基于AR模型的大跨懸索橋脈動風速時程模擬*

白 泉，徐 樊，楊少波

(沈陽工業大學 建筑與土木工程學院，沈陽 110870)

隨著橋梁結構建設的不斷發展，大跨度橋梁不斷出現在人們的視野中，而懸索橋是特大跨徑橋梁的主要形式之一.該類橋梁是一種柔性風敏結構，其經濟性能良好，適應性較強，但由于其結構本身的特性，該類橋梁的抗風計算不可忽略[1].抗風研究主要有風洞試驗和數值模擬兩類方法.風洞試驗技術要求高，經費高昂[2]；數值模擬方法[3]方便快捷，操作簡單，可進行多次模擬比較，得到廣泛應用.目前，風速時程數值模擬方法主要有諧波疊加法、線性濾波法[4]以及小波分析法等[5].每種方法都有不同的特點，其中，線性濾波法具有計算量小和速度快的特點，同時能夠考慮時間相關性，處理非線性的問題[6-7].根據結構特性，本文采用線性濾波法中的自回歸(AR)模型，結合AIC準則確定了該模型的階數，編制了脈動風速時程模擬程序.

1 風基本特征

(1)

1.1 平均風

平均風是在一定的觀測時間段內，風壓值大小和方向等不隨時間而改變的量.Davenport等人對現場實測結果進行分析，認為平均風速沿高度變化的規律可用指數函數來表示[8]，即

(2)

1.2 脈動風

風的不規則性運動是脈動風形成的原因，所以脈動風的強度變化是隨機的.這種強度的變化通常用功率譜密度函數來表達.Kaimal提出了沿高度變化的水平脈動風功率譜[9]，即

(3)

空間不同點在同一時刻，同時還具有空間相關性，對大跨度橋梁結構而言，應采用三維空間互相關密度函數rij(f)表示，即

(4)

式中，衰減系數cx、cy、cz分別取為16、8和10[10].

2 基于AR模型的脈動風速時程模擬

脈動風可作為零均值的平穩高斯隨機過程來考慮.脈動風速時程向量vf(x，y，z，t)可以表示為

(5)

式中：Ψk為AR模型的自回歸系數矩陣；p為AR模型階數；N(t)為給定方差的隨機過程向量；Δt為模擬風速的時間步長.

AR模型模擬風速時程采用一種處理時間序列的方法，即用同一風速之前各個時刻的數值，來預測本時刻的表現，并假設它們為線性.其中，自回歸系數矩陣Ψk的求解是一項重要內容.

2.1 求解自回歸系數Ψk

脈動風過程的協方差矩陣R與回歸系數矩陣Ψ之間的關系[11]為

作者縱觀漢語研究的歷史，從語匯研究和甌越語研究的歷史及其現狀入手，深刻剖析了甌越語語匯研究的歷史現實意義。指出從漢語研究歷史來看，語匯的研究在中國古代早有零星記載，但未形成體系，只作為詞匯研究的附屬。在現代語言學研究的早期，人們也并未將語匯獨立出來，而是仍將其作為詞匯研究的一部分，語言研究的一個子系統。因此長期以來語匯研究處于漢語研究中相對薄弱的環節。

(6)

式中：I為M階單位矩陣；Op為零矩陣.R作為自相關矩陣，其表達式為

(7)

自相關矩陣R可由功率譜密度函數和相干函數之間滿足的維納-辛欽公式求出，即

(8)

2.2 求隨機過程N(t)和M個隨機過程

對得到的矩陣RN進行Cholesky分解，可得

(9)

式中，n(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T，ni(t)為均值為0、方差為1彼此相互獨立的隨機過程.進而得到獨立的隨機過程向量N(t)，最終的M個隨機過程可以表示為

(10)

式中，當t≤0時，v(t)=0.

3 AR模型階數p的確定

根據AIC準則，又稱為最小信息準則[12]，脈動模擬風速時程模擬優先考慮AIC值最小的那一階，因此，從p=1時開始試算，經過迭代法試算，隨著p的增大，AIC值會逐漸減小，當其值趨于穩定時，p值即為所求模型的階數.AIC準則函數為

AIC(p)=Qln(σ2)+2p

(11)

式中：Q=T，T為周期；σ2=2R(0)-R(Q).

4 工程實例模擬

沈陽東塔自錨式懸索橋的主橋部分長400 m，主橋為三跨自錨式懸索橋，主塔從橋面算起高50 m.基于MATLAB平臺，依據前文所述過程和方法，編制模擬程序，對該橋的主梁、主纜及橋塔上的多點脈動風速時程進行數值模擬.

該工程地處沈陽市王家灣橋下游2 km處，地形平坦，地貌單元屬河流沖積階地，周圍有莊稼地，未有高樓林立，MATLAB平臺模擬需要的主要參數，均參考該工程實際得到，如表1所示.

表1 主要參數

為了與模擬多點的特性相符，本文目標譜采用Kaimal譜.根據結構分析需要，共模擬了78個點的脈動風速時程，點的位置如圖1所示.圖1中主橋部分共模擬了78個點，包括主梁、主纜各37個點，兩主塔塔底和塔頂4個點，本文列出了其中幾個點的脈動風速時程.根據AIC準則，確定模型階數，針對階數1～8進行計算，繪制出AIC值的變化曲線，如圖2所示.從圖2中可以看出，當p=4時，AIC值趨于穩定，所以本文AR模型階數取p=4.

圖1 懸索橋主橋風速模擬節點圖

圖2 AIC值變化曲線

4.1 關鍵點風速時程曲線

圖3～5分別為橋梁的主梁、主塔及主纜的脈動風速時程曲線.

圖3 20點(主梁中)脈動風速時程曲線

4.2 功率譜密度函數對比

圖6～8分別為主梁中點、主纜中點及主塔頂點功率譜密度函數的模擬譜與目標譜的比較.從圖中可以看出，擬合較好.

4.3 互相關函數對比

圖9為主梁上18點與20點的互相關函數曲線.從圖9中可以看出，互相關系數的最大值約為0.51，對模擬值和目標值進行了對比，曲線擬合較好，模擬的空間相關性合理.圖10為主梁18點和27點的互相關函數目標值和模擬值對比曲線，可以看出相關性同樣合理，最大值約為0.40，由此可知，距離越近的兩個點空間相關性越強.

圖4 59點(主纜中)脈動風速時程曲線

圖5 71點(主塔頂)脈動風速時程曲線

圖6 20點(主梁中)功率譜

圖7 59點(主纜中)功率譜

圖8 71點(主塔頂)功率譜

圖9 主梁18和20點互相關函數

圖10 主梁18和27點互相關函數

5 結 論

本文基于線性濾波法，編制了具有時間和空間相關性的脈動風速時程程序，根據工程實際確定了特定參數的取值，算例表明：

1)該程序采用AR模型計算速度快，使用方便，功率譜密度函數模擬譜與目標譜擬合較好，模擬精確；

2)模擬的脈動風互相關系數同目標互相關系數擬合較好，距離近的兩點相關系數越大，空間相關性越強，距離越遠的兩點相關系數越小，空間相關性越弱；

3)用AIC準則確定了模型階數，使得模擬更加準確、高效；

4)該方法可以推廣到此類吊索結構和大跨度結構風速時程模擬，為工程結構抗風分析提供荷載輸入.