，再利用余弦函數有界性進行放縮，進而求極值.證明2則繞過三角恒等變換，比較快速地得到可換元的一元函數，再利用導數求最值.

點評:解析1通過余弦定理得到一個2次等式作為條件，所求目標是個1次式，令該1次式為t，現在把t作為常數，設法將2次等式中一個變量消去，利用判別式法求解.解析2通過正弦定理化邊為角后，出現了2個角.要是目標式子中只出現1個角，并且既有該角的正弦，又有該角的余弦，進一步還是一個和式，輔助角法當仁不讓.

點評:解析1中建系的前提是已知條件蘊含了阿波羅尼斯圓；解析2是主動設元，巧妙地將cosB由已知條件消去，此處輔助角法派上用場.